10.3-bo'lim: Seriya - asosiy ma'lumotlar
Ushbu bo'limda biz ushbu bobning qolgan qismida muhokama qiladigan mavzu bilan tanishamiz. Bu mavzu cheksiz seriyadir. Shunday qilib, cheksiz qator nima? Keling, \(\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligidan boshlaylik (esda tuting, \(n = 1\) qulaylik uchun, u hamma narsa bo'lishi mumkin) va quyidagilarni aniqlang:
\[\begin{align*}& {s_1} = {a_1}\\ & {s_2} = {a_1} + {a_2}\\ & {s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3}\\ & {s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\\ & \hspace{0.25in}\, \vdots \\ & {s_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \cdots + {a_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \end{align*}\]\({s_n}\) chaqiriladi qisman summalar va ular \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) ketma-ketligini hosil qilishiga e'tibor bering. Shuni ham yodda tutingki, \(\Sigma \) ushbu yig'indini ifodalash uchun ishlatiladi va turli nomlar bilan ataladi. Eng keng tarqalgan ismlar: seriyali yozuv, yig'ish yozuvi, va sigma belgisi.
Hisob-kitob I da aniq integralning ta'rifini ko'rganingizda, hech bo'lmaganda qisqacha bu belgini ko'rishingiz kerak edi. yig'ish yozuvini ko'rib chiqish Calculus I eslatmalarida.
Endi seriyaga qayting. Biz qisman yig'indilar ketma-ketligi chegarasini ko'rib chiqmoqchimiz, \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \). Belgilanishni biroz osonroq qilish uchun biz aniqlaymiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \]Biz \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \) deb nomlaymiz cheksiz qator va ketma-ketlik \(i = 1\) da "boshlanishini" unutmang, chunki bizning asl ketma-ketligimiz \(\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) aynan shu erda boshlangan. Agar asl ketma-ketligimiz 2 dan boshlanganida edi, cheksiz qatorimiz ham 2 dan boshlangan bo'lardi. Cheksiz qator atamalar ketma-ketligi (qisman yig'indilar ketma-ketligidan farqli o'laroq) boshlanadigan qiymatdan boshlanadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \) haqiqatan ham \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \) uchun qulay belgidan boshqa narsa emas, shuning uchun biz cheklovni yozishni davom ettirishimiz shart emas. Biroq, biz har doim o'zimizga shuni eslatib turishimiz kerakki, bizning chegaramiz bor!
Agar qisman yig‘indilar ketma-ketligi \(\left\{ {{s_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \) konvergent bo‘lsa va uning chegarasi chekli bo‘lsa, biz cheksiz qatorni \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \) deb ham ataymiz. konvergent va agar qisman yig'indilar ketma-ketligi divergent bo'lsa, u holda cheksiz qator ham deyiladi turlicha.
E'tibor bering, ba'zida cheksiz qatorni quyidagicha yozish qulay:
\[\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n} + \cdots \]Biroq, biz bu bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu cheksiz qator atamalarning cheksiz yig'indisi ekanligini anglatadi va keyingi bo'limda ko'rib turganimizdek, bu ko'p seriyalar uchun haqiqatan ham to'g'ri kelmaydi.
Keyingida biz cheksiz qatorning qiymatini batafsilroq muhokama qilamiz, agar u albatta mavjud bo'lsa, shuningdek, konvergentsiya va divergentsiya g'oyalari.
Ushbu bo'lim asosan notatsiya masalalariga bag'ishlangan bo'lib, cheksiz qatorlar bilan ba'zi bir asosiy manipulyatsiyalarni amalga oshirishga ishonch hosil qilish uchun mo'ljallangan, shuning uchun biz keyingi bo'limlarda ular bilan shug'ullanishimiz kerak bo'lganda ularga tayyormiz.
Birinchidan, shuni ta'kidlashimiz kerakki, ushbu bobning ko'p qismida biz cheksiz qatorlarni oddiy qator sifatida ko'rib chiqamiz. Agar biz cheksiz va chekli qatorlar bilan ishlashimiz kerak bo'lsa, biz terminologiyaga ko'proq ehtiyot bo'lamiz, lekin ko'p bo'limlarda biz faqat cheksiz qatorlar bilan shug'ullanamiz va shuning uchun biz ularni shunchaki seriyalar deb ataymiz.
Endi \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} \) da \(i\) deb ataladi yig'ish ko'rsatkichi yoki shunchaki indeks qisqasi va indeksni ifodalash uchun foydalanadigan harf muhim emasligini unutmang. Masalan, quyidagi seriyalarning barchasi bir xil. Yagona farq biz indeks uchun ishlatgan harfdir.
\[\sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{3}{{{i^2} + 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{3}{{{k^2} + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{3}{{{n^2} + 1}}} \,\,\,\,\,\,etc.\]Yana shuni ta'kidlash kerakki, indeks ketma-ket atamalar ketma-ketligi qanday qiymatdan boshlanadigan bo'lsa, u tom ma'noda hamma narsa bo'lishi mumkin. Hozirgacha biz \(n = 0\) va \(n = 1\) dan foydalanganmiz, ammo indeks istalgan joydan boshlanishi mumkin edi. Aslida, biz odatda \(\sum {{a_n}} \) dan indeksning boshlang'ich nuqtasi muhim bo'lmagan cheksiz qatorni ifodalash uchun foydalanamiz. Indeksning boshlang'ich qiymatini tushirganimizda, biz cheksizlikni ham yuqoridan tushiramiz, shuning uchun u hali ham texnik jihatdan borligini unutmang.
Biz ushbu bob davomida ko'rib chiqiladigan bir nechta fakt va teoremalarda indeksning boshlang'ich qiymatini tushiramiz. Ushbu faktlarda/teoremalarda seriyaning boshlang'ich nuqtasi natijaga ta'sir qilmaydi va shuning uchun yozuvni soddalashtirish va boshlang'ich nuqtasi muhim degan taassurot qoldirmaslik uchun biz indeksni notadan olib tashlaymiz. Biroq, boshlang'ich nuqtasi borligini va bu cheksiz seriya bo'lishini unutmang.
Ammo shuni yodda tutingki, agar biz fakt/teoremadagi qatorga indeksning boshlang'ich qiymatini qo'ysak, u mavjud, chunki u haqiqatan ham u erda bo'lishi kerak.
Endi ba'zi notatsiya muammolari yo'q bo'lib ketganligi sababli, biz seriyalarni manipulyatsiya qilishning turli usullari haqida o'ylashni boshlashimiz kerak.
Biz buni cheksiz qatorli asosiy arifmetikadan boshlaymiz, chunki ba'zida buni qilishimiz kerak bo'ladi. Bizda quyidagi xususiyatlar mavjud.
Konvergent qatorlarning xossalari
Agar \(\sum {{a_n}} \) va \(\sum {{b_n}} \) ikkalasi ham konvergent qatorlar bo'lsa, u holda,
- \(\displaystyle \sum {c{a_n}} \), bu erda \(c\) istalgan raqam ham konvergent va \[\sum {c{a_n}} = c\sum {{a_n}} \]
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} \pm \sum\limits_{n = k}^\infty {{b_n}} \) ham konvergent va, \[\sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} \pm \sum\limits_{n = k}^\infty {{b_n}} = \sum\limits_{n = k}^\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \]
Birinchi xususiyat shunchaki cheksiz qatordan ko'paytma konstantasini har doim faktorlar qilishimiz mumkinligini aytadi va agar indeksning boshlang'ich qiymatini qo'ymasak, qator istalgan qiymatdan boshlanishi mumkinligini yana bir bor eslaymiz. Shuni ham yodda tutingki, bu holatlarda biz cheksizlikni ham yuqoriga qo'ymaymiz.
Ikkinchi xususiyatga ko'ra, agar biz ketma-ket qo'shsak/ayirishimiz kerak bo'lsa, faqat qator shartlarini qo'shish/ayirish kerak. Shuni ham yodda tutingki, qatorlarni qo'shish/ayirish uchun ikkalasi ham indeksning bir xil boshlang'ich qiymatiga ega ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak va yangi seriya ham shu qiymatdan boshlanadi.
Boshqa mavzuga o'tishdan oldin seriyalarni ko'paytirishni qisqacha muhokama qilaylik. Biz ikkala seriyani keyinroq formula uchun \(n = 0\) da boshlaymiz va keyin shuni ta'kidlaymiz:
\[\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{b_n}} } \right) \ne \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {{a_n}{b_n}} \right)} \]O'zingizni bu to'g'ri emasligiga ishontirish uchun ikkita chekli summaning quyidagi mahsulotini ko'rib chiqing.
\[\left( {2 + x} \right)\left( {3 - 5x + {x^2}} \right) = 6 - 7x - 3{x^2} + {x^3}\]Ha, bu faqat ikkita polinomni ko'paytirish edi. Ularning har biri chekli yig'indidir va shuning uchun u fikrni bildiradi. Ko'paytirishni amalga oshirishda biz faqat doimiy shartlarni emas, keyin \(x\) shartlarini ko'paytirdik, va hokazo. Buning o'rniga biz ikkinchi ko'phad orqali 2 ni taqsimlashimiz, keyin \(x\) ni ikkinchi ko'phad orqali taqsimlashimiz va nihoyat o'xshash shartlarni birlashtirishimiz kerak edi.
Cheksiz qatorlarni ko'paytirish (biz cheksiz qatorni cheksiz yig'indi deb tasavvur qila olmaymiz deb aytgan bo'lsak ham) xuddi shu tarzda amalga oshirilishi kerak. Ko'paytirish bilan biz haqiqatan ham quyidagilarni bajarishimizni so'raymiz:
\[\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{b_n}} } \right) = \left( {{a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots } \right)\left( {{b_0} + {b_1} + {b_2} + {b_3} + \cdots } \right)\]Ushbu ko'paytirishni amalga oshirish uchun biz \({a_0}\) ni ikkinchi davr orqali taqsimlashimiz kerak, \({a_1}\) ni: va hokazo keyin o'xshash atamalarni birlashtiring. Bu deyarli mumkin emas, chunki ikkala seriyada ham cheksiz atamalar to'plami mavjud, ammo quyidagi formuladan ikkita seriyaning mahsulotini aniqlash mumkin.
\[\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{b_n}} } \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}} \] bu erda \({c_n} = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{b_{n - i}}} \)Ushbu bo'limda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan keyingi mavzu indeks siljishi. Rostini aytsam, bu biz ushbu kursda tez-tez ko'rib chiqiladigan mavzu emas. Darhaqiqat, biz uni keyingi bo'limda bir marta ishlatamiz va keyin uni qayta ishlatmaymiz. Ushbu kursda biz undan ko'p foydalanmasligimizga qaramay, bu siz seriyalar bo'ylab o'tishingiz mumkin bo'lgan boshqa sinflarda tez-tez ishlatilmaydi degani emas. Shunday qilib, siz buni ko'rgan deb aytishingiz uchun biz buni qisqacha yoritamiz.
Indekslarni o'zgartirishning asosiy g'oyasi nima sababdan bo'lishidan qat'i nazar, seriyani boshqa qiymatda boshlashdir (va ha, buni qilishning qonuniy sabablari bor).
Quyidagi seriyani ko'rib chiqing,
\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 5}}{{{2^n}}}} \]Aytaylik, negadir biz ushbu seriyani \(n = 0\) da boshlamoqchi edik, lekin seriya qiymatini o'zgartirishni xohlamadik. Bu shuni anglatadiki, biz \(n = 2\) ni \(n = 0\) ga o'zgartira olmaymiz, chunki bu seriyaga ikkita yangi shart qo'shadi va shu bilan uning qiymatini o'zgartiradi.
Indeks o'zgarishini amalga oshirish juda oddiy jarayon. Biz yangi indeksni aniqlashdan boshlaymiz, aytaylik \(i\), quyidagicha:
\[i = n - 2\]Endi, \(n = 2\) qachon, biz \(i = 0\) olamiz. E'tibor bering, agar \(n = \infty \) keyin \(i = \infty - 2 = \infty \) bo'lsa, bu erda faqat pastki chegara o'zgaradi. Keyinchalik, biz \(n\) uchun buni hal qilishimiz mumkin,
\[n = i + 2\]Endi biz \(n\) indeksi o‘rniga \(i\) indeksi bo‘yicha seriyani to‘liq qayta yozishimiz mumkin, shunchaki \(n\) uchun tenglamamizni \(i\) nuqtai nazaridan ulang.
\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 5}}{{{2^n}}}} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{\left( {i + 2} \right) + 5}}{{{2^{i + 2}}}}} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{i + 7}}{{{2^{i + 2}}}}} \]Muammoni hal qilish uchun biz indeks uchun ishlatgan harf muhim emasligini eslaymiz va shuning uchun biz yakuniy \(i\) ni \(n\) ga o'zgartiramiz,
\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 5}}{{{2^n}}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{n + 7}}{{{2^{n + 2}}}}} \]Bular haqiqatan ham bir xil yig'indi ekanligiga ishonch hosil qilish uchun keling, ularning har biri uchun birinchi ikkita atamani yozamiz,
\[\begin{align*}\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{n + 5}}{{{2^n}}}} & = \frac{7}{{{2^2}}} + \frac{8}{{{2^3}}} + \frac{9}{{{2^4}}} + \frac{{10}}{{{2^5}}} + \cdots \\ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{n + 7}}{{{2^{n + 2}}}}} & = \frac{7}{{{2^2}}} + \frac{8}{{{2^3}}} + \frac{9}{{{2^4}}} + \frac{{10}}{{{2^5}}} + \cdots \end{align*}\]Shunday qilib, ikkita seriyada mutlaqo bir xil shartlar mavjud.
Indeksni o'zgartirishning osonroq yo'li bor. Yuqorida keltirilgan usul indeksni almashtirishning texnik jihatdan to'g'ri usulidir. Biroq, yuqoridagi misolda biz indeksning boshlang'ich qiymatini 2 ga kamaytirdik va ketma-ket barcha \(n\) lar ham 2 ga oshdi.
Bu har doim shu tarzda ishlaydi. Agar biz indeksning boshlang'ich qiymatini belgilangan miqdorga kamaytirsak, seriyadagi barcha boshqa \(n\) lar bir xil miqdorga oshadi. Xuddi shunday, agar biz indeksning boshlang'ich qiymatini belgilangan miqdorga oshirsak, seriyadagi barcha \(n\) lar bir xil miqdorga kamayadi.
Keling, indekslarni almashtirish uchun ushbu stenografiya usulidan foydalangan holda bir nechta misol keltiraylik.
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n - 1}}} \) ni \(n = 0\) da boshlanadigan qator sifatida yozing.
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{1 - {3^{n + 1}}}}} \) ni \(n = 3\) da boshlanadigan qator sifatida yozing.
a \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n - 1}}} \) ni \(n = 0\) da boshlanadigan qator sifatida yozing. Yechim
Bunday holda biz boshlang'ich qiymatni 1 ga kamaytirishimiz kerak va shuning uchun atamadagi \(n\) (yaxshi, bitta \(n\)) ham 1 ga oshishi kerak.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n - 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a{r^{\left( {n + 1} \right) - 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {a{r^n}} \]b \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{1 - {3^{n + 1}}}}} \) ni \(n = 3\) da boshlanadigan qator sifatida yozing. Yechim
Ushbu muammo uchun biz boshlang'ich qiymatni 2 ga oshirishni xohlaymiz va shuning uchun ketma-ketlikdagi barcha \(n\) lar 2 ga kamayishi kerak.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{n^2}}}{{1 - {3^{n + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{{{\left( {n - 2} \right)}^2}}}{{1 - {3^{\left( {n - 2} \right) + 1}}}}} = \sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{{{\left( {n - 2} \right)}^2}}}{{1 - {3^{n - 1}}}}} \]Ushbu bo'limdagi yakuniy mavzu yana bir mavzu bo'lib, biz bu sinfda unchalik tez-tez ko'rinmaydigan mavzudir, garchi biz buni indeks o'zgarishiga qaraganda tez-tez ko'ramiz. Ushbu yakuniy mavzu haqiqatan ham vaziyat talab qilganda seriya yozishning muqobil usullari haqida.
Keling, quyidagi seriyadan boshlaylik va \(n = 1\) boshlang'ich nuqtasi faqat qulaylik uchun ekanligini unutmang, chunki biz seriyani biron bir joyda boshlashimiz kerak.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + \cdots \]E'tibor bering, agar biz birinchi atamani e'tiborsiz qoldiradigan bo'lsak, qolgan atamalar \(n = 1\) o'rniga \(n = 2\) da boshlanadigan qator bo'ladi. Shunday qilib, biz asl qatorni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {{a_n}} \]Ushbu misolda biz birinchi atamani olib tashladik, deymiz.
Agar xohlasak, biz ko'proq shartlarni olib tashlashimiz mumkin edi. Keyingi qatorlarda biz mos ravishda birinchi ikkita atama va birinchi to'rtta atamani olib tashladik.
\[\begin{align*}\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} & = {a_1} + {a_2} + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{a_n}} \\\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} & = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \sum\limits_{n = 5}^\infty {{a_n}} \end{align*}\]Shartlarni bekor qilish, ba'zida ishimizni soddalashtiradi yoki oldingi natijani qayta ishlatishga imkon beradi, shuning uchun eslash muhim g'oya.
E'tibor bering, yuqoridagi ikkinchi misolda biz chekli qator sifatida ajratib olgan to'rtta atamani quyidagicha belgilashimiz mumkin edi:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + \sum\limits_{n = 5}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{n = 1}^4 {{a_n}} + \sum\limits_{n = 5}^\infty {{a_n}} \]Bu ko'p sonli atamalarni olib tashlaganimizda yoki noma'lum sonli atamalarni olib tashlashimiz kerak bo'lganda qulay belgi. Umuman olganda, qatorni quyidagicha yozishimiz mumkin,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} = \sum\limits_{n = 1}^N {{a_n}} + \sum\limits_{n = N + 1}^\infty {{a_n}} \]Biz ushbu bo'limni terminologiyaga oid muhim ogohlantirish bilan qoldiramiz. Ketma-ketlik va seriyalarni chalkashtirib yubormang! Ketma-ketlik - bu ma'lum bir tartibda yozilgan raqamlar ro'yxati, cheksiz qator esa chekli qatorlar ketma-ketligining chegarasi va shuning uchun agar mavjud bo'lsa, bitta qiymat bo'ladi.
Shunday qilib, yana bir bor ta'kidlaymizki, ketma-ketlik - bu raqamlar ro'yxati, seriya esa bitta raqam bo'lsa, seriyani hatto hisoblash mantiqiy bo'lsa. Talabalar ko'pincha ikkalasini chalkashtirib yuborishadi va biriga tegishli faktlardan ikkinchisiga foydalanishga harakat qilishadi. Biroq, ular turli xil hayvonlar bo'lganligi sababli, bu ishlamaydi. Ikkala ketma-ketlik va ketma-ketliklardan foydalanayotganimizda muammolar bo'ladi, shuning uchun biz har doim ularning har xil ekanligini eslashimiz kerak.