3.3-bo'lim: Differensiallash formulalari
Ushbu bobning birinchi qismida biz ko'rdik hosila ta'rifi va biz ta'rif yordamida bir nechta hosilalarni hisobladik. Ushbu misollarda ko'rganimizdek, chegaralarni hisoblashda juda ko'p ish bor edi va biz ishlagan funktsiyalar unchalik murakkab emas edi.
Murakkabroq funksiyalar uchun hosila ta'rifidan foydalanish deyarli imkonsiz vazifa bo'lar edi. Yaxshiyamki, ta'rifdan doim ham foydalanishimiz shart emas. Biz uni vaqti-vaqti bilan ishlatishimiz kerak bo'ladi, ammo hayotimizni sezilarli darajada yengillashtirish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan keng formulalar va xossalar to'plamiga egamiz, bu esa imkon qadar ta'rifdan foydalanishdan qochishimizga yo'l ochadi.
Ushbu formulalarning ko'pchiligini keyingi bir necha bo'limlar davomida batafsil kiritamiz. Ushbu bo'limda biz ba'zi asosiy xossalar va formulalar bilan boshlaymiz. Biz bu bo'limdagi xossalar va formulalarni ham "shtrix" belgisida, ham "kasr" ko'rinishidagi belgilashda keltiramiz.
Hosilaning xossalari
- \(\displaystyle {\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \frac{{df}}{{dx}} \pm \frac{{dg}}{{dx}}\)
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, yig'indini yoki farqni farqlash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa individual atamalarni farqlash va keyin ularni tegishli belgilar bilan birlashtirishdir. Shuningdek, bu xossa faqat ikkita funksiya bilan cheklanmasligini unutmang.
ga qarang Turli hosila formulalarini isbotlash bo'limiga qarang, unda ushbu xossaning to'liq isboti keltirilgan. Bu hosila ta'rifidan foydalangan holda juda oddiy isbotdir.
- \(\displaystyle {\left( {cf\left( x \right)} \right)^\prime } = cf'\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {cf\left( x \right)} \right) = c\frac{{df}}{{dx}}\), \(c\) har qanday raqam
Boshqacha qilib aytganda, kerak bo'lganda o'zgarmas ko'paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarishimiz mumkin. ga qarang Turli hosila formulalarini isbotlash bo'limiga qarang, unda ushbu xossaning to'liq isboti keltirilgan.
E'tibor bering, biz bu yerga ikki funksiya ko'paytmasi yoki bo'linmasining hosilasi uchun formulalarni kiritmadik. Ikki funksiya ko'paytmasi yoki bo'linmasining hosilasi alohida qismlar hosilalarining ko'paytmasi yoki bo'linmasiga teng emas. Biz bularni keyingi bo'limda ko'rib chiqamiz.
Next, let’s take a quick look at a couple of basic “computation” formulas that will allow us to actually compute some derivatives.
Ayrim hosilaviy formulalar
- Agar \(f\left( x \right) = c\), keyin \(\displaystyle f'\left( x \right) = 0\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( c \right) = 0\)
Doimiy miqdorning hosilasi nolga teng. ga qarang Turli hosila formulalarini isbotlash section of the Extras chapter to see the proof of this formula.
- If \(f\left( x \right) = {x^n}\) then \(\displaystyle f'\left( x \right) = n{x^{n - 1}}\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}\), \(n\) is any number.
Ushbu formula ba'zan deyiladi kuch qoidasi. All we are doing here is bringing the original exponent down in front and multiplying and then subtracting one from the original exponent.
Note as well that in order to use this formula \(n\) must be a number, it can’t be a variable. Also note that the base, the \(x\), must be a variable, it can’t be a number. Ba'zi keyingi bo'limlarda ko'rsatkich son va/yoki tayanch o'zgaruvchi bo'lmagan ba'zi funktsiyalarda ishlaganimizda Quvvat qoidasidan noto'g'ri foydalanish jozibador bo'ladi.
ga qarang Turli hosila formulalarini isbotlash section of the Extras chapter to see the proof of this formula. There are actually three different proofs in this section. The first two restrict the formula to \(n\) being an integer because at this point that is all that we can do at this point. The third proof is for the general rule but does suppose that you’ve read most of this chapter.
These are the only properties and formulas that we’ll give in this section. Let’s compute some derivatives using these properties.
- \(f\left( x \right) = 15{x^{100}} - 3{x^{12}} + 5x - 46\)
- \(g\left( t \right) = 2{t^6} + 7{t^{ - 6}}\)
- \(y = 8{z^3} - \frac{1}{{3{z^5}}} + z - 23\)
- \(\displaystyle T\left( x \right) = \sqrt x + 9\sqrt[3]{{{x^7}}} - \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^2}}}}}\)
- \(h\left( x \right) = {x^\pi } - {x^{\sqrt 2 }}\)
a \(f\left( x \right) = 15{x^{100}} - 3{x^{12}} + 5x - 46\) Yechim
Bu holda biz to'rtta atamaning yig'indisi va farqiga egamiz va shuning uchun biz yuqoridagi birinchi xususiyatdan foydalangan holda atamalarning har birini farqlaymiz va keyin ularni tegishli belgi bilan birlashtiramiz. Bundan tashqari, multiplikativ konstantaga ega bo'lgan har bir atama uchun shuni yodda tutingki, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa doimiyni "omil qilish" (ikkinchi xususiyatdan foydalangan holda) va keyin hosila qilishdir.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = 15\left( {100} \right){x^{99}} - 3\left( {12} \right){x^{11}} + 5\left( 1 \right){x^0} - 0\\ & = 1500{x^{99}} - 36{x^{11}} + 5\end{align*}\]Notice that in the third term the exponent was a one and so upon subtracting 1 from the original exponent we get a new exponent of zero. Endi \({x^0} = 1\) ni eslang. Don’t forget to do any basic arithmetic that needs to be done such as any multiplication and/or division in the coefficients.
b \(g\left( t \right) = 2{t^6} + 7{t^{ - 6}}\) Yechim
The point of this problem is to make sure that you deal with negative exponents correctly. Mana lotin.
\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = 2\left( 6 \right){t^5} + 7\left( { - 6} \right){t^{ - 7}}\\ & = 12{t^5} - 42{t^{ - 7}}\end{align*}\]Make sure that you correctly deal with the exponents in these cases, especially the negative exponents. Salbiy ko'rsatkichdan birini ayirish va to'g'ri \( - 6{t^{ - 7}}\) o'rniga \( - 6{t^{ - 5}}\) ni olishda "boshqa yo'ldan borish" oson xatodir.
c \(y = 8{z^3} - \frac{1}{{3{z^5}}} + z - 23\) Yechim
Endi bu funktsiyada ikkinchi atama kuch qoidasidan foydalanishimiz uchun to'g'ri sozlanmagan. Quvvat qoidasi atama faqat darajaga o'zgaruvchi bo'lishini va termin hisoblagichda bo'lishini talab qiladi. Shunday qilib, farqlashdan oldin, birinchi navbatda, ikkinchi atamani biz hal qila oladigan shaklga qayta yozishimiz kerak.
\[y = 8{z^3} - \frac{1}{3}{z^{ - 5}} + z - 23\]E'tibor bering, biz maxrajda 3 ni qoldirdik va o'zgaruvchini faqat yuqoriga ko'chirdik. Esda tutingki, ko'rsatkichni oladigan yagona narsa bu eksponentning chap tomonida joylashgan atamadir. Agar biz ham uchtasi paydo bo'lishini xohlasak, yozgan bo'lardik,
\[\frac{1}{{{{\left( {3z} \right)}^5}}}\]
shuning uchun bu bilan ehtiyot bo'ling! Ushbu bosqichda ham 3 ni hisoblagichga keltirish juda keng tarqalgan xatodir.
Endi biz funktsiyani to'g'ri shaklga qayta yozib oldik, bu bizga Quvvat qoidasidan foydalanishga imkon beradi, biz funktsiyani farqlay olamiz. Mana bu qismning hosilasi.
\[y' = 24{z^2} + \frac{5}{3}{z^{ - 6}} + 1\]d \(\displaystyle T\left( x \right) = \sqrt x + 9\sqrt[3]{{{x^7}}} - \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^2}}}}}\) Yechim
Ushbu funktsiyadagi barcha atamalarning ildizlari bor. Quvvat qoidasidan foydalanish uchun avvalo barcha ildizlarni kasr ko‘rsatkichlariga aylantirishimiz kerak. Yana shuni esda tutingki, Quvvat qoidasi bizdan raqamga o'zgaruvchiga ega bo'lishni talab qiladi va u atamaning suratida bo'lishi kerak. Bu erda funksiya "to'g'ri" shaklda yozilgan.
\[\begin{align*}T\left( x \right) & = {x^{\frac{1}{2}}} + 9{\left( {{x^7}} \right)^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}\\ & = {x^{\frac{1}{2}}} + 9{x^{\frac{7}{3}}} - \frac{2}{{{x^{\frac{2}{5}}}}}\\ & = {x^{\frac{1}{2}}} + 9{x^{\frac{7}{3}}} - 2{x^{ - \frac{2}{5}}}\end{align*}\]Oxirgi ikki atamada biz ko'rsatkichlarni birlashtirdik. Siz buni har doim bunday atama bilan qilishingiz kerak. Keyingida biz ko'rsatkichlarni birlashtirmasdan ushbu atamani farqlash imkonini beradigan texnikani bilib olamiz, ammo buning uchun ko'proq ish kerak bo'ladi. Bundan tashqari, uchinchi hadning maxrajidagi atamani hisoblagichga ko'chirishni unutmang. Endi biz funktsiyani farqlay olamiz.
\[\begin{align*}T'\left( x \right) & = \frac{1}{2}{x^{ - \,\,\frac{1}{2}}} + 9\left( {\frac{7}{3}} \right){x^{\frac{4}{3}}} - 2\left( { - \frac{2}{5}} \right){x^{ - \,\,\frac{7}{5}}}\\ & = \frac{1}{2}{x^{ - \,\,\frac{1}{2}}} + 21{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{5}{x^{ - \,\,\frac{7}{5}}}\end{align*}\]Kasr ko'rsatkichlari bilan ishlashingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Ushbu darsda siz ulardan ko'pini ko'rasiz.
e \(h\left( x \right) = {x^\pi } - {x^{\sqrt 2 }}\) Yechim
Oldingi barcha misollarda ko'rsatkichlar yaxshi tamsayılar yoki kasrlar edi. Odatda bu sinfda biz ko'rgan narsamiz. Biroq, ko'rsatkich faqat raqam bo'lishi kerak, shuning uchun bu kabi muammolardan hayajonlanmang. Ular aynan bir xil ishlaydi.
\[h'\left( x \right) = \pi {x^{\pi - 1}} - \sqrt 2 {x^{\sqrt 2 - 1}}\]Javob biroz chalkash va biz ko'rsatkichlarni o'nli kasrgacha kamaytirmaymiz. Biroq, bu muammo unchalik qiyin emas, u dastlab shunday ko'rinadi.
Bu sinfdagi hosilalar haqida umumiy qoida mavjud bo'lib, siz undan foydalanishni odat qilishingiz kerak bo'ladi. Radikallarni ko'rganingizda, avvalo radikalni kasr ko'rsatkichiga aylantirishingiz va keyin ko'rsatkichlarni iloji boricha soddalashtirishingiz kerak. Ushbu qoidaga rioya qilish sizni kelajakda juda ko'p qayg'ulardan xalos qiladi.
Xususiyatlarni birinchi marta qo'yganimizda, biz mahsulot va ko'rsatkichlar uchun xususiyatni kiritmaganligimizni ta'kidladik. Bu biz hozirda biron bir mahsulot yoki qismni farqlay olmaymiz degani emas. Biz qila oladigan narsalar bor.
- \(y = \sqrt[3]{{{x^2}}}\left( {2x - {x^2}} \right)\)
- \(\displaystyle h\left( t \right) = \frac{{2{t^5} + {t^2} - 5}}{{{t^2}}}\)
a \(y = \sqrt[3]{{{x^2}}}\left( {2x - {x^2}} \right)\) Yechim
Bu funktsiyada biz faqat birinchi atamani farqlay olmaymiz, ikkinchi atamani farqlay olmaymiz va keyin ikkalasini birga ko'paytiramiz. Bu shunchaki ishlamaydi. Biz buni keyingi bo'limda batafsil muhokama qilamiz, shuning uchun agar siz bir oz ushlab turishingizga ishonchingiz komil bo'lmasa va biz buni tez orada ko'rib chiqamiz, shuningdek, nima uchun bu ishlamasligiga misol keltiramiz.
Biroq, bu hosilani qilish hali ham mumkin. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu radikalni kasr ko'rsatkichlariga aylantirish (baribir kerak bo'lganda) va keyin uni qavs orqali ko'paytirish.
\[y = {x^{\frac{2}{3}}}\left( {2x - {x^2}} \right) = 2{x^{\frac{5}{3}}} - {x^{\frac{8}{3}}}\]Endi biz funktsiyani farqlay olamiz.
\[y' = \frac{{10}}{3}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3}{x^{\frac{5}{3}}}\]b \(\displaystyle h\left( t \right) = \frac{{2{t^5} + {t^2} - 5}}{{{t^2}}}\) Yechim
Birinchi qismda bo'lgani kabi, biz faqat pay va maxrajni farqlay olmaymiz va uni kasr sifatida birlashtiramiz. Shunga qaramay, agar siz bunga ishonganingizga ishonchingiz komil bo'lmasa, keyingi bo'limgacha ushlab turing va biz buni batafsil ko'rib chiqamiz.
Biz bu ratsional ifodani quyidagicha soddalashtirishimiz mumkin.
\[h\left( t \right) = \frac{{2{t^5}}}{{{t^2}}} + \frac{{{t^2}}}{{{t^2}}} - \frac{5}{{{t^2}}} = 2{t^3} + 1 - 5{t^{ - 2}}\]Bu biz farqlashimiz mumkin bo'lgan funktsiyadir.
\[h'\left( t \right) = 6{t^2} + 10{t^{ - 3}}\]Shunday qilib, biz ushbu misolda ko'rganimizdek, biz farqlashimiz mumkin bo'lgan bir nechta mahsulot va ko'rsatkichlar mavjud. Agar biz avval ba'zi soddalashtirishni amalga oshira olsak, funktsiyalar ba'zan ushbu bo'limdagi xususiyatlar va formulalar yordamida farqlanadigan shaklga soddalashtiriladi.
Keyingiga o'tishdan oldin, keling, hosilaning ba'zi talqinlarini yana bir bor eslatish uchun bir nechta misollar keltiramiz.
Yechim
Biz bilamizki, funktsiyaning o'zgarish tezligi funksiyalar hosilasi tomonidan beriladi, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa funktsiyani qayta yozish (ikkinchi muddat bilan ishlash) va keyin hosila olish.
\[f\left( x \right) = 2{x^3} + 300{x^{ - 3}} + 4\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}f'\left( x \right) = 6{x^2} - 900{x^{ - 4}} = 6{x^2} - \frac{{900}}{{{x^4}}}\]E'tibor bering, biz oxirgi atamani hosila orqasida kasr sifatida qayta yozdik. Bu biz hozirgacha qilgan ish emas va bu erda faqat keyingi bosqichda baholashda yordam berish uchun qilinmoqda. Ko'pincha ijobiy ko'rsatkichlar bilan baholash osonroq.
Shunday qilib, hosilani baholashda biz olamiz
\[f'\left( { - 2} \right) = 6\left( 4 \right) - \frac{{900}}{{16}} = - \frac{{129}}{4} = - 32.25\]Shunday qilib, \(x = - 2\) da hosila manfiy va shuning uchun \(x = - 2\) da funktsiya pasaymoqda.
Yechim
Biz bilamizki, tangens chiziq tenglamasi quyidagicha berilgan:
\[y = f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right)\]Shunday qilib, bizga funktsiyaning hosilasi kerak bo'ladi (radikaldan xalos bo'lishni unutmang).
\[f\left( x \right) = 4x - 8{x^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = 4 - 4{x^{ - \frac{1}{2}}} = 4 - \frac{4}{{{x^{\frac{1}{2}}}}}\]Shunga qaramay, biz faqat baholash uchun hosiladagi salbiy ko'rsatkichni yo'q qilganimizga e'tibor bering. Shundan so'ng biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu \(x = 16\) nuqtasidagi funktsiya va hosilani baholashdir.
\[f\left( {16} \right) = 64 - 8\left( 4 \right) = 32\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( 16 \right) = 4 - \frac{4}{4} = 3\]Tangens chiziq u holda,
\[y = 32 + 3\left( {x - 16} \right) = 3x - 16\]Ob'ekt qachon o'ngga va qachon chapga harakatlanayotganini aniqlang.
Yechim
Ob'ekt qaysi yo'nalishda harakatlanayotganini aniq bilishning yagona yo'li - bu tezlikni qo'lda ushlab turishdir. Eslatib o'tamiz, agar tezlik ijobiy bo'lsa, jism o'ngga siljiydi va agar tezlik salbiy bo'lsa, u holda ob'ekt chapga harakat qiladi.
Ob'ektning tezligini olish uchun bizga hosila kerak. Hosil va shuning uchun tezlik,
\[s'\left( t \right) = 6{t^2} - 42t + 60 = 6\left( {{t^2} - 7t + 10} \right) = 6\left( {t - 2} \right)\left( {t - 5} \right)\]Tez orada hosila faktoringining sababi ma'lum bo'ladi.
Endi hosila qayerda ijobiy, qayerda esa manfiy ekanligini aniqlashimiz kerak. Buning uchun bir necha usullar mavjud. Biz afzal ko'rgan usul quyidagilar.
Polinomlar uzluksiz bo'lgani uchun biz dan bilamiz Oraliq qiymat teoremasi Agar ko'phad belgisini o'zgartirsa, u avval noldan o'tgan bo'lishi kerak. Shunday qilib, agar biz hosila qaerda nolga teng ekanligini bilsak, hosil bo'lgan yagona nuqtani bilamiz mumkin belgisini o'zgartirish.
Biz hosilaning faktorlangan shaklidan ko'rishimiz mumkinki, hosila \(t = 2\) va \(t = 5\) da nolga teng bo'ladi. Keling, bu nuqtalarni raqamlar chizig'ida chizamiz.
Endi biz ushbu ikki nuqta sonlar chizig'ini uchta alohida mintaqaga bo'lishlarini ko'rishimiz mumkin. Ushbu hududlarning har birida biz bilish hosila bir xil belgi bo'ladi. Esingizda bo'lsin, lotin faqat raqamlar chizig'ini mintaqalarga bo'lish uchun ishlatiladigan ikkita nuqtadagi belgini o'zgartirishi mumkin.
Shuning uchun, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, hosilani har bir mintaqadagi sinov nuqtasida tekshirish va bu mintaqadagi hosila sinov nuqtasi bilan bir xil belgiga ega bo'ladi. Bu erda test nuqtalari va natijalari ko'rsatilgan raqamlar chizig'i.
Bu erda hosila ijobiy va salbiy bo'lgan intervallar.
\[\begin{array}{rl}{{\mbox{positive : }}}&{ - \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\,5 < t < \infty }\\{{\mbox{negative : }}}&{2 < t < 5}\end{array}\]Biz bu erda salbiy \(t\)-ni qo'shdik, chunki ular bu muammo uchun unchalik mantiqiy bo'lmasligi mumkin. Buni bilsak, biz ham savolga javob bera olamiz. Ob'ekt quyidagi oraliqlarda o'ngga va chapga siljiydi.
\[\begin{array}{rl}{{\mbox{moving to the right : }}}&{ - \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\,5 < t < \infty }\\{{\mbox{moving to the left : }}}&{2 < t < 5}\end{array}\]Ushbu misolda biz qilgan ishni bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling. Keyingi ikki bob davomida funksiyalar qayerda ijobiy va/yoki salbiy ekanligini aniqlash uchun sizdan ko'p marta so'raladi. Agar sizga bir oz ko'rib chiqish kerak bo'lsa yoki bunday muammolarni mashq qilmoqchi bo'lsangiz, tekshirishingiz kerak Tengsizliklarni yechish bo'limi Algebra/Trig tekshiruvi.