7.1-bo'lim: Ikki o'zgaruvchiga ega chiziqli sistemalar
Ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamaning chiziqli sistemai - bu shaklda yozilishi mumkin bo'lgan har qanday tizim.
\[\begin{align*}ax + by & = p\\ cx + dy & = q\end{align*}\]bu erda har qanday konstanta nolga teng bo'lishi mumkin, bundan mustasno har bir tenglamada kamida bitta o'zgaruvchi bo'lishi kerak.
Bundan tashqari, agar o'zgaruvchilar faqat birinchi darajali bo'lsa, faqat hisoblagichda bo'lsa va tenglamalarning hech birida o'zgaruvchilarning mahsuloti bo'lmasa, tizim chiziqli deb ataladi.
Mana raqamlar bilan tizimga misol.
\[\begin{align*}3x - y & = 7\\ 2x + 3y & = 1\end{align*}\]Tizimlarni qanday hal qilishni muhokama qilishdan oldin, birinchi navbatda, tenglamalar sistemasining yechimi nima ekanligini aytishimiz kerak. Tenglamalar sistemasining yechimi \(x\) qiymati va \(y\) qiymati bo‘lib, tenglamalarga almashtirilganda bir vaqtning o‘zida ikkala tenglamani ham qanoatlantiradi.
Yuqoridagi misol uchun \(x = 2\) va \(y = - 1\) tizim uchun yechimdir. Buni tekshirish juda oson.
\[\begin{align*}3\left( 2 \right) - \left( { - 1} \right) & = 7\\ 2\left( 2 \right) + 3\left( { - 1} \right) & = 1\end{align*}\]Shunday qilib, raqamlar juftligi tizim uchun yechim ekanligiga ishonch hosil qiling. Bu qadriyatlarga qanday erishganimiz haqida tashvishlanmang. Bu biz misollarga kirganimizda hal qiladigan birinchi tizim bo'ladi.
E'tibor bering, raqamlar juftligi ikkala tenglamani ham qondirishi muhim. Masalan, \(x = 1\) va \(y = - 4\) birinchi tenglamani qondiradi, lekin ikkinchi tenglamani emas, shuning uchun tizimning yechimi emas. Xuddi shunday, \(x = - 1\) va \(y = 1\) ikkinchi tenglamani qondiradi, lekin birinchi emas, shuning uchun tizimga yechim bo'la olmaydi.
Endi ikkita tenglamali tizimning yechimi nimani anglatadi? Agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, tizimdagi ikkala tenglama ham chiziqlardir. Shunday qilib, keling, ularning grafigini tuzamiz va biz nimani olganimizni ko'ramiz.
Ko'rib turganingizdek, tizimning echimi ikkita chiziq kesishgan nuqtaning koordinatalari. Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli sistemalarni echishda biz haqiqatan ham ikkita chiziq qayerda kesishishini so'raymiz.
Ushbu bo'limda tizimlarni hal qilishning ikkita usulini ko'rib chiqamiz.
Birinchi usul deyiladi almashtirish usuli. Ushbu usulda biz o'zgaruvchilardan biri uchun tenglamalardan birini yechamiz va uni boshqa tenglamaga almashtiramiz. Bu biz hal qila oladigan bitta o'zgaruvchiga ega bitta tenglamani beradi. Bu hal etilgach, qolgan o'zgaruvchining qiymatini topish uchun bu qiymatni tenglamalardan biriga almashtiramiz.
So'z bilan aytganda, bu usul har doim ham juda aniq emas. Ushbu usul qanday ishlashini ko'rish uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\begin{align*}3x - y & = 7\\ 2x + 3y & = 1\end{align*}\)
- \(\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}\)
a \(\begin{align*}3x - y & = 7\\ 2x + 3y & = 1\end{align*}\) Yechim
Shunday qilib, bu biz yuqorida ko'rib chiqqan birinchi tizim edi. Biz yechimni allaqachon bilamiz, lekin bu bizga yechim uchun yozib olgan qiymatlarni tekshirish imkoniyatini beradi.
Endi usulda aytilishicha, biz o'zgaruvchilardan biri uchun tenglamalardan birini echishimiz kerak. Qaysi tenglamani tanlashimiz va qaysi o‘zgaruvchini tanlashimiz sizga bog‘liq, lekin odatda eng yaxshisi tenglama va o‘zgaruvchini tanlash oson bo‘ladi. Bu, agar iloji bo'lsa, kasrlardan qochishga harakat qilishimiz kerakligini anglatadi.
Bunday holda, \(y\) uchun birinchi tenglamani echish juda oson bo'ladi, shuning uchun buni qilaylik.
\[3x - 7 = y\]Endi buni ikkinchi tenglamaga almashtiring.
\[2x + 3\left( {3x - 7} \right) = 1\]Bu \(x\)-dagi tenglama, biz uni hal qila olamiz, keling, buni qilaylik.
\[\begin{align*}2x + 9x - 21 & = 1\\ 11x & = 22\\ x & = 2\end{align*}\]Shunday qilib, yechimning \(x\) qismi mavjud.
Nihoyat, orqaga qaytishni va yechimning \(y\) qismini topishni unutmang. Bu talabalar tizimlarni yechishda eng ko'p uchraydigan xatolardan biridir. Buning uchun biz \(x\) qiymatini asl tenglamalardan biriga ulashimiz va \(y\) ni hal qilishimiz mumkin yoki biz uni faqat birinchi bosqichda topilgan almashtirishimizga ulashimiz mumkin. Bu osonroq bo'ladi, shuning uchun buni qilaylik.
\[y = 3x - 7 = 3\left( 2 \right) - 7 = - 1\]Shunday qilib, yechim yuqorida aytib o'tganimizdek \(x = 2\) va \(y = - 1\).
b \(\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}\) Yechim
Ushbu tizim yordamida biz kasrlardan butunlay qochib qutula olmaymiz. Biroq, agar biz \(x\) uchun ikkinchi tenglamani yechsak, ularni minimallashtirishimiz mumkin. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}3x & = 6y + 2\\ x & = 2y + \frac{2}{3}\end{align*}\]Endi buni birinchi tenglamaga almashtiring va natijada \(y\) uchun tenglamani yeching.
\[\begin{align*}5\left( {2y + \frac{2}{3}} \right) + 4y & = 1\\ 10y + \frac{{10}}{3} + 4y & = 1\\ 14y & = 1 - \frac{{10}}{3} = - \frac{7}{3}\\ y & = - \left( {\frac{7}{3}} \right)\left( {\frac{1}{{14}}} \right)\\ y & = - \frac{1}{6}\end{align*}\]Nihoyat, \(x\) ni topish uchun uni asl almashtirishga almashtiring.
\[x = 2\left( { - \frac{1}{6}} \right) + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]Shunday qilib, ushbu tizimning yechimi \(x = \frac{1}{3}\) va \(y = - \frac{1}{6}\).
Yagona tenglamalarda bo'lgani kabi, biz har doim orqaga qaytib, bu yechimni ikkala tenglamaga ulab, ikkala tenglamaga ham mos kelishiga ishonch hosil qilish orqali tekshirishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz haqiqatan ham ikkala tenglamaga ulanishimiz kerak. Ehtimol, xatolik natijasida tenglamalardan birini qondiradigan, ikkinchisini emas, bir juft son paydo bo'lishi mumkin.
Keling, tenglamalar sistemasini yechishning keyingi usuliga o'tamiz. Oldingi misolning oxirgi qismida ko'rganimizdek, almashtirish usuli ko'pincha bizni kasrlar bilan ishlashga majbur qiladi, bu esa xatolar ehtimolini oshiradi. Ushbu ikkinchi usulda bu muammo bo'lmaydi. Xo'sh, bu butunlay to'g'ri emas. Agar kasrlar paydo bo'ladigan bo'lsa, ular faqat oxirgi bosqichda ko'rinadi va ular faqat eritmada kasrlar bo'lsa paydo bo'ladi.
Bu ikkinchi usul deyiladi bartaraf etish usuli. Ushbu usulda biz tenglamalardan birini yoki ikkalasini tegishli raqamlarga ko'paytiramiz (i.e. o'zgaruvchilardan biri qarama-qarshi belgilar bilan bir xil koeffitsientga ega bo'lishi uchun tenglamadagi har bir a'zoni raqamga ko'paytiring. Keyin keyingi qadam ikkita tenglamani bir-biriga qo'shishdir. O'zgaruvchilardan biri qarama-qarshi belgilar bilan bir xil koeffitsientga ega bo'lganligi sababli, ikkita tenglamani qo'shganda u yo'q qilinadi. Natijada o'zgaruvchilardan biri uchun yechishimiz mumkin bo'lgan yagona tenglama bo'ladi. Bu bajarilgandan so'ng, ushbu javobni asl tenglamalardan biriga almashtiring.
Birinchi usulda bo'lgani kabi, bu erda nima sodir bo'layotganini bir nechta misollar bilan ko'rish ancha oson.
- \(\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}\)
- \(\begin{align*}2x + 4y & = - 10\\ 6x + 3y & = 6\end{align*}\)
a \(\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x - 6y & = 2\end{align*}\) Yechim
Bu bizni kasrlar bilan ishlashga majbur qilgan oldingi misollar to'plamidagi tizim. Bu erda ishlash ikki usul o'rtasidagi farqni ko'rsatadi va u tizimga yechim topish uchun ikkala usuldan ham foydalanish mumkinligini ko'rsatadi.
Shunday qilib, biz bir yoki ikkala tenglamani doimiylarga ko'paytirishimiz kerak, shunda o'zgaruvchilardan biri qarama-qarshi belgilar bilan bir xil koeffitsientga ega bo'ladi. Shunday qilib, \(y\) atamalari allaqachon qarama-qarshi belgilarga ega bo'lganligi sababli, keling, ushbu atamalar bilan ishlaylik. Agar birinchi tenglamani 3 ga, ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytirsak, \(y\) shartlari 12 va -12 koeffitsientlariga ega bo'ladi, bu bizga bu usul uchun kerak bo'ladi.
Mana bu bosqich uchun ish.
\[\begin{align*} 5x+4y & = 1 & \underrightarrow{\times \,\,3} \hspace{0.5in} & 15x+12y=3 \\ 3x-6y & = 2 & \underrightarrow{\times \,\,2} \hspace{0.5in} & \underline{\,\,6x-12y=4} \\ & & & 21x \hspace{0.5in} =7 \\ \end{align*}\]Shunday qilib, va'da qilingan usulning tavsifi sifatida biz \(x\) uchun echilishi mumkin bo'lgan tenglamaga egamiz. Buni amalga oshirish, \(x = \frac{1}{3}\) ni beradi, bu biz oldingi misolda topilgan narsadir. E'tibor bering, biz shu nuqtaga qadar hal qilishimiz kerak bo'lgan yagona kasr - bu javobning o'zi, bu almashtirish usulidan farq qiladi.
Endi yana \(y\) ni topishni unutmang. Bu holda almashtirish usulidan ko'ra bir oz ko'proq ish bo'ladi. \(y\) ni topish uchun biz \(x\) qiymatini asl tenglamalardan biriga almashtirishimiz va \(y\) ni hal qilishimiz kerak. \(x\) kasr bo'lgani uchun, shuni ta'kidlaymizki, bu holda, agar biz ushbu qiymatni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz hech bo'lmaganda vaqtinchalik kasrlarni yo'qotamiz. E'tibor bering, ko'pincha bu sodir bo'lmaydi va biz xohlaymizmi yoki yo'qmi, kasrlar bilan shug'ullanishga majbur bo'lamiz.
\[\begin{align*}3\left( {\frac{1}{3}} \right) - 6y & = 2\\ 1 - 6y & = 2\\ - 6y & = 1\\ y & = - \frac{1}{6}\end{align*}\]Shunga qaramay, bu biz oldingi misolda topilgan qiymatdir.
b \(\begin{align*}2x + 4y & = - 10\\ 6x + 3y & = 6\end{align*}\) Yechim
Bu qismda barcha o'zgaruvchilar ijobiydir, shuning uchun biz biron bir joyda manfiy raqamga ko'paytirish orqali qarama-qarshi belgini majburlashimiz kerak. Shuni ham ta'kidlaymizki, bu holda birinchi tenglamani shunchaki -3 ga ko'paytirsak, \(x\) koeffitsientlari -6 va 6 bo'ladi.
Ba'zan biz tenglamalardan faqat bittasini ko'paytirishimiz kerak va ikkinchisini yolg'iz qoldirishimiz mumkin. Mana bu qism uchun bu ish.
\[\begin{align*} 2x+4y & =-10 & \underrightarrow{\times \,\,-3} \hspace{0.5in} & -6x-12y=30 \\ 6x+3y & =6 & \underrightarrow{\text{same}} \hspace{0.5in} &\underline{\hspace{0.35in}6x+3y=6} \\ & & & \hspace{0.5in} -9y=36 \\ & & & \hspace{0.85in} y=-4 \\ \end{align*}\]Nihoyat, buni tenglamalardan biriga ulang va \(x\) ni hal qiling. Bu safar biz birinchi tenglamadan foydalanamiz.
\[\begin{align*}2x + 4\left( { - 4} \right) & = - 10\\ 2x - 16 & = - 10\\ 2x & = 6\\ x & = 3\end{align*}\]Shunday qilib, ushbu tizimning yechimi \(x = 3\) va \(y = - 4\).
Ikki tenglamali tizimlarni echishning uchinchi usuli ham bor, lekin u biroz murakkabroq va kamida uchta tenglamali tizimlar uchun foydaliroqdir, shuning uchun uni keyinroq ko‘rib chiqamiz. bo'limi.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin biz tizimlarni hal qilishda bir nechta maxsus holatlarga murojaat qilishimiz kerak.
Yechim
Bu erda biz ikkala usuldan ham foydalanishimiz mumkin, lekin almashtirish biroz osonroq bo'lishi mumkin. Biz \(x\) uchun birinchi tenglamani yechamiz va uni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz.
\[\begin{align*}x & = 6 + y\\ & \\ - 2\left( {6 + y} \right) + 2y & = 1\\ - 12 - 2y + 2y & = 1\\ - 12 & = 1\,\,\,??\end{align*}\]Demak, bu to'g'ri emas va bizning ishimizda xatolik yo'qdek. Xo'sh, muammo nimada? Ko'rish uchun, keling, ushbu ikkita chiziqning grafigini tuzamiz va biz nimaga erishamiz.
Ko'rinib turibdiki, bu ikki chiziq parallel (qiyaliklar bilan buni tasdiqlay olasizmi?) va biz bilamizki, turli xil \(y\) kesishmalari bo'lgan ikkita parallel chiziq (bu muhim) hech qachon kesishmaydi.
Ushbu bo'limning ochilish muhokamasida ko'rganimizdek, echimlar ikkita chiziq kesishgan nuqtani ifodalaydi. Agar ikkita chiziq kesishmasa, biz yechim topa olmaymiz.
Shunday qilib, biz ishimizdan bunday bema'ni javobni olganimizda, biz ikkita parallel chiziqqa egamiz va bor yechim yo'q bu tenglamalar sistemasiga.
Oldingi misoldagi tizim chaqiriladi mos kelmaydigan. Shuni ham yodda tutingki, agar biz ushbu tizimda yo'q qilishdan foydalansak, xuddi shunday bema'ni javob bilan yakunlangan bo'lardik.
Yechim
Ushbu misolda yo'q qilish eng oson usul bo'ladi.
\[\begin{align*} 2x+5y & =-1 & \underrightarrow{\times \,\,5} \hspace{0.5in} & \,\,\,\,10x+25y=-5 \\ -10x-25y & =5 & \underrightarrow{\text{same}} \hspace{0.5in} & \underline{-10x-25y=5} \\ & & & \hspace{0.9in} 0=0 \\ \end{align*}\]Bir qarashda, bu avvalgi misol bilan bir xil muammo bo'lib ko'rinishi mumkin. Biroq, bu holda biz haqiqatga to'g'ri kelmaydigan tenglikka erishdik. Bu holda bizda 0 = 0 bor va bu haqiqiy tenglik va shuning uchun bu ma'noda hech qanday yomon narsa yo'q.
Biroq, bu biz kutgan javob emas, shuning uchun biz nima bo'layotganini aniqlashimiz kerak.
Buni tekshirishni sizga qoldiramiz, lekin agar siz ushbu ikki chiziq uchun qiyalik va \(y\) kesishmalarini topsangiz, ikkala chiziq ham bir xil qiyalikga ega ekanligini va ikkala chiziqda ham aynan bir xil \(y\) kesishmasiga ega ekanligini topasiz. Xo'sh, bu biz uchun nimani anglatadi? Xo'sh, agar ikkita chiziq bir xil qiyalik va bir xil \(y\) kesmasiga ega bo'lsa, ikkita chiziqning grafiklari bir xil grafikdir. Boshqacha qilib aytganda, bu ikki chiziqning grafiklari bir xil grafikdir. Bunday hollarda tenglamalardan birini qanoatlantiradigan har qanday nuqtalar to'plami boshqa tenglamani ham qanoatlantiradi.
Shuningdek, esda tutingki, tenglama grafigi tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar to'plamidan boshqa narsa emas. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamalar to'plamini qondiradigan cheksiz nuqtalar to'plami mavjud.
Bunday hollarda biz yechim uchun biror narsa yozishni xohlaymiz. Shunday qilib, biz nima qilamiz, o'zgaruvchilardan biri uchun tenglamalardan birini hal qilamiz (qaysi birini tanlashingiz muhim emas). Biz \(y\) uchun birinchisini hal qilamiz.
\[\begin{align*}2x + 5y & = - 1\\ 5y & = - 2x - 1\\ y & = - \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}\end{align*}\]Keyin, har qanday \(x\) berilganda, biz \(y\) ni topishimiz mumkin va bu ikki raqam tenglamalar sistemasining yechimini tashkil qiladi. Biz buni odatda yechimni quyidagicha yozamiz,
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}x & = t\\ y & = - \frac{2}{5}t - \frac{1}{5}\end{aligned}&{\hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,t{\mbox{ is any real number}}}\end{array}\]Bu yechimlar berishini ko'rsatish uchun keling, \(t\) ning bir nechta qiymatlari orqali ishlaylik.
\(t = 0\)
\[x = 0\hspace{0.25in}y = - \frac{1}{5}\]Bu yechim ekanligini ko'rsatish uchun biz uni tizimdagi ikkala tenglamaga ulashimiz kerak.
\[\begin{align*}2\left( 0 \right) + 5\left( { - \frac{1}{5}} \right) & \mathop = \limits^? - 1 & \hspace{0.25in} - 10\left( 0 \right) - 25\left( { - \frac{1}{5}} \right) & \mathop = \limits^? 5\\ - 1 & = - 1 & \hspace{0.25in} 5 & = 5\end{align*}\]Shunday qilib, \(x = 0\) va \(y = - \frac{1}{5}\) tizim uchun yechimdir. Keling, yana bir narsani tezda bajaraylik.
\(t = - 3\)
\[x = - 3\hspace{0.25in}y = - \frac{2}{5}\left( { - 3} \right) - \frac{1}{5} = \frac{6}{5} - \frac{1}{5} = 1\]Bu yechim ekanligini ko'rsatish uchun yana uni tizimdagi ikkala tenglamaga ulashimiz kerak.
\[\begin{align*}2\left( { - 3} \right) + 5\left( 1 \right) & \mathop = \limits^? - 1 & \hspace{0.25in} - 10\left( { - 3} \right) - 25\left( 1 \right) & \mathop = \limits^? 5\\ - 1 & = - 1 & \hspace{0.25in}5 & = 5\end{align*}\]Albatta, yetarlicha \(x = - 3\) va \(y = 1\) yechimdir.
Demak, mumkin bo'lgan \(t\) ning cheksiz soni mavjud bo'lganligi sababli, ular bo'lishi kerak cheksiz miqdordagi echimlar bu tizimga va ular tomonidan beriladi,
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}x & = t\\ y & = - \frac{2}{5}t - \frac{1}{5}\end{aligned}&{\hspace{0.25in}{\mbox{where}}\,t{\mbox{ is any real number}}}\end{array}\]Avvalgi misollardagi kabi tizimlar deyiladi qaram.
Endi biz tenglamalar sistemasini hal qilishning uchta variantini ko'rib chiqdik. Tenglamalar sistemasi yo yechimga ega bo'lmaydi, aynan bitta yechim yoki cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi.