9.9-bo'lim: O'zgaruvchilarni ajratish bo'yicha xulosa

Ushbu bob davomida biz o'zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida qisman differensial tenglamalar haqida gapirdik va echdik. Biroq, biz qilmagan bir narsa - bu har bir qadamni ko'rsatib, boshidan oxirigacha misol qilib ishlashdir.

Biz hal qilgan har bir qisman differensial tenglama muammoning hech bo'lmaganda bir qismini boshqa bo'limda bajarganligimizdan foydalandi va shuning uchun bu erda usulning qisqacha xulosasi bo'lishi mantiqiy.

Shuni ham yodda tutingki, qisman differentsial tenglamalarning har biri faqat ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Usul ko'pincha ikkitadan ortiq o'zgaruvchilarga kengaytirilishi mumkin, ammo bu muammolardagi ish juda ko'p bo'lishi mumkin va shuning uchun biz bu erda ularning hech birini ko'rib chiqmadik.

Shunday qilib, bularning barchasidan tashqari, bu erda ikkita o'zgaruvchidagi qisman differentsial tenglamalar uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulining qisqacha xulosasi.

1. Qisman differensial tenglama chiziqli va bir hil ekanligini tekshiring.
   
   
2. Chegara shartlari to'g'ri shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling. E'tibor bering, bu ko'pincha muammoda nima borligiga bog'liq bo'ladi. Shunday qilib,
   1. Agar sizda dastlabki shartlar mavjud bo'lsa, barcha chegara shartlari chiziqli va bir hil ekanligini tekshiring.
   2. Agar boshlang'ich shartlar (masalan, Laplas tenglamasi) bo'lmasa, chegara shartlarining biridan tashqari hammasi chiziqli va bir hil ekanligini tekshiring.
   3. Ba'zi hollarda (masalan, diskda Laplas tenglamasini ko'rganimiz kabi) chegara sharti yechimning chekli bo'lishini talab qilish shaklini oladi va bu hollarda biz chegara sharti bajarilganligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
3. Faraz qilaylik, yechimlar muammodagi o‘zgaruvchilardan faqat bittasidagi ikkita funktsiyaning har biri funksiyaning mahsuloti bo‘ladi. Bu mahsulot yechimi deb ataladi.
   
   
4. Mahsulot yechimini qisman differentsial tenglamaga ulang, o'zgaruvchilarni ajrating va ajratish doimiyligini kiriting. Bu ikkita oddiy differensial tenglamani hosil qiladi.
   
   
5. Mahsulot eritmasini bir hil chegara sharoitlariga ulang. Shuni yodda tutingki, ko'pincha differentsial tenglamani bajarishdan oldin buni qilish yaxshiroq bo'ladi, shuning uchun biz ulardan ajratish konstantasini tanlashda yordam berishimiz mumkin.
   
   
6. Oddiy differentsial tenglamalardan biri chegaraviy masala bo'ladi. Masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalarini aniqlash uchun buni yeching.

   E'tibor bering, buni qilish ko'pincha juda qiyin va ba'zi hollarda muammoning barcha o'z qiymatlari va o'z funktsiyalarini to'liq topish imkonsiz bo'ladi. Bu holatlar hech bo'lmaganda yechimning taxminiy ma'lumotlarini olish uchun ko'rib chiqilishi mumkin, ammo bu tezkor kirish doirasidan tashqarida.

7. Iloji bo'lsa yechimni soddalashtirish uchun qolgan har qanday bir hil chegara shartlaridan foydalanib ikkinchi oddiy differensial tenglamani yeching.
   
   
8. Qisman differentsial tenglama va bir jinsli chegara shartlarini qanoatlantiradigan qisman differensial tenglama yechimini yozish uchun Superpozitsiya printsipi va mahsulot yechimlaridan foydalaning.
   
   
9. Qolgan shartlarni qo'llang (bu boshlang'ich shart(lar) yoki bir jinsli bo'lmagan chegaraviy shart bo'lishi mumkin) va koeffitsientlarni topish uchun xos funktsiyalarning ortogonalligidan foydalaning.

   E'tibor bering, barcha misollarimizda o'z funksiyalari sinuslar va/yoki kosinuslar edi, ammo ular har doim ham sinuslar va kosinuslar bo'lmaydi. Agar chegaraviy masala yetarli darajada chiroyli bo'lsa (va bu usulga tezkor kirish doirasidan tashqarida bo'lsa), biz har doim o'z funksiyalari nima bo'lishidan qat'i nazar, ortogonal bo'lishini kafolatlashimiz mumkin.