17.1-bo'lim: Rotor va divergensiya
Yuzaki integrallarga kirishdan oldin biz ba'zi kirish materiallarini yo'ldan olib tashlashimiz kerak. Ushbu bobning birinchi ikki bo'limining maqsadi.
Ushbu bo'limda biz vektorning jingalak va divergensiya tushunchalari bilan tanishamiz.
Keling, jingalak bilan boshlaylik. \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k\) vektor maydonini hisobga olgan holda jingalak quyidagicha aniqlanadi:
Vektor maydonining jingalak formulasi
Vektor maydonining burmasining yana bir (potentsial) osonroq ta'rifi mavjud. Uni ishlatish uchun avval \(\nabla \) ni aniqlashimiz kerak operator. Bu shunday belgilanadi,
\(\nabla \) operatori
Biz buni quyidagi tarzda funksiya sifatida ishlatamiz.
\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\,\vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\,\,\vec k\]Shunday qilib, \(\nabla \) dan keyin qaysi funktsiya ro'yxatga olinsa, qisman hosilalarga almashtiriladi. Shuni ham yodda tutingki, biz unga shu nuqtai nazardan qarasak, biz shunchaki gradient vektorini olamiz.
\(\nabla \) yordamida biz jingalakni quyidagi o'zaro mahsulot sifatida belgilashimiz mumkin,
Curl o'zaro mahsulot sifatida
Bizda vektor maydonining burmasidan foydalanadigan bir nechta yoqimli faktlar mavjud.
Curl haqida faktlar
- Agar \(f\left( {x,y,z} \right)\) uzluksiz ikkinchi tartibli qisman hosilalarga ega bo'lsa, \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \left( {\nabla f} \right) = \vec 0\). Bu hosila ta'rifiga ulanish orqali tekshirish juda oson, shuning uchun tekshirishni sizga qoldiramiz.
- Agar \(\vec F\) konservativ vektor maydoni bo'lsa, \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \vec 0\). Bu konservativ vektor maydoni va oldingi haqiqat bo'lish nimani anglatishining bevosita natijasidir.
- Agar \(\vec F\) komponentlari uzluksiz birinchi tartibli qisman hosila va \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \vec 0\) bo'lgan barcha \({\mathbb{R}^3}\) da aniqlangan bo'lsa, \(\vec F\) konservativ vektor maydoni hisoblanadi. Buni tekshirish unchalik oson emas va shuning uchun biz urinmaymiz.
Yechim
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - buklanishni hisoblash va biz nol vektorni olamizmi yoki yo'qmi.
\[\begin{align*}{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial z}}}\\{{x^2}y}&{xyz}&{ - {x^2}{y^2}}\end{array}} \right|\\ & = - 2{x^2}y\,\vec i + yz\,\vec k - \left( { - 2x{y^2}\,\vec j} \right) - xy\,\vec i - {x^2}\vec k\\ & = - \left( {2{x^2}y + xy} \right)\vec i + 2x{y^2}\,\vec j + \left( {yz - {x^2}} \right)\vec k\\ & \ne \vec 0\end{align*}\]Shunday qilib, jingalak nol vektor emas va shuning uchun bu vektor maydoni konservativ emas.
Keyinchalik, jingalakning jismoniy talqini haqida gapirishimiz kerak. Faraz qilaylik, \(\vec F\) oqayotgan suyuqlikning tezlik maydonidir. Keyin \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\) \(\left( {x,y,z} \right)\) nuqtasidagi zarrachalarning \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\) yo'nalishiga ishora qiluvchi o'q atrofida aylanish tendentsiyasini ifodalaydi. Agar \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \vec 0\) bo'lsa, suyuqlik irrotatsion deb ataladi.
Keling, ushbu bo'limdagi ikkinchi yangi kontseptsiya haqida gapiraylik. \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k\) vektor maydonini hisobga olgan holda divergensiya quyidagicha aniqlanadi:
Vektor maydon formulasining farqlanishi
\(\nabla \) operatori nuqtai nazaridan farqlanishning ta'rifi ham mavjud. Divergentsiyani quyidagi nuqta mahsuloti nuqtai nazaridan aniqlash mumkin.
Divergentsiya nuqta mahsuloti sifatida
Yechim
Bu erda, albatta, farqni hisoblashdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{x^2}y} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {xyz} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( { - {x^2}{y^2}} \right) = 2xy + xz\]Shuningdek, jingalak va divergensiya o'rtasidagi munosabat haqida bizda quyidagi fakt mavjud.
\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F} \right) = 0\]Yechim
Keling, avval jingalakni hisoblaylik.
\[\begin{align*}{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}}&{\displaystyle \frac{\partial }{{\partial z}}}\\{y{z^2}}&{xy}&{yz}\end{array}} \right|\\ & = z\,\vec i + 2yz\,\vec j + y\,\vec k - {z^2}\vec k\\ & = z\vec i + 2yz\,\vec j + \left( {y - {z^2}} \right)\vec k\end{align*}\]Endi bu farqni hisoblang.
\[{\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( z \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {2yz} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {y - {z^2}} \right) = 2z - 2z = 0\]Shuningdek, bizda ajralishning jismoniy talqini mavjud. Agar biz \(\vec F\) ni yana oqayotgan suyuqlikning tezlik maydoni deb hisoblasak, \({\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F\) \(\left( {x,y,z} \right)\) nuqtasidan oqib chiqayotgan suyuqlik massasining birlik hajmdagi o‘zgarish tezligini ifodalaydi. Buni suyuqlikning biror nuqtadan ajralib chiqish tendentsiyasi sifatida ham qarash mumkin. Agar \({\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F = 0\) bo'lsa, \(\vec F\) siqilmaydigan deb ataladi.
Biz qisqacha aytib o'tmoqchi bo'lgan keyingi mavzu
Keyin Laplas operatori quyidagicha aniqlanadi:
\[{\nabla ^2} = \nabla \centerdot \nabla \]Laplas operatori tabiiy ravishda issiqlik uzatish va suyuqlik oqimi kabi ko'plab sohalarda paydo bo'ladi.
Ushbu bo'limdagi yakuniy mavzu Green teoremasining ikkita vektor shaklini berishdir. Birinchi shakl vektor maydonining burmasidan foydalanadi va bu:
Curl yordamida Grin teoremasining vektor shakli
bu erda \(\vec k\) musbat \(z\) yo'nalishidagi standart birlik vektori.
Ikkinchi shakl divergensiyadan foydalanadi. Bunday holda, bizga \(C\) egri chizig'iga normal tashqi birlik ham kerak. Agar egri chiziq bilan parametrlangan bo'lsa
\[\vec r\left( t \right) = x\left( t \right)\vec i + y\left( t \right)\vec j\]u holda tashqi normal birlik tomonidan beriladi,
\[\vec n = \frac{{y'\left( t \right)}}{{\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\|}}\vec i - \frac{{x'\left( t \right)}}{{\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\|}}\vec j\]Mana, har xil nuqtalarda ba'zi \(C\) egri chizig'i uchun normal tashqi birlikni ko'rsatadigan eskiz.
Grin teoremasining divergensiyadan foydalanadigan vektor shakli quyidagicha berilgan: