9.2-bo'lim: Parametrik tenglamalar bilan tangentlar
Ushbu bo'limda biz quyidagi parametrik tenglamalarga teginish chiziqlarini topmoqchimiz:
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.5in}y = g\left( t \right)\]Buni amalga oshirish uchun avval \(x = a\) da \(y = F\left( x \right)\) ga tangens chizig‘ini qanday topishni eslaylik. Bu yerda tangens chiziq quyidagicha berilgan:
\[y = F\left( a \right) + m\left( {x - a} \right),{\mbox{ where }}m = {\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = a}} = F'\left( a \right)\]Endi e'tibor bering, agar parametrik tenglamalardan \(\frac{{dy}}{{dx}}\) hosilasini qanday olish mumkinligini aniqlay olsak, bu formuladan oddiygina foydalanishimiz mumkin, chunki nuqtaning \(x\) va \(y\) koordinatalarini topish uchun parametrik tenglamalardan foydalanishimiz mumkin bo'ladi.
Shunday qilib, bir daqiqaga biz parametrni parametrik shakldan olib tashladik va parametrik tenglamalarni \(y = F\left( x \right)\) shaklida yoza oldik deb faraz qilaylik. Endi \(x\) va \(y\) uchun parametrik tenglamalarni ulang. Ha, parametrni yo'q qilish ahmoqona ko'rinadi, keyin darhol uni qaytarib qo'ying, ammo hosiladan foydalanish uchun biz buni qilishimiz kerak. Buni qilish,
\[g\left( t \right) = F\left( {f\left( t \right)} \right)\]Endi \(t\)-ga nisbatan farqlang va biz o'ng tomonda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerakligini bilib oling.
\[g'\left( t \right) = F'\left( {f\left( t \right)} \right)\,\,f'\left( t \right)\]Keling, yozuvda yana bir o'zgarish qilaylik. Bu erda hosilalarimiz bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Kichik harf funksiyasining hosilalari \(t\) ga, katta harf funksiyalarining hosilalari \(x\) ga nisbatan. Shunday qilib, biz buni to'g'ri saqlashimizga ishonch hosil qilish uchun narsalarni quyidagi tarzda qayta yozamiz.
\[\frac{{dy}}{{dt}} = F'\left( x \right)\frac{{dx}}{{dt}}\]Bu vaqtda biz o'zimizga nimaga intilayotganimizni eslatishimiz kerak. Bizga \(\frac{{dy}}{{dx}}\) yoki \(F'\left( x \right)\) uchun parametrik formulalar nuqtai nazaridan formula kerak edi. E'tibor bering, biz buni yuqoridagi tenglamadan olishimiz mumkin.
Parametrik tenglamalar uchun hosila, \(\displaystyle \boldsymbol{\frac{dy}{dx}}\)
E'tibor bering, bu \(x\) emas, balki \(t\) funktsiyasi bo'ladi.
E'tibor bering, agar kerak bo'lsa, shunga o'xshash hosila bilan quyidagi formulani ham olishimiz mumkin,
Parametrik tenglamalar uchun hosila, \(\displaystyle \boldsymbol{\frac{dx}{dy}}\)
Nega biz buni qilishni xohlaymiz? Xo'sh, buni eslang yoy uzunligi Integral ilovalari bo'limida bizga ba'zida bu lotin kerak edi.
Shunday qilib, tangens chiziqni topamiz.
at \(\left( {0,4} \right)\).
Yechim
E'tibor bering, bu erda bir nechta tangens chiziqlar uchun potentsial mavjud! Buni misol bilan tugatgandan so'ng ko'proq ko'rib chiqamiz.
Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, tangens chizig'ining qiyaligini olishimiz uchun hosilani topishdir.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\displaystyle \,\,\frac{{dy}}{{dt}}\,\,}}{{\displaystyle \,\,\frac{{dx}}{{dt}}\,\,}} = \frac{{2t}}{{5{t^4} - 12{t^2}}} = \frac{2}{{5{t^3} - 12t}}\]Bu vaqtda bizda kichik muammo bor. lotin \(t\) nuqtai nazaridan va bizda bor narsa x-y koordinata jufti. Keyingi qadam bu nuqtani beradigan \(t\) qiymatini aniqlashdir. Biz ularni \(x\) va \(y\) qiymatlarini parametrik tenglamalarga ulash va \(t\) uchun yechish orqali topamiz.
\[\begin{align*}0 & = {t^5} - 4{t^3} = {t^3}\left( {{t^2} - 4} \right) &\Rightarrow \hspace{0.25in} & t = 0, \pm 2\\ 4 & = {t^2} & \Rightarrow \hspace{0.25in} & t = \pm 2\end{align*}\]Ikkala ro'yxatda paydo bo'lgan \(t\) ning har qanday qiymati nuqta beradi. Shunday qilib, \(t\) ning ikkita qiymati mavjud bo'lganligi sababli, biz ikkita tangens chiziqni olamiz. Bu, albatta, Calculus I-da sodir bo'lgan narsa emas va biz buni biroz ko'proq o'rganishimiz kerak. Biroq, buni qilishdan oldin, keling, tangens chiziqlarini aniqlaymiz.
\(t = - 2:\)
Biz nuqtaning \(x\) va \(y\)-koordinatalarini allaqachon bilganimiz uchun, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - teginish chizig'ining qiyaligini topish.
Tangens chizig'i (\(t = - 2\) da) keyin,
\[y = 4 - \frac{1}{8}x\]\(t = 2:\)
Shunga qaramay, bizga kerak bo'lgan narsa - nishab.
Tangens chizig'i (\(t = 2\) da) keyin,
\[y = 4 + \frac{1}{8}x\]Ushbu misolni tark etishdan oldin, keling, qanday qilib bir nuqtada ikkita teginish chizig'ini olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Biz birinchi marta tangens chiziqlar bo'ylab o'tgan Hisob Ida buni aniq qilib bo'lmaydi.
Parametrik egri chiziqning tezkor grafigi bu erda nima sodir bo'layotganini tushuntiradi.
Shunday qilib, parametrik egri chiziq o'zini kesib o'tadi! Bu qanday qilib bir nechta tangens chiziq bo'lishi mumkinligini tushuntiradi. Egri chiziq nuqtadan o'tadigan har bir misol uchun bitta tangens chiziq mavjud.
Ushbu bo'limda biz muhokama qilishimiz kerak bo'lgan keyingi mavzu gorizontal va vertikal tangenslardir. Biz lotin formulasiga qarab, ular qaerda sodir bo'lishini (yoki hech bo'lmaganda ularni beradigan \(t\) ni) osongina aniqlashimiz mumkin.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\displaystyle \,\,\frac{{dy}}{{dt}}\,\,}}{{\displaystyle \,\,\frac{{dx}}{{dt}}\,\,}}\]Gorizontal tangenslar lotin nolga teng bo'lgan joyda paydo bo'ladi va bu bizda mavjud bo'lgan \(t\) qiymatlarida gorizontal tangensni olishimizni anglatadi,
Parametrik tenglamalar uchun gorizontal tangens
Vertikal tangenslar lotin aniqlanmagan joyda paydo bo'ladi va shuning uchun bizda mavjud bo'lgan \(t\) qiymatlarida vertikal tangenslarni olamiz,
Parametrik tenglamalar uchun vertikal tangens
Keling, buning misolini tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda parametrik tenglamalarning hosilalari kerak bo'ladi.
\[\frac{{dx}}{{dt}} = 3{t^2} - 3 = 3\left( {{t^2} - 1} \right)\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dt}} = 6t\]Gorizontal tangentlar
Bizda gorizontal tangenslar bo'ladi, bu erda
Endi bu gorizontal tangenslarni beradigan \(t\) qiymati va bizdan topishni so'rashdi. x-y nuqta koordinatalari. Bularni olish uchun biz faqat \(t\) ni parametrik tenglamalarga ulashimiz kerak. Shuning uchun yagona gorizontal tangens \(\left( {0, - 9} \right)\) nuqtasida yuzaga keladi.
Vertikal tangenslar
Bunday holda, biz hal qilishimiz kerak,
Ikki vertikal tangens \(\left( {2, - 6} \right)\) va \(\left( { - 2, - 6} \right)\) nuqtalarida paydo bo'ladi.
To'liqlik va hech bo'lmaganda qisman tekshirish uchun parametrik egri chiziqning eskizi bu erda.
Ushbu bo'limda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy mavzu haqiqatan ham tangens chiziqlar bilan bog'liq emas, lekin biz tangens chizig'ining qiyaligini olishimiz kerak bo'lgan hosila hosilasi bilan yaxshi mos keladi.
Yangi mavzuga o'tishdan oldin birinchi hosila formulasini eslatib o'tamiz va bu jarayonda uni biroz qayta yozamiz.
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( y \right) = \frac{{\displaystyle \frac{d}{{dt}}\left( y \right)}}{{\displaystyle \frac{{dx}}{{dt}}}}\]Shu tarzda yozilgan bo'lsak, formula bizga parametrik tenglamalardan foydalanganda \(y\) funktsiyasini (\(t\) funktsiyasi sifatida) \(x\) ga nisbatan qanday farqlash kerakligini ko'rishimiz mumkin (agar \(x\) ham \(t\) funktsiyasi bo'lsa).
Endi ushbu bo'limning yakuniy mavzusiga o'tamiz. Shuningdek, biz \(x\) ga nisbatan \(y\) ning ikkinchi hosilasini qanday olishni bilmoqchimiz.
\[\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}\]Yuqoridagi birinchi hosila uchun qayta yozilgan formulani eslasak, buning uchun formulani olish juda oddiy.
Parametrik tenglamalar uchun ikkinchi hosila
Shuni ta'kidlash kerakki,
\[\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} \ne \frac{{\displaystyle \,\,\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}}\,\,}}{{\displaystyle \,\,\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}\,\,}}\]Tez misol bilan ishlaylik.
Yechim
Bu biz birinchi misolda ishlatgan parametrik tenglamalar to'plami va shuning uchun bizda quyidagi hisob-kitoblar allaqachon tugallangan.
\[\frac{{dy}}{{dt}} = 2t\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{dx}}{{dt}} = 5{t^4} - 12{t^2}\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{5{t^3} - 12t}}\]Bizga birinchi navbatda quyidagilar kerak bo'ladi:
\[\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{2}{{5{t^3} - 12t}}} \right) = \frac{{ - 2\left( {15{t^2} - 12} \right)}}{{{{\left( {5{t^3} - 12t} \right)}^2}}} = \frac{{24 - 30{t^2}}}{{{{\left( {5{t^3} - 12t} \right)}^2}}}\]Ikkinchi hosila esa,
\[\begin{align*}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} & = \frac{{\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}\\ & = \frac{{\frac{{24 - 30{t^2}}}{{{{\left( {5{t^3} - 12t} \right)}^2}}}}}{{5{t^4} - 12{t^2}}}\\ & = \frac{{24 - 30{t^2}}}{{\left( {5{t^4} - 12{t^2}} \right){{\left( {5{t^3} - 12t} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{24 - 30{t^2}}}{{t{{\left( {5{t^3} - 12t} \right)}^3}}}\end{align*}\]Xo'sh, nima uchun biz ikkinchi hosilani xohlaymiz? Xo'sh, Hisob-kitob I sinfingizdan eslang, ikkinchi hosila yordamida biz egri chiziqning qayerda yuqoriga va pastga botiq ekanligini aniqlashimiz mumkin. Agar xohlasak, parametrik tenglamalar bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin edi.
Yechim
Ikkinchi hosilani hisoblash uchun birinchi navbatda bizga quyidagilar kerak bo'ladi.
\[\frac{{dy}}{{dt}} = 7{t^6} + 5{t^4}\hspace{0.5in}\frac{{dx}}{{dt}} = - 2t\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{7{t^6} + 5{t^4}}}{{ - 2t}} = - \frac{1}{2}\left( {7{t^5} + 5{t^3}} \right)\]E'tibor bering, biz yuqoridagi birinchi hosiladan egri chiziqning ortib borishi/kamayishi haqida ham ma'lumot olish uchun foydalanishimiz mumkin. Bu holda parametrik egri chiziq \(t < 0\) bo'lsa ortib boradi va \(t > 0\) bo'lsa kamayadi.
Endi ikkinchi hosilaga o'tamiz.
\[\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{ - \frac{1}{2}\left( {35{t^4} + 15{t^2}} \right)}}{{ - 2t}} = \frac{1}{4}\left( {35{t^3} + 15t} \right)\]Umid qilamanki, ikkinchi hosila \(t = 0\) da nolga teng bo'lishi aniq. Bundan foydalanib, ikkinchi hosila \(t < 0\) bo'lsa manfiy, \(t > 0\) bo'lsa musbat bo'lishini ko'rishimiz mumkin. Shunday qilib, parametrik egri \(t < 0\) uchun pastga va \(t > 0\) uchun yuqoriga botiq bo'ladi.
Bu erda to'liqlik uchun egri chiziqning eskizi.
