2.1-bo'lim: Tangens chiziqlari va o'zgarish tezligi
Ushbu bo'limda biz hisob-kitoblarni o'rganishning ikkita juda muhim muammosini ko'rib chiqamiz. Hozir bu muammolarni ko'rib chiqishning ikkita sababi bor.
Birinchidan, bu ikkala muammo bizni chegaralarni o'rganishga olib boradi, bu esa ushbu bobning mavzusidir. Bu muammolarni ko'rib chiqish bizga chegara nima ekanligini va u funksiya haqida nimani ayta olishini tushunishga imkon beradi.
Ikkinchidan, biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan o'zgarish tezligi muammosi bu kursning ikkinchi bobida duch keladigan eng muhim tushunchalardan biridir. Aslida, bu, ehtimol, biz butun kurs davomida duch keladigan eng muhim tushunchalardan biri. Demak, hozir qarash, bizni bu haqda boshidanoq o‘ylashni boshlaydi.
Tangens chiziqlar
Biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan birinchi muammo - bu tangens chiziq muammosi. Ushbu muammoni hal qilishdan oldin, tangens chizig'ini aniqlash yaxshi bo'lar edi.
\(f(x)\) funksiyasiga \(x = a\) nuqtadagi teginish chizig‘i bu funksiya grafigiga shunchaki tegib turgan va shu nuqtadagi grafikga “parallel” (qaysidir ma’noda) bo‘lgan chiziqdir. Quyidagi grafikni ko'rib chiqing.
Ushbu grafikda chiziq ko'rsatilgan nuqtadagi tangens chiziqdir, chunki u o'sha nuqtada grafaga tegadi va shu nuqtada grafikga "parallel" bo'ladi. Xuddi shunday, ko'rsatilgan ikkinchi nuqtada, chiziq shunchaki o'sha nuqtada grafaga tegadi, lekin u o'sha nuqtadagi grafikga "parallel" emas va shuning uchun u o'sha nuqtada grafaga teginish chizig'i emas.
Ko'rsatilgan ikkinchi nuqtada (chiziq tangens chiziq bo'lmagan nuqta) biz ba'zan chiziqni a deb ataymiz ajratuvchi chiziq.
Biz parallel so'zni bir necha marta ishlatganmiz va ehtimol u bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Umuman olganda, biz chiziq va grafikni bir nuqtada parallel deb hisoblaymiz, agar ikkalasi ham shu nuqtada bir yo'nalishda harakat qilsa. Shunday qilib, yuqoridagi birinchi nuqtada grafik va chiziq bir xil yo'nalishda harakat qilmoqda va shuning uchun biz ularni o'sha nuqtada parallel deb aytamiz. Ikkinchi nuqtada, boshqa tomondan, chiziq va grafik bir xil yo'nalishda harakat qilmaydi, shuning uchun ular bu nuqtada parallel emas.
Xo'sh, endi biz tangens chiziqning ta'rifini yo'lga qo'yganimizdan so'ng, tangens chiziq muammosiga o'tamiz. Bu, ehtimol, eng yaxshi misol bilan amalga oshiriladi.
Yechim
Biz algebradan bilamizki, to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish uchun bizga yo to‘g‘rining ikkita nuqtasi yoki to‘g‘ri chiziqning bir nuqtasi va uning qiyaligi kerak bo‘ladi. Biz tangens chiziqdan keyin ekanligimizni bilganimiz sababli, bizda chiziqda joylashgan nuqta bor. Tangens chizig'i va funktsiya grafigi \(x\) = 1 ga tegishi kerak, shuning uchun \(\left( {1,f\left( 1 \right)} \right) = \left( {1,13} \right)\) nuqtasi chiziqda bo'lishi kerak.
Endi biz muammoga erishamiz. Bu biz tangens chizig'i haqida biladigan barcha narsadir. Tangens chizig'ini topish uchun bizga ikkinchi nuqta yoki teginish chizig'ining qiyaligi kerak bo'ladi. Ikkinchi nuqtaga muhtoj bo'lishning yagona sababi bizga teginish chizig'ining qiyaligini topishga imkon berish bo'lganligi sababli, keling, tangens chiziqning qiyaligini aniqlay olamizmi yoki yo'qligini ko'rishga e'tibor qarataylik.
Hozirgi vaqtda biz faqat teginish chizig'ining qiyaligini taxmin qilishimiz mumkin, ammo agar biz buni to'g'ri qilsak, biz tangens chizig'ining haqiqiy qiyaligi bo'lgan taxminni olishimiz kerak. Biz buni biz kutayotgan nuqtadan boshlab, uni \(P = \left( {1,13} \right)\) deb ataymiz. Keyin funksiya grafigida joylashgan boshqa nuqtani tanlaymiz, keling, bu nuqtani \(Q = \left( {x,f\left( x \right)} \right)\) deb ataymiz.
Argument uchun \(x = 2\) ni olaylik va shuning uchun ikkinchi nuqta \(Q = \left( {2,7} \right)\) bo'ladi. Quyida funksiyaning grafigi, \(P\) va \(Q\) ni bog‘lovchi tangens chizig‘i va sekant chizig‘i keltirilgan.
Ushbu grafikdan ko'rishimiz mumkinki, sekant va tangens chiziqlar biroz o'xshash va shuning uchun sekant chiziqning qiyaligi teginish chizig'ining haqiqiy qiyaligiga biroz yaqin bo'lishi kerak. Shunday qilib, tangens chizig'ining qiyaligini baholash uchun biz sekant chiziqning qiyaligidan foydalanishimiz mumkin, keling, uni \({m_{PQ}}\) deb ataymiz, ya'ni:
\[{m_{PQ}} = \frac{{f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)}}{{2 - 1}} = \frac{{7 - 13}}{1} = - 6\]Endi, agar biz aniqlikka unchalik qiziqmagan bo'lsak, biz buni etarlicha yaxshi deb aytishimiz mumkin va buni tangens chizig'ining qiyaligini baholash uchun ishlatishimiz mumkin. Biroq, biz hech bo'lmaganda haqiqiy qiymatga yaqin bo'lgan taxminni xohlaymiz. Shunday qilib, yaxshiroq baho olish uchun biz \(x = 1\) ga yaqinroq bo'lgan \(x\) ni olishimiz va qiyalikda yangi baho olish uchun yuqoridagi ishni qayta bajarishimiz mumkin. Keyin biz \(x\) ning uchinchi qiymatini yanada yaqinroq olishimiz va undan ham yaxshiroq baho olishimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, \(Q\) ni \(P\) ga yaqinroq va yaqinroq olsak, \(Q\) va \(P\) ni bog'laydigan sekant chiziqning qiyaligi teginish chizig'ining qiyaligiga tobora yaqinlashib borishi kerak. Agar siz buni Internetda ko'rayotgan bo'lsangiz, quyidagi rasmda bu jarayon ko'rsatilgan.
Ko'rib turganingizdek (afsuski, animatsiya barcha pdf tomoshabinlarida ishlamaydi), biz \(Q\)-ni \(P\)-ga yaqinroq va yaqinroq o'tkazganimizda, kesuvchi chiziqlar tobora ko'proq tangens chiziqqa o'xshay boshlaydi va shuning uchun taxminiy qiyaliklar (i.e. sekant chiziqlarning yonbag'irlari) aniq nishabga tobora yaqinlashmoqda. Bundan tashqari, men aniq yoki taxminiy qiyaliklarni qanday olganim haqida tashvishlanmang. Tez orada biz taxminiy qiyaliklarni hisoblaymiz va bir necha bo'limlarda aniq qiyaliklarni hisoblashimiz mumkin.
Ushbu rasmda biz faqat \(P\) ning o'ng tomonidagi \(Q\)-ni ko'rib chiqdik, lekin biz \(P\)-ning chap tomonidagi \(Q\)-dan osongina foydalanishimiz mumkin edi va biz bir xil natijalarni olgan bo'lardik. Aslida, biz har doim \(P\) ning ikkala tomonida joylashgan \(Q\)-ga qarashimiz kerak. Bu holda \(P\) ning ikkala tomonida ham xuddi shunday narsa sodir bo'ladi. Biroq, biz oxir-oqibat bu sodir bo'lmasligini ko'ramiz. Shuning uchun, biz bunday jarayonni amalga oshirayotganda har doim ikkala tomonda nima sodir bo'layotganiga e'tibor qaratishimiz kerak.
Shunday qilib, keling, biz yuqorida ko'rsatgan taxminiy qiyaliklarni va shuning uchun tangens chizig'ining qiyaligini taxmin qilishimiz mumkinligini bilib olaylik. Jarayonni biroz soddalashtirish uchun keling, \(P\) va \(Q\), \({m_{PQ}}\) o'rtasidagi chiziq qiyaligi formulasini olamiz, bu biz ishlashni tanlagan har qanday \(x\) uchun ishlaydi. Biz \(Q = \left( {x,f\left( x \right)} \right)\) ning “umumiy” shaklidan foydalanib, \(P\) va \(Q\) orasidagi qiyalikni topish orqali formulani olishimiz mumkin.
\[{m_{PQ}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \frac{{15 - 2{x^2} - 13}}{{x - 1}} = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{x - 1}}\]Keling, \(x\) ning ba'zi qiymatlarini \(x = 1\) ga yaqinlashib, ulang va biroz qiyaliklarni tanlaymiz.
| \(x\) | \({m_{PQ}}\) | \(x\) | \({m_{PQ}}\) |
|---|---|---|---|
| 2 | -6 | 0 | -2 |
| 1.5 | -5 | 0.5 | -3 |
| 1.1 | -4.2 | 0.9 | -3.8 |
| 1.01 | -4.02 | 0.99 | -3.98 |
| 1.001 | -4.002 | 0.999 | -3.998 |
| 1.0001 | -4.0002 | 0.9999 | -3.9998 |
Shunday qilib, agar biz \(x\) ni 1 ning o'ng tomoniga olib, ularni 1 ga juda yaqin joylashtirsak, ajratuvchi chiziqlarning qiyaligi -4 ga yaqinlashayotgandek ko'rinadi. Xuddi shunday, agar biz \(x\) ni 1 ning chap tomoniga olib, ularni 1 ga juda yaqin joylashtirsak, sekant chiziqlarning qiyaligi yana -4 ga yaqinlashayotgandek ko'rinadi.
Ushbu dalillarga asoslanib, biz \(x = 1\) tomon harakatlanar ekanmiz, kesuvchi chiziqlarning qiyaligi -4 ga yaqinlashayotganga o'xshaydi, shuning uchun biz tangens chizig'ining qiyaligi ham -4 ekanligini taxmin qilamiz. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu to'g'ri qiymat va biz buni oxir-oqibat isbotlay olamiz.
Endi, \[\left( {a,f\left( a \right)} \right)\] orqali o'tadigan chiziq tenglamasi tomonidan berilgan
\[y = f\left( a \right) + m\left( {x - a} \right)\]Shuning uchun, \(x=1\) da \(f\left( x \right) = 15 - 2{x^2}\) ga teguvchi chiziq tenglamasi
\[y = 13 - 4\left( {x - 1} \right) = - 4x + 17\]Yuqoridagi ishimiz haqida bir nechta muhim fikrlarni ta'kidlash kerak. Birinchidan, biz \(x = 1\) ning ikkala tomonida joylashgan nuqtalarni ko'rib chiqdik. Bunday jarayonda nuqtaning bir tomonida sodir bo'layotgan narsa boshqa tomonda ham sodir bo'ladi deb o'ylamaslik kerak. Biz har doim ikkala tomonda nima sodir bo'layotganiga qarashimiz kerak. Ushbu misolda biz grafikni chizishimiz mumkin va shundan kelib chiqib, bir tomonda sodir bo'layotgan narsa boshqa tomonda ham sodir bo'lishini taxmin qilishimiz mumkin, lekin biz odatda oldimizda grafiklarga ega emasmiz yoki ularni osongina olishimiz mumkin.
Keyin e'tibor bering, biz ko'rib chiqilayotgan nuqtaga yaqinlashamiz deganimizda, biz juda yaqin bo'lamiz va biz bir nechta nuqtalardan ko'proq foydalanamiz. Biz hech qachon ko'rib chiqilayotgan nuqtaga unchalik yaqin bo'lmagan bir nechta fikrlarga asoslangan trendni aniqlashga urinmasligimiz kerak.
E'tibor berish kerak bo'lgan keyingi narsa, albatta, hamma narsadan ko'ra ogohlantirishdir. Ushbu misoldagi \({m_{PQ}}\) qiymatlari juda "yaxshi" edi va bir necha hisob-kitoblardan so'ng ular qanday qiymatga yaqinlashayotgani aniq edi. Aksariyat hollarda bunday bo'lmaydi. Aksariyat qiymatlar ancha "tartibsizroq" bo'ladi va siz taxmin qilish uchun ko'pincha bir nechta hisob-kitoblarga muhtoj bo'lasiz. Hisoblash uchun har doim kamida to'rtta nuqtadan foydalanishingiz kerak. Ikki ball hech qachon yaxshi baho olish uchun etarli emas va uchta ball ham ko'pincha yaxshi baho olish uchun etarli bo'lmaydi. Umuman olganda, siz tanlab olish nuqtalarini ketma-ket ikkita nuqta o'rtasidagi qiymat o'zgarishi juda kichik bo'lmaguncha ko'rib chiqayotgan nuqtaga yaqinroq va yaqinroq tutasiz.
Nihoyat, biz \(x = 1\)-da sodir bo'layotgan narsaga ergashdik va biz \(x = 1\)-ni qiyalik formulamizga ulay olmadik. Ushbu cheklovga qaramay, biz \(x = 1\) atrofida sodir bo'layotgan voqealarga qarab, \(x = 1\) da nima sodir bo'layotgani haqida ba'zi ma'lumotlarni aniqlay oldik. Bu siz avval tushunganingizdan ham muhimroq va biz keyingi bo'limlarda bu fikrni batafsil muhokama qilamiz.
Davom etishdan oldin, keling, yuqoridagi misolda nima qilganimizni qisqacha ko'rib chiqaylik. Biz \(x = a\) nuqtasida \(f\left( x \right)\) ga teginish chizig'ini xohladik. Birinchidan, biz \(P = \left( {a,f\left( a \right)} \right)\) nuqtasi tangens chiziqda bo'lishini bilamiz. Keyinchalik, funktsiya grafigidagi ikkinchi nuqtani olamiz, uni \(Q = \left( {x,f\left( x \right)} \right)\) deb nomlaymiz va \(P\) va \(Q\) ni bog'laydigan chiziqning qiyaligini quyidagicha hisoblaymiz:
\[{m_{PQ}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\]Keyin \(x\) ning \(x = a\) ga tobora yaqinlashadigan qiymatlarini olamiz (\(x = a\) ning ikkala tomonidagi \(x\) ga qarang va bu qiymatlar ro‘yxatidan \(m\) tangens chizig‘ining qiyaligini baholash uchun foydalaning.
Keyin teginish chizig'i bo'ladi,
\[y = f\left( a \right) + m\left( {x - a} \right)\]O'zgarish stavkalari
Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan keyingi muammo - bu o'zgarish tezligi muammosi. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu biz ushbu kurs davomida ko'rib chiqadigan eng muhim tushunchalardan biri bo'lib chiqadi.
Bu erda biz \(f\left( x \right)\) funksiyasini ko'rib chiqamiz, u \(x\) o'zgarganda o'zgarib turadigan ba'zi bir miqdorni ifodalaydi. Masalan, \(f\left( x \right)\) \(x\) daqiqadan so'ng saqlash idishidagi suv miqdorini ko'rsatishi mumkin. Yoki \(f\left( x \right)\) - bu \(x\) soatdan keyin avtomobil bosib o'tgan masofa. Ushbu ikkala misolda biz vaqtni ifodalash uchun \(x\) dan foydalandik. Albatta, \(x\) vaqtni ifodalashi shart emas, lekin u tasavvur qilish oson bo'lgan misollarni beradi.
Biz bu erda qilmoqchi bo'lgan narsa \(f\left( x \right)\) bir nuqtada qanchalik tez o'zgarishini aniqlashdir, deylik \(x = a\). Bu deyiladi oniy o'zgarish tezligi yoki ba'zan shunchaki o'zgarish darajasi of \(f\left( x \right)\) at \(x = a\).
Tangens chiziq muammosida bo'lgani kabi, biz hozir qila oladigan narsa o'zgarish tezligini taxmin qilishdir. Shunday qilib, keling, yuqoridagi misollarni davom ettiramiz va \(f\left( x \right)\) vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan narsa va \(x\) vaqt o'lchovi deb o'ylaymiz. Yana \(x\) vaqtni ifodalashi shart emas, lekin tushuntirishni biroz osonlashtiradi. Ushbu nuqtada bir lahzali o'zgarish tezligini hisoblay olmasak-da, o'rtacha o'zgarish tezligini topishimiz mumkin.
\(f\left( x \right)\)-ning \(x = a\)-da o'rtacha o'zgarish tezligini hisoblash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa boshqa nuqtani tanlashdir, aytaylik \(x\) va keyin o'rtacha o'zgarish tezligi bo'ladi:
\[\begin{align*}A.R.C. & = \frac{{{\mbox{change in }}f\left( x \right)}}{{{\mbox{change in }}x}}\\ & = \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\end{align*}\]Keyin \(x = a\) da bir lahzalik o'zgarish tezligini taxmin qilish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa \(x\) qiymatlarini \(x = a\) ga yaqinlashayotganini tanlash (ularni \(x = a\) ning ikkala tomonida tanlashni unutmang) va \(A.R.C.\) qiymatlarini o'sha paytdagi o'zgarish tezligini hisoblashimiz kerak.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
\[V\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 35\] 5 soatdan keyin ovoz balandligining bir lahzalik o'zgarish tezligini hisoblang.
Yechim
Mayli. Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - hajmning o'rtacha o'zgarish tezligi uchun formulani olishdir. Bu holda bu,
\[A.R.C. = \frac{{V\left( t \right) - V\left( 5 \right)}}{{t - 5}} = \frac{{{t^3} - 6{t^2} + 35 - 10}}{{t - 5}} = \frac{{{t^3} - 6{t^2} + 25}}{{t - 5}}\]\(t = 5\) da ovoz balandligining bir lahzali o'zgarish tezligini baholash uchun biz \(t = 5\) ga tobora yaqinlashib borayotgan \(t\) qiymatlarini tanlashimiz kerak. Mana \(t\) qiymatlari jadvali va bu qiymatlar uchun o'rtacha o'zgarish tezligi.
| \(t\) | \(A.R.C.\) | \(t\) | \(A.R.C.\) |
|---|---|---|---|
| 6 | 25.0 | 4 | 7.0 |
| 5.5 | 19.75 | 4.5 | 10.75 |
| 5.1 | 15.91 | 4.9 | 14.11 |
| 5.01 | 15.0901 | 4.99 | 14.9101 |
| 5.001 | 15.009001 | 4.999 | 14.991001 |
| 5.0001 | 15.00090001 | 4.9999 | 14.99910001 |
Shunday qilib, ushbu jadvaldan o'rtacha o'zgarish tezligi 15 ga yaqinlashayotganga o'xshaydi va shuning uchun biz ushbu nuqtada lahzali o'zgarish tezligini 15 ga teng deb hisoblashimiz mumkin.
Xo'sh, bu bizga \(t = 5\) hajmi haqida nimani anglatadi? Keling, yuqoridagi javobga ba'zi birliklarni qo'yaylik. Bu bizga hozirgi vaqtda hajm bilan nima sodir bo'layotganini ko'rishga yordam berishi mumkin. Faraz qilaylik, hajmdagi birliklar sm da bo'lgan3. O'zgarish tezligi (o'rtacha va lahzali) bo'yicha birliklar u holda sm3/hr.
Biz \(t = 5\) da ovoz balandligi 15 sm ga o'zgarib borayotganini taxmin qildik.3/soat. Bu \(t = 5\) da ovoz balandligi shunday o'zgaradiki, agar tezlik doimiy bo'lsa, bir soatdan keyin 15 sm bo'ladi.3 havo sharida \(t = 5\) dagidan ko'ra ko'proq havo.
Biroq, biz bu erda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Aslida, ehtimol 15 sm bo'lmaydi3 bir soatdan keyin balonda ko'proq havo. Ovoz balandligini o'zgartirish tezligi odatda doimiy emas, shuning uchun biz yana bir soat ichida ovoz balandligini aniqlay olmaymiz. Aytishimiz mumkinki, hajm ortib bormoqda, chunki bir lahzali o'zgarish tezligi ijobiydir va agar biz \(t\) ning boshqa qiymatlari uchun o'zgarish sur'atlariga ega bo'lsak, raqamlarni taqqoslashimiz va boshqa nuqtalarda o'zgarish tezligi tezroq yoki sekinroq ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Masalan, \(t = 4\) da oniy o'zgarish tezligi 0 sm3/soat va \(t = 3\) da oniy o'zgarish tezligi -9 sm3/soat. Ushbu o'zgarishlarni tekshirishni sizga qoldiramiz. Aslida, bu o'zgarish sur'atlari bo'yicha da'volarimizni qo'llab-quvvatlaydigan qadriyatlar jadvalini tuza olasizmi yoki yo'qligini bilish uchun yaxshi mashq bo'lardi.
Qanday bo'lmasin, misolga qaytaylik. \(t = 4\) da o'zgarish tezligi nolga teng va shuning uchun hozirgi vaqtda ovoz balandligi umuman o'zgarmaydi. Bu kelajakda u o'zgarmaydi degani emas. Bu shunchaki \(t = 4\) da ovoz balandligi o'zgarmasligini anglatadi. Xuddi shunday, \(t = 3\) da ovoz balandligi pasaymoqda, chunki bu nuqtadagi o'zgarish tezligi salbiy. Aytishimiz mumkinki, o'zgarish tezligining ortib borayotgan/kamayayotgan jihatlaridan qat'i nazar, sharning hajmi \(t = 5\) da \(t = 3\) da bo'lganidan tezroq o'zgaradi, chunki 15 9 dan katta.
Keyingi bobga kirganimizda biz o'zgarish stavkalari haqida ko'proq gaplashamiz.
Tezlik muammosi
Tezlik muammosini qisqacha ko'rib chiqaylik. Ko'pgina hisob kitoblari buni o'z muammosi sifatida ko'rib chiqadi. Biroq, biz buni o'zgarish tezligi muammosining alohida holati deb o'ylashni yaxshi ko'ramiz. Tezlik masalasida bizga ob'ektning \(t\) vaqtidagi o'rnini beruvchi \(f\left( t \right)\) joylashuv funksiyasi berilgan. Keyin ob'ektning bir lahzalik tezligini hisoblash uchun biz tezlikni faqat pozitsiyani o'zgartirish tezligidan boshqa narsa emasligini esga olishimiz kerak.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, lahzali tezlikni hisoblash uchun biz birinchi navbatda o'rtacha tezlikni hisoblaymiz,
\[\begin{align*}A.V. & = \frac{{{\mbox{change in position}}}}{{{\mbox{time traveled}}}}\\ & \\ & = \frac{{f\left( t \right) - f\left( a \right)}}{{t - a}}\end{align*}\]va keyin \(t\) qiymatlarini \(t = a\) ga yaqinroq va yaqinroq oling va lahzali tezlikni baholash uchun ushbu qiymatlardan foydalaning.
Belgini o'zgartirish
Ushbu bo'limda davom etishdan oldin qilishimiz kerak bo'lgan oxirgi narsa bor. Ushbu bo'limning asosiy maqsadi bizni ushbu kursning birinchi qismida ko'radigan bir nechta asosiy tushunchalar va g'oyalar bilan tanishtirish, shuningdek, chegaralar sari yo'lni boshlash edi.
Rasmiy ravishda chegaralarga o'tishdan oldin, keling, orqaga qaytaylik va ikkala (yoki tezlikni alohida muammo sifatida qo'shsangiz, uchtasi) muammosini umumiyroq tushunchaga bog'laydigan bir oz ish qilaylik.
Birinchidan, biz tangens chizig'ini, bir lahzali o'zgarish tezligini yoki oniy tezlikni xohlaymizmi, ularning har biri aynan bir xil formuladan foydalanganiga e'tibor bering. Ya'ni,
\begin{equation}\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} \label{eq:eq1}\end{tenglama}Bu uchta muammoning barchasi haqiqatan ham bir xil muammo ekanligini ko'rsatishi kerak. Darhaqiqat, bu keyingi bobda ko'rib chiqamiz. Biz haqiqatan ham ushbu holatlarning har birida bir xil muammo bilan ishlayapmiz, yagona farq natijalarni talqin qilishdir.
Keyingiga tayyorgarlik ko'rayotganda, biz buni batafsilroq ko'rib chiqamiz, biz yozuvni tezda o'zgartirishimiz kerak. Bu erda qilish osonroq, chunki biz bu muammolarga etarlicha vaqt ajratganmiz.
Ushbu muammolarning barchasida biz \(x = a\) da nima sodir bo'layotganini aniqlashni xohladik. Buning uchun biz \(x\) ning boshqa qiymatini tanladik va \(\eqref{eq:eq1}\) ga ulandik. Biz bu erda nima qilayotganimiz uchun, ehtimol, buni qilishning eng intuitiv usuli. Biroq, biz ushbu muammolarni bitta muammo sifatida ko'rib chiqa boshlasak, \(\eqref{eq:eq1}\) ishlash uchun eng yaxshi formula bo'lmaydi.
Buning o'rniga biz nima qilamiz, avval \(x = a\) dan qanchalik uzoqqa o'tishni xohlayotganimizni aniqlash va keyin ushbu qaror asosida yangi nuqtani aniqlash. Shunday qilib, agar biz \(x = a\) dan \(h\) masofasini ko'chirmoqchi bo'lsak, yangi nuqta \(x = a + h\) bo'ladi. Bu quyidagi eskizda ko'rsatilgan.
Yuqoridagi ishimizda ko'rganimizdek, \(x = a\) ning ikkala tomoni bo'lgan \(x\) qiymatlarini olish muhimdir. \(x\) ning yangi qiymatini tanlashning bu usuli biz uchun buni amalga oshiradi, chunki biz yuqoridagi eskizda ko'rishimiz mumkin. Agar \(h > 0\) bo'lsa, biz \(x = a\) ning o'ng tomonidagi \(x\) qiymatini olamiz va \(h < 0\) bo'lsa, \(x = a\) ning chap tomonidagi \(x\) qiymatlarini olamiz va ikkalasi ham \(x = a + h\) tomonidan berilgan.
Endi \(x\) ikkinchi qiymatini olishning yangi usuli bilan \(\eqref{eq:eq1}\) shunday bo'ladi:
\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} = \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{{a + h - a}} = \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}\]Endi bu \(x\) ning o'ziga xos qiymati uchun, i.e. \(x = a\) va biz kamdan-kam hollarda \(x\) ning o'ziga xos qiymatlariga qaraymiz. Shunday qilib, biz yuqoridagi tenglamaning yakuniy bosqichini olamiz va \(a\) ni \(x\) bilan almashtiramiz,
\[\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\]Bu bizga \(x\) ning umumiy qiymati uchun formulani beradi va tashqi ko'rinishiga ko'ra, bu narsa bilan shug'ullanishning o'ta murakkab usuli bo'lib tuyulishi mumkin. Biroq, biz ko'rib turganimizdek, bu shakl bilan ishlash, \(\eqref{eq:eq1}\) asl shakli bilan ishlashdan ko'ra osonroq bo'ladi.