1.3-bo'lim: Trigonometrik funksiyalar (trig functions)

Ushbu bo'limning maqsadi — trigonometriya kursidan Calculus fani nuqtai nazaridan eng muhim bo'lgan mavzularni eslatib o'tishdir. Ulardan eng asosiylaridan biri (lekin birinchisi emas) birlik aylanadan qanday foydalanishni bilishdir. Eng muhim mavzuni esa keyingi bo'limda ko'rib chiqamiz.

Avvalo, oltita asosiy trigonometrik funksiya va ularning bir-biri bilan o'zaro bog'liqligidan boshlaylik.

Shuningdek, barcha trigonometrik funksiyalarni to'g'ri burchakli uchburchak orqali ham aniqlash mumkinligini eslang.

Ushbu to'g'ri burchakli uchburchakdan oltita trigonometrik funksiyaning quyidagi ta'riflari kelib chiqadi:

Oltita trigonometrik funksiyaning o'zaro munosabatlarini hamda ularning to'g'ri burchakli uchburchak orqali berilgan ta'riflarini eslab qolish ushbu kurs davomida juda foydali bo'ladi.

Navbatda, radian o'lchoviga to'xtalamiz. Maktab trigonometriya darslarida odatda burchaklarni graduslarda o'lchashga ko'proq e'tibor qaratiladi (chunki graduslarni tasavvur qilish osonroq). Biroq, Calculus kursida deyarli barcha amallar va hisob-kitoblar radianlarda bajariladi. Quyidagi jadvalda asosiy burchaklarning gradus va radianlardagi qiymatlari keltirilgan:

Ushbu jadvalni yodda saqlang! Calculus qismida bu aniq burchaklar har doim ham uchramasligi mumkin, ammo ularni bilish har bir burchakni to'g'ri tasavvur qilishga yordam beradi. Yana bir bor ta'kidlaymiz:

Yodda tuting: Calculus kursidagi barcha masalalarda burchaklar radianlarda ifodalanadi!

Keling, endi trigonometriyaning eng foydali tushunchalaridan biri bo'lgan birlik aylana (unit circle) tushunchasini ko'rib chiqamiz.

Quyida faqat birinchi choragi asosiy "standart" burchaklar bilan to'ldirilgan birlik aylana ko'rsatilgan. Birlik aylananing ishlash qoidasi: aylananing markazidan berilgan burchakka mos nur o'tkazamiz. So'ngra ushbu nur aylana bilan kesishgan nuqtaning koordinatalariga qaraymiz. Birinchi koordinata, ya'ni \(x\)-koordinata — shu burchakning kosinusi, ikkinchi koordinata, ya'ni \(y\)-koordinata esa — shu burchakning sinusidir. Birlik aylanada kesishish nuqtalarining koordinatalari bilan birga asosiy burchaklar ko'rsatilgan:

Demak, yuqoridagi birlik aylanadan ko'rishimiz mumkinki, \(\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) va \(\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\).

Shuningdek, burchaklarning ishoralarini eslang: agar soat miliga teskari yo'nalishda burilsangiz, burchak musbat, agar soat mili yo'nalishida burilsangiz, burchak manfiy bo'ladi.

To'liq bir aylanish \(2\pi\) ga teng, shuning uchun musbat \(x\)-o'qi 0 yoki \(2\pi\) (yoki \(4\pi\), \(6\pi\), \(-2\pi\), \(-4\pi\) va hokazo, burilish yo'nalishiga qarab) burchaklarga mos kelishi mumkin. Xuddi shuningdek, \({\textstyle{\pi \over 6}}\) burchagi quyidagi istalgan burchakka teng kuchlidir:

\(\displaystyle \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{13\pi }}{6}\) (\(\frac{\pi}{6}\) dan boshlab, soat miliga teskari 1 marta to'liq aylanish)

\(\displaystyle \frac{\pi }{6} + 4\pi = \frac{{25\pi }}{6}\) (\(\frac{\pi}{6}\) dan boshlab, soat miliga teskari 2 marta to'liq aylanish)

\(\displaystyle \frac{\pi }{6} - 2\pi = - \frac{{11\pi }}{6}\) (\(\frac{\pi}{6}\) dan boshlab, soat mili bo'yicha 1 marta to'liq aylanish)

\(\displaystyle \frac{\pi }{6} - 4\pi = - \frac{{23\pi }}{6}\) (\(\frac{\pi}{6}\) dan boshlab, soat mili bo'yicha 2 marta to'liq aylanish)

va hokazo.

Umuman olganda, \({\textstyle{\pi \over 6}}\) nuqtasiga mos barcha burchaklarni \({\frac{\pi}{6}} + 2\pi \,n\), bu yerda \(n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \) ko'rinishida ifodalash mumkin. Bunda \(n\) — to'liq aylanishlar soni bo'lib, musbat qiymatlari soat miliga teskari, manfiy qiymatlari esa soat mili bo'yicha aylanishlarni bildiradi.

Nima uchun faqat birinchi chorak keltirildi? Javob juda oddiy: agar siz birinchi chorakdagi qiymatlarni bilsangiz, qolgan barcha choraklardagi burchaklarni simmetriya (oyna aksi) orqali osonlikcha topishingiz mumkin. Quyidagi misollarda buni ko'rib chiqamiz.

1-Misol Quyidagi har bir ifodaning qiymatini hisoblang:

1. \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) va \(\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
2. \(\cos \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) va \(\cos \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right)\)
3. \(\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\) va \(\tan \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right)\)
4. \(\sec \left( {\frac{{25\pi }}{6}} \right)\)

a \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) va \(\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) Yechim

Ushbu banddagi birinchi hisoblash \(\frac{{2\pi }}{3}\) burchagidan foydalanadi. Bu burchak yuqoridagi birinchi chorakda yo'q, biroq e'tibor bering: \(\frac{{2\pi }}{3} = \pi - \frac{\pi }{3}\). Demak, \(\frac{{2\pi }}{3}\) manfiy \(x\)-o'qidan yuqoriga qarab \(\frac{\pi }{3}\) burchakka burilish orqali topiladi. Bu shuni anglatadiki, \(\frac{{2\pi }}{3}\) nuri ikkinchi chorakda \(\frac{\pi }{3}\) nurining ko'zgudagi aksi bo'ladi. \(\frac{{2\pi }}{3}\) ning koordinatalari \(\frac{\pi }{3}\) koordinatalari bilan bir xil, faqat \(x\) koordinatasi manfiy bo'ladi.

Xuddi shuningdek, \( - \frac{{2\pi }}{3}\) burchagi uchun \( - \frac{{2\pi }}{3} = - \pi + \frac{\pi }{3}\) ekanligini ko'ramiz, demak bu burchak manfiy \(x\)-o'qidan pastga qarab \(\frac{\pi }{3}\) burilish orqali hosil qilinadi. Demak, u uchinchi chorakda joylashadi va har ikkala koordinatasi ham manfiy bo'ladi.

Ushbu burchaklar kesishish nuqtalarining koordinatalari bilan birga quyidagi birlik aylanada ko'rsatilgan:

Birlik aylanadan ko'rishimiz mumkinki, \(\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) va \(\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Bu sinus funksiyasining ajoyib xossasiga olib keladi. Sinus funksiyasi toq funksiya (odd function) deb ataladi va istalgan burchak uchun quyidagi tenglik o'rinli:

\[\sin \left( { - \theta } \right) = - \sin \left( \theta \right)\]

b \(\cos \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) va \(\cos \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right)\) Yechim

Ushbu misolda \(\frac{{7\pi }}{6} = \pi + \frac{\pi }{6}\) ekanligiga e'tibor bering. Demak, bu burchakka erishish uchun manfiy \(x\)-o'qidan pastga qarab \(\frac{\pi }{6}\) burilamiz. Shuningdek, \( - \frac{{7\pi }}{6} = - \pi - \frac{\pi }{6}\) bo'lib, bu manfiy \(x\)-o'qidan yuqoriga qarab \(\frac{\pi }{6}\) burilishni anglatadi. Demak, ikkala burchak ham uchinchi va ikkinchi choraklarda \(\frac{\pi }{6}\) ning oyna aksidir.

Ikkala burchak koordinatalari bilan quyidagi birlik aylanada keltirilgan:

Birlik aylanadan ko'ramizki, \(\cos \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) va \(\cos \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Bu holatda kosinus funksiyasi juft funksiya (even function) deyiladi va istalgan burchak uchun quyidagi tenglik o'rinli:

\[\cos \left( { - \theta } \right) = \cos \left( \theta \right)\]

c \(\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\) va \(\tan \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right)\) Yechim

Bu yerda \(\frac{{7\pi }}{4} = 2\pi - \frac{\pi }{4}\) ekanligini seza olamiz, demak \(\frac{{7\pi }}{4}\) va \( - \frac{\pi }{4}\) aslida aynan bir xil burchakdir! Bu burchak to'rtinchi chorakda \(\frac{\pi }{4}\) ning ko'zgudagi aksi bo'ladi:

Endi \(\tan \left( x \right) = \frac{{\sin \left( x \right)}}{{\cos \left( x \right)}}\) ekanligini eslasak, birlik aylanadan tangens qiymatini oson hisoblaymiz:

\[\tan \left( \frac{7\pi }{4} \right)=\tan \left( -\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sin \left( -{\pi }/{4}\; \right)}{\cos \left( -{\pi }/{4}\; \right)}=\frac{-{\sqrt{2}}/{2}\;}{{\sqrt{2}}/{2}\;}=-1\]

Qo'shimcha ravishda shuni ta'kidlash joizki, \(\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\) va tangens funksiyasi ham toq funksiya hisoblanadi, shuning uchun istalgan burchak uchun:

\[\tan \left( { - \theta } \right) = - \tan \left( \theta \right)\]

d \(\sec \left( {\frac{{25\pi }}{6}} \right)\) Yechim

Bu yerda \(\frac{{25\pi }}{6} = 4\pi + \frac{\pi }{6}\) ekanligini aniqlash kifoya. Boshqacha aytganda, biz \(\frac{\pi }{6}\) dan boshlab, birlik aylanani ikki marta to'liq aylanib chiqdik va yana aylanadagi o'sha nuqtaga qaytib keldik. Bu shuni anglatadiki:

\[\sec \left( {\frac{{25\pi }}{6}} \right) = \sec \left( {4\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = \sec \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\]

Sekansdan cho'chimang — faqatgina quyidagi ta'rifni eslash yetarli:

\[\sec \left( x \right) = \frac{1}{{\cos \left( x \right)}}\]

demak, bu yerda bizdan faqat kosinus qiymatini hisoblash talab qilinadi! Shunday qilib:

\[\sec \left( \frac{25\pi }{6} \right)=\sec \left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{\cos \left( \frac{\pi }{6} \right)}=\frac{1}{{}^{\sqrt{3}}/{}_{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\]

Yuqoridagi misollarda ko'rganimizdek, birlik aylanadan istalgan "standart" burchakdagi trigonometrik funksiyalar qiymatini topishda qulay vosita sifatida foydalanish mumkin. Barcha misollarda eng asosiy g'oya shuki: agar siz birlik aylananing birinchi choragini bilsangiz va boshqa burchaklarni birinchi chorak burchaklarining simmetrik "ko'zgudagi aksi" sifatida bog'lay olsangiz, butun aylanani yodlab olishingiz shart bo'lmaydi.

Yana bir muhim xulosa shuki: trigonometrik funksiyalarni hisoblashda eng asosiysi — sinus va kosinusni hisoblay olishdir. Qolgan to'rtta trigonometrik funksiya ularning nisbatlari orqali aniqlangani sababli, sinus va kosinusni bilgan holda qolgan barcha funksiyalarni osonlik bilan topa olasiz.

Calculus fanida eng ko'p ishlatiladigan formulalar — bu yarim burchak va ikkilangan burchak formulalaridir. Ushbu formulalar va asosiy trigonometrik ayniyatlar keyingi bo'limlardagi limitlar, hosilalar va integrallarni hisoblashda muntazam qo'llaniladi.