Ilova A.3: Trig chegaralarini isbotlash
Ushbu bo'limda biz sinus va kosinus hosilasini hosil qilishda qo'llaniladigan ikkita chegaraning isbotini keltiramiz. Trig funksiyalarining hosilalari hosilalar bo'limining bo'limi.
Isbot: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\)
Ushbu chegaraning bu isboti foydalanadi Siqish teoremasi. Biroq, siqish teoremasidan foydalanish uchun narsalarni sozlash biroz murakkab geometrik argument bo'lishi mumkin, unga amal qilish qiyin bo'lishi mumkin, shuning uchun biz uni juda sekin qabul qilishga harakat qilamiz.
Keling, \(0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\) deb faraz qilishdan boshlaylik. Biz \(\theta \to 0\) chegarasini isbotlayotganimiz sababli, \(\theta \) unchalik katta emas deb taxmin qilish mumkin (i.e. \(\theta \le \frac{\pi }{2}\)). Bundan tashqari, \(\theta \) ni ijobiy deb hisoblab, biz avvalo yuqoridagi chegara o‘ng chegara bo‘lsa, to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Ko'rib turganingizdek, buni isbotlay olsak, chegarani isbotlash oson bo'ladi.
Shunday qilib, biz \(\theta \) bo'yicha o'z taxminimizni qabul qilganimizdan so'ng, quyida ko'rsatilganidek, kichik bo'lak bilan belgilangan sakkizburchak bilan chegaralangan birlik doirasidan boshlaylik.
\(A\) va \(C\) nuqtalari sakkizburchakdagi tegishli tomonlarning o'rta nuqtalari bo'lib, aslida bu nuqtada aylanaga tegib turadi. Biz bu ikki tomon uchrashadigan nuqtani \(B\) deb ataymiz.
Bu rasmdan aylana aylanasi sakkizburchak uzunligidan kichik ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, agar biz yuqorida ko'rsatilgan figuraning bo'lagini ko'rib chiqsak, u holda tilimga kiritilgan doira qismining uzunligi tilimga kiritilgan sakkizburchak qismining uzunligidan kichik bo'lishi kerak.
Chunki biz ko'p ishimizni figuraning bir bo'lagi ustida bajaramiz, keling, uni ajratib oling va faqat unga qaraymiz. Bu erda faqat bo'lakning eskizi.
Endi aylananing qismini \({\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC\) bilan va \(\left| {AB} \right|\) va \(\left| {BC} \right|\) tomonidan ko'rsatilgan sakkizburchakning ikki qismining uzunligini belgilang. Keyin biz yuqorida qilgan uzunliklarni kuzatishimiz kerak,
\[\begin{equation}{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC < \left| {AB} \right| + \left| {BC} \right|\label{eq:eq1}\end{equation}\]Keyinchalik, \(AB\) va \(OC\) qatorlarini quyida ko'rsatilganidek kengaytiring va ular \(D\) bilan uchrashadigan nuqtani chaqiring. Endi \(AOD\) tomonidan hosil qilingan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Bularning barchasi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
\(BCD\) uchburchagi \(BD\) gipotenuzasiga ega to'g'ri burchakli uchburchak va shuning uchun biz \(\left| {BC} \right| < \left| {BD} \right|\) ni bilamiz. Shuningdek, \(\left| {AB} \right| + \left| {BD} \right| = \left| {AD} \right|\) ga e'tibor bering. Agar biz \(\eqref{eq:eq1}\) da ushbu ikkita faktdan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:
\[\begin{align}{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC & < \left| {AB} \right| + \left| {BC} \right| \nonumber \\ & < \left| {AB} \right| + \left| {BD} \right| \nonumber\\ & = \left| {AD} \right| \label{eq:eq2}\end{align}\]Keyinchalik, yuqorida aytib o'tilganidek, \(AOD\) uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir va shuning uchun biz \(\left| {AD} \right| = \left| {AO} \right|\tan \theta \) yozish uchun ozgina to'g'ri burchakli uchburchak trigonometriyasidan foydalanishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, \(\left| {AO} \right| = 1\), chunki u birlik doirasining radiusidan boshqa narsa emas. \(\eqref{eq:eq2}\) da ushbu ma'lumotdan foydalanish,
\[\begin{align}{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC & < \left| {AD} \right| \nonumber\\ & < \left| {AO} \right|\tan \theta \nonumber\\ & = \tan \theta \label{eq:eq3} \end{align}\]Biz eslashimiz kerak bo'lgan navbatdagi narsa shundaki, aylananing bir qismining uzunligi aylana radiusi bilan biz o'lchamoqchi bo'lgan doira qismini ko'rsatadigan burchakka (radianlarda!) ko'paytiriladi. Bizning qismimiz uchun bu shuni anglatadiki,
\[{\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC = \left| {AO} \right|\theta = \theta \]Tezkor eslatmani davom ettirishdan oldin. Talabalar tez-tez so'rashadi, nima uchun biz Calculus kursida radianlardan foydalanamiz. Buning sababi! Yuqorida qo'llanilgan doira qismining uzunligi uchun formula burchakning radianda ekanligini taxmin qildi. Darajadagi burchaklar formulasi boshqacha va agar biz undan foydalansak, boshqacha javob olardik. Shunday qilib, har doim radyanlardan foydalanishni unutmang.
Shunday qilib, buni \(\eqref{eq:eq3}\)-ga qo'yish, biz buni ko'ramiz,
\[\theta = {\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC < \tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}\]yoki, agar biz biroz qayta tartibga solsak, biz olamiz,
\[\begin{equation}\cos \theta < \frac{{\sin \theta }}{\theta }\label{eq:eq4}\end{equation}\]Biz birozdan keyin \(\eqref{eq:eq4}\) ga qaytamiz. Keling, yuqoridagi rasmimizga yana ikkita qator qo'shamiz. Keling, \(A\) va \(C\) ni chiziq bilan bog'laymiz va \(AO\) ni to'g'ri burchak ostida kesib o'tguncha \(C\) dan to'g'ri pastga tushiramiz va kesishish nuqtasini \(E\) deb ataymiz. Bularning barchasi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Xo'sh, bu erda birinchi navbatda e'tibor berish kerak,
\[\begin{equation}\left| {CE} \right| < \left| {AC} \right| < {\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC\label{eq:eq5}\end{equation}\]Shuni ham yodda tutingki, \(EOC\) uchburchak \(\left| {CO} \right| = 1\) gipotenuzasiga ega to'g'ri burchakli uchburchakdir. To'g'ri burchakli uchburchak triglaridan foydalanib, biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\left| {CE} \right| = \left| {CO} \right|\sin \theta = \sin \theta \]Buni \(\eqref{eq:eq5}\) ga ulab, biz \({\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC = \theta \) olganimizni eslab,
\[\sin \theta = \left| {CE} \right| < {\mathop{\mbox{arc }}\nolimits} AC = \theta \]va biroz qayta yozish bilan biz olamiz,
\[\begin{equation}\frac{{\sin \theta }}{\theta } < 1 \label{eq:eq6} \end{equation}\]OK, biz bu erda deyarli tugatdik. \(\eqref{eq:eq4}\) va \(\eqref{eq:eq6}\)-ni birlashtirganda biz buni ko'ramiz,
\[\cos \theta < \frac{{\sin \theta }}{\theta } < 1\]\(0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\) bilan ta'minlangan. Shuni ham ta'kidlaymizki,
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \cos \theta = 1\hspace{0.75in}\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} 1 = 1\]Endi biz foydalanishga sozlanganmiz Siqish teoremasi. Biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan yagona masala shundaki, biz o'z taxminlarimizda \(\theta = 0\) ning o'ng tomonida turibmiz va shuning uchun siqish teoremasi bizga aytadigan eng yaxshi narsa:
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ + }} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\]Shunday qilib, biz faqat o'ng chegara bilan ishlayotgan bo'lsak, chegara to'g'ri ekanligini bilamiz. Biroq, biz \(\sin \theta \) g'alati funktsiya ekanligini bilamiz va shuning uchun,
\[\frac{{\sin \left( { - \theta } \right)}}{{ - \theta }} = \frac{{ - \sin \theta }}{{ - \theta }} = \frac{{\sin \theta }}{\theta }\]Boshqacha qilib aytganda, agar biz chapdan nolga yaqinlashsak (i.e. manfiy \(\theta \)) keyin biz funktsiyada xuddi o'ngdan nolga yaqinlashgandek qiymatlarni olamiz (i.e. ijobiy \(\theta \)) va boshqalar,
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to {0^ - }} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\]Endi biz ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil ekanligini ko'rsatdik va shuning uchun bizda ham bo'lishi kerak,
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\]Bu biroz uzoq isbot edi va agar siz geometrik dalillarni yaxshi bilmasangiz, bu juda qo'rqinchli va chalkash bo'lishi mumkin. Yaxshiyamki, ikkinchi chegarani isbotlash juda oddiy, agar siz birinchi chegarani allaqachon isbotlagan bo'lsangiz.
Isbot: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\cos \theta - 1}}{\theta } = 0\)
Biz quyidagilarni bajarishdan boshlaymiz,
\[\begin{equation}\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\cos \theta - 1}}{\theta } = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\left( {\cos \theta - 1} \right)\left( {\cos \theta + 1} \right)}}{{\theta \left( {\cos \theta + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{{{\cos }^2}\theta - 1}}{{\theta \left( {\cos \theta + 1} \right)}} \label{eq:eq7} \end{equation}\]Endi eslaylik,
\[{\cos ^2}\theta + {\sin ^2}\theta = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{\cos ^2}\theta - 1 = - {\sin ^2}\theta \]Buni \(\eqref{eq:eq7}\) da ishlatish bizga,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\cos \theta - 1}}{\theta } & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{ - {{\sin }^2}\theta }}{{\theta \left( {\cos \theta + 1} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta }\frac{{ - \sin \theta }}{{\cos \theta + 1}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta }\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{ - \sin \theta }}{{\cos \theta + 1}}\end{align*}\]Shu nuqtada, chunki biz birinchi chegarani isbotladik va ikkinchisini to'g'ridan-to'g'ri olish mumkin, biz deyarli tugatdik. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa chegaralarni olishdir.
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\cos \theta - 1}}{\theta } = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta }\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{ - \sin \theta }}{{\cos \theta + 1}} = \left( 1 \right)\left( 0 \right) = 0\]