SolveIneq | MathModel.uz

1.13-bo'lim: Tengsizliklarni yechish

Quyidagi tengsizliklarning har birini yeching.

${x^2} - 10 > 3x$

Yechim

Polinom tengsizlikni yechish uchun biz tengsizlikning bir tomonida nolni olamiz, koeffitsientni olamiz va keyin ikkinchi tomoni nolga teng ekanligini aniqlaymiz.
\[{x^2} - 10 > 3x\quad \Rightarrow \quad {x^2} - 3x - 10 > 0\quad \Rightarrow \quad \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) > 0\]
Shunday qilib, biz hamma narsani chap tomonga va omilga o'tkazganimizdan so'ng, $x = 5$ va $x = - 2$ da chap tomon nolga teng bo'lishini ko'ramiz. Bu raqamlar yechim EMAS (chunki biz faqat tenglamani ijobiy qiladigan qiymatlarni qidiramiz), lekin haqiqiy yechimni topish uchun foydalidir.

Ushbu tengsizlikning yechimini topish uchun shuni esga olishimiz kerakki, polinomlar ularda uzilishlari bo'lmagan yaxshi silliq funktsiyalardir. Bu shuni anglatadiki, biz raqamlar chizig'i bo'ylab (har qanday yo'nalishda) harakatlanayotganimizda, agar polinomning qiymati ishorani o'zgartirsa (aytaylik, musbatdan manfiyga) u noldan o'tishi kerak!

Demak, bu ikki raqam ($x = 5$ va $x = - 2$) ko‘phad belgisini o‘zgartirishi mumkin bo‘lgan FAQAT joydir. Keyin raqam chizig'i uchta mintaqaga bo'linadi. Har bir mintaqada tengsizlik shu mintaqadan bir ball bilan qanoatlantirilsa, bu mintaqadagi HAMMA nuqtalar uchun qanoatlantiriladi. Agar bu to'g'ri bo'lmasa (i.e u mintaqaning bir nuqtasida ijobiy va boshqa nuqtada salbiy edi) keyin u mintaqaning biron bir joyida nolga teng bo'lishi kerak, lekin bu sodir bo'lishi mumkin emas, chunki biz polinom nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan barcha joylarni allaqachon aniqlaganmiz! Xuddi shunday, agar tengsizlik o'sha mintaqaning biron bir nuqtasi uchun qoniqtirilmasa, bu mintaqadagi HAR QANDAY nuqta uchun qoniqtirilmaydi.

Bu shuni anglatadiki, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - har bir mintaqadan sinov nuqtasini tanlash (u bilan ishlash oson, i.e. iloji bo'lsa kichik butun sonlar) va uni tengsizlikka qo'ying. Agar test nuqtasi tengsizlikni qanoatlantirsa, bu mintaqadagi har bir nuqta javob beradi va agar sinov nuqtasi tengsizlikni qondirmasa, u holda bu mintaqadagi hech qanday nuqta javob bermaydi.

Bu haqda so'nggi eslatma. Menda yuqoridagi tengsizlikning uchta versiyasi bor. Sinov nuqtasini ularning har qandayiga ulashingiz mumkin, lekin odatda test nuqtalarini tengsizlikning faktorlangan shakliga ulash eng osondir. Shunday qilib, agar siz faktoring qobiliyatingizga ishonsangiz, undan foydalaning. Biroq, agar siz faktoringda xatoga yo'l qo'ygan bo'lsangiz, test uchun faktorlangan shakldan foydalansangiz, noto'g'ri yechimga duch kelishingiz mumkin. Bu savdo-sotiq. Ko'p hollarda faktorlangan shakl bilan ishlash osonroq, biroq faktoringda xatoga yo'l qo'ygan bo'lsangiz, noto'g'ri yechim olishingiz mumkin.

Shunday qilib, men ushbu muammo uchun foydalangan raqamlar qatori va testlari.

$A number line for the inequality $\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) > 0$ with dashed vertical lines at $x = - 2$ and $x = 5$ dividing it into three regions. In the left region the test point $x = - 3$ gives $\left( { - 8} \right)\left( { - 1} \right) > 0$, in the middle region the test point $x = 0$ gives $\left( { - 5} \right)\left( 2 \right) < 0$, and in the right region the test point $x = 6$ gives $\left( 1 \right)\left( 8 \right) > 0$.$

Bundan biz bu tengsizlikning yechimi $ - \infty < x < - 2$ va $5 < x < \infty $ ekanligini ko'ramiz. Intervalli belgilarda bu $\left( { - \infty , - 2} \right)$ va $\left( {5,\infty } \right)$ bo'ladi. Buning uchun yechimga so'nggi nuqtalar kiritilmaganligini sezasiz. Bularga javob yozishda asl tengsizlikka e'tibor bering. Tengsizlik qat'iy tengsizlik bo'lganligi sababli, biz oxirgi nuqtalarni o'z ichiga olmaymiz, chunki bular tengsizlikning ikkala tomonini tenglashtiradigan nuqtalardir!
${x^4} + 4{x^3} - 12{x^2} \le 0$

Yechim

Biz bu muammoni oxirgi muammo bilan bir xil qilamiz.
\[{x^4} + 4{x^3} - 12{x^2} \le 0\quad \Rightarrow \quad {x^2}\left( {{x^2} + 4x - 12} \right) \le 0\quad \Rightarrow \quad {x^2}\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0\]
Bu holda faktoringdan so'ng $x = - 6$, $x = 0$ va $x = 2$ da chap tomon nolga teng bo'lishini ko'rishimiz mumkin.

$A number line for the inequality ${x^2}\left( {x + 6} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0$ with dashed vertical lines at $x = - 6$, $x = 0$ and $x = 2$ dividing it into four regions. The test point $x = - 7$ gives $\left( {49} \right)\left( { - 1} \right)\left( { - 9} \right) > 0$, the test point $x = - 1$ gives $\left( 1 \right)\left( 5 \right)\left( { - 3} \right) < 0$, the test point $x = 1$ gives $\left( 1 \right)\left( 7 \right)\left( { - 1} \right) < 0$, and the test point $x = 4$ gives $\left( {16} \right)\left( {10} \right)\left( 2 \right) > 0$. Note that the two middle regions are both negative.$

Bu son qatoridan tengsizlikning yechimi $ - 6 \le x \le 2$ yoki [-6,2]. Intervallar birinchi muammoda bo'lgani kabi yechim sifatida almashinadi degan fikrga tushib qolmang. Shuni ham yodda tutingki, bu holda tengsizlik YOKI TENG dan kichik edi, shuning uchun biz yechimimizga oxirgi nuqtalarni kiritdik.
$3{x^2} - 2x - 11 > 0$

Yechim

Bu biroz boshqacha, lekin unchalik qiyin emas. Kvadrat omil ta'sir qilmaydi, shuning uchun u nolga teng bo'lgan joyni hal qilish uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak. Buni qilish beradi
\[x = \frac{{1 \pm \sqrt {34} }}{3}\]
O'nli kasrlarga qisqartirish bu $x = 2.27698$ va $x = - 1.61032$. Shu nuqtadan boshlab u avvalgi ikkita muammo bilan bir xil bo'ladi. Quyidagi raqam chizig'ida kesilgan chiziqlar yuqoridagi ikkita raqamning taxminiy qiymatlarida joylashgan va tengsizliklar ko'rsatilgan test nuqtalarida baholangan kvadratikning qiymatini ko'rsatadi.

$A number line for the inequality $3{x^2} - 2x - 11 > 0$ with dashed vertical lines at the approximate values $x = - 1.61032$ and $x = 2.27698$ dividing it into three regions. In the left region the test point $x = - 2$ gives $5 > 0$, in the middle region the test point $x = 0$ gives $ - 11 < 0$, and in the right region the test point $x = 3$ gives $10 > 0$.$

Yuqoridagi raqamlar qatoridan biz yechim $\left( { - \infty ,\frac{{1 - \sqrt {34} }}{3}} \right)$ va $\left( {\frac{{1 + \sqrt {34} }}{3},\infty } \right)$ ekanligini ko'ramiz.
$\displaystyle \frac{{x - 3}}{{x + 2}} \ge 0$

Yechim

Ratsional funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizliklarni echish jarayoni ko'phadlarni o'z ichiga olgan tengsizliklarni echish bilan deyarli bir xil. Xuddi polinom tengsizliklari kabi, ratsional tengsizliklar ham ratsional ifoda nolga teng bo'lgan joyda ishorani o'zgartirishi mumkin. Biroq, ular ratsional ifodada nol xatoga bo'linishni keltirib chiqaradigan har qanday nuqtada belgini o'zgartirishi mumkin. Bunga yaxshi misol $\frac{1}{x}$ ratsional ifodasidir. Shubhasiz, $x = 0$ da nolga bo'linish mavjud va $x = 0$ ning o'ng tomonidagi ifoda ijobiy, $x = 0$ ning chap tomonidagi ifoda salbiy.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, ratsional ifoda faqat suratni nolga aylantiradigan $x$ qiymatlari uchun nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, biz yuqoridagi ma'lumotlardan foydalanishimiz uchun birinchi navbatda tengsizlikning bir tomonida nolni olishimiz kerak. Bu allaqachon qilingan muammo uchun. Endi, surat qayerda nolga teng ekanligini (chunki u erda butun ifoda nolga teng bo'ladi) va maxraj nolga teng ekanligini aniqlang (chunki u erda biz nolga bo'linamiz).

Bu nuqtada jarayon polinom tengsizliklari bilan bir xil bo'ladi, biz javob yozishga o'tayotganimizda bitta istisno. Yuqorida topilgan nuqtalar raqamlar chizig'ini tengsizlik har doim to'g'ri yoki har doim noto'g'ri bo'ladigan mintaqalarga ajratadi. Shunday qilib, har bir mintaqadan test nuqtalarini tanlang, ularni tengsizlikda sinab ko'ring va natijalardan yechim oling.

Bu muammo uchun $x = 3$ da surat nolga, $x = - 2$ da maxraj nolga teng bo'ladi. Raqam chizig'i testlar bilan birga quyida ko'rsatilgan.

$A number line for the inequality $\frac{{x - 3}}{{x + 2}} \ge 0$ with dashed vertical lines at $x = - 2$ and $x = 3$ dividing it into three regions. In the left region the test point $x = - 3$ gives $\frac{{ - 6}}{{ - 1}} > 0$, in the middle region the test point $x = 0$ gives $\frac{{ - 3}}{2} < 0$, and in the right region the test point $x = 4$ gives $\frac{1}{6} > 0$.$

Demak, bu raqam chizig'idan ikkita tashqi mintaqa tengsizlikni qondiradiganga o'xshaydi. Biroq, biz oxirgi nuqtalar bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz $x = 3$ ni qo'shamiz, chunki bu ratsional ifodani nolga aylantiradi va shuning uchun yechimning bir qismi bo'ladi. Boshqa tomondan, $x = - 2$ nolga bo'linishni beradi va shuning uchun uni yechimdan chiqarib tashlash kerak, chunki nolga bo'linishga hech qachon ruxsat berilmaydi.

Yechim uchun tengsizlik yoki yechim uchun intervallarni xohlashingizga qarab, bu tengsizlikning yechimi $ - \infty < x < - 2$ va $3 \le x < \infty $ YOKI $( - \infty - 2)$ va $[3,\infty )$ hisoblanadi.
$\displaystyle \frac{{{x^2} - 3x - 10}}{{x - 1}} < 0$

Yechim

Bizda allaqachon tengsizlikning bir tomonida nol bor, shuning uchun birinchi navbatda surat nolga teng bo'lgan nuqtalarni olamiz.
\[\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} < 0\]
Shunday qilib, $x = - 2$ va $x = 5$ da surat nolga teng bo'ladi. $x = 1$ da denominator nolga teng bo'ladi. Bu tengsizlik uchun raqam chizig'i quyida keltirilgan.

$A number line for the inequality $\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} < 0$ with dashed vertical lines at $x = - 2$, $x = 1$ and $x = 5$ dividing it into four regions. The test point $x = - 3$ gives $\frac{{\left( { - 8} \right)\left( { - 1} \right)}}{{ - 4}} < 0$, the test point $x = 0$ gives $\frac{{\left( { - 5} \right)\left( 2 \right)}}{{ - 1}} > 0$, the test point $x = 2$ gives $\frac{{\left( { - 3} \right)\left( 4 \right)}}{1} < 0$, and the test point $x = 6$ gives $\frac{{\left( 1 \right)\left( 8 \right)}}{5} > 0$.$

Bunday holda, biz yechimga hech qanday so'nggi nuqtalarni kiritmaymiz, chunki ular nolga bo'linishni beradi yoki ifodani nolga aylantiradi va biz bu muammo uchun noldan kam bo'lishini xohlaymiz.

Keyin yechim $( - \infty , - 2)$ va $(1,5)$ bo'ladi.
$\displaystyle \frac{{2x}}{{x + 1}} \ge 3$

Yechim

Bu bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bunday holda biz tengsizlikning bir tomonida nolga erishishimiz kerak. Buni qilish yetarlicha oson. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa ikkala tomondan 3 ni ayirishdir. Bu beradi
\[\begin{align*}\frac{{2x}}{{x + 1}} - 3 & \ge 0\\ \frac{{2x - 3\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} & \ge 0\\ \frac{{ - x - 3}}{{x + 1}} & \ge 0\end{align*}\]
E'tibor bering, men hamma narsani bitta oqilona ifodaga birlashtirdim. Siz har doim buni qilishni xohlaysiz. Agar buni qilmasangiz, ratsional ifoda qayerda nolga teng ekanligini aniqlash qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, biz uni bitta iboraga kiritganimizdan so'ng, $x = - 3$ da surat nolga, $x = - 1$ da maxraj nolga teng bo'lishini ko'rish oson. Ushbu muammo uchun raqamlar qatori quyida keltirilgan.

$A number line for the inequality $\frac{{ - x - 3}}{{x + 1}} \ge 0$ with dashed vertical lines at $x = - 3$ and $x = - 1$ dividing it into three regions. In the left region the test point $x = - 4$ gives $\frac{1}{{ - 3}} < 0$, in the middle region the test point $x = - 2$ gives $\frac{{ - 1}}{{ - 1}} > 0$, and in the right region the test point $x = 0$ gives $\frac{{ - 3}}{1} < 0$.$

Bu holda yechim $[ - 3, - 1)$ hisoblanadi. Biz -1 ni qo'shmaymiz, chunki bu erda yechim nolga teng, lekin biz -3 ni kiritamiz, chunki bu ifodani nolga aylantiradi.