Bu erda bizning birinchi fikrimiz, ehtimol, cheksizlikni polinomga "ulash" va chegara qiymatini aniqlash uchun har bir atamani "baholash". Har bir atama chegarada nima qilishini ko'rish juda oddiy va shuning uchun bu aniq qadam kabi ko'rinadi, ayniqsa biz oldingi bo'limlarda boshqa cheklovlar uchun buni qilganimiz uchun.

Shunday qilib, keling, buni qilsak, nimaga erishganimizni ko'rib chiqaylik. \(x\) cheksizlikka yaqinlashganda, \(x\) kuchga faqat kattalashishi mumkin va har bir a'zoning (birinchi va uchinchi) koeffitsienti atamani yanada kattaroq qiladi. Shunday qilib, agar biz har bir atama chegarada nima qilayotganiga qarasak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2{x^4} - {x^2} - 8x} \right) = \infty - \infty - \infty \]

Endi bizda kichik, ammo oson hal qilinadigan muammo bor. Ehtimol, biz javob nol (chunki bizda cheksizlik minus cheksizlik bor) yoki \( - \infty \) (chunki biz bitta cheksizlikdan ikkita cheksizlikni ayiryapmiz) deb aytishga vasvasaga tushdik. Biroq, ikkala holatda ham biz xato qilgan bo'lamiz. Bu ulardan biri noaniq shakllar biz birinchi marta oldingisida ko'rishni boshladik bo'limi.

Arifmetika haqida gap ketganda, cheksizliklar har doim ham haqiqiy raqamlar kabi harakat qilmaydi. Ko'proq ishsiz \(\infty - \infty \) nima bo'lishini bilishning hech qanday usuli yo'q va shuning uchun biz bunday muammolardan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu haqda bir oz ko'proq o'qish uchun qarang Infinity turlari Qo'shimchalar bo'limidagi bo'lim.

Demak, bu muammoni hal qilishning yo'li kerak. Bu erda biz \(x\) ning eng katta kuchini butun ko'phaddan quyidagicha ko'paytiramiz:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2{x^4} - {x^2} - 8x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{x^4}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{8}{{{x^3}}}} \right)} \right]\]

Agar yuqoridagi faktoringga rozi ekanligingizga ishonchingiz komil boʻlmasa (bundan oldin sizdan bunday faktoringni amalga oshirish soʻralmagan boʻlsa kerak), esda tutingki, tekshirish uchun faqat \({x^4}\) ni qavs ichiga koʻpaytirib, uning toʻgʻri bajarilganligini tekshirish kerak. Bundan tashqari, bunday faktoringni qanday amalga oshirishni eslab qolishning oson yo'li, ikkinchi atama faqat \({x^4}\) ga bo'lingan asl polinom ekanligini ta'kidlashdir. Bu har doim polinomdan \(x\) kuchini faktoring qilganda ishlaydi.

Endi bizda mavjud shartlarning har biri uchun,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^4} = \infty \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{8}{{{x^3}}}} \right) = 2\]

Birinchi chegara aniq cheksizlikdir va ikkinchi chegara uchun biz oxirgi ikki shartda yuqoridagi faktdan foydalanamiz. Shuning uchun foydalanish 2-fakt oldingi bo'limdan biz chegara qiymatini ko'ramiz,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2{x^4} - {x^2} - 8x} \right) = \infty \]

Biz bu qismni oldingi qismga qaraganda tezroq ishlaymiz. Quyidagilarni olish uchun \(t\) ning eng katta quvvatini hisobga olishimiz kerak:

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( {{\textstyle{1 \over 3}}{t^5} + 2{t^3} - {t^2} + 8} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left[ {{t^5}\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{{{t^2}}} - \frac{1}{{{t^3}}} + \frac{8}{{{t^5}}}} \right)} \right]\]

Esda tutingki, faktoringni toʻgʻri olish uchun faqat asl polinomni biz faktoring qilayotgan \(t\) kuchiga boʻlish kerak, bu holda \({t^5}\).

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita atamaning chegarasini olishdir. Birinchidan, shuni unutmangki, biz \( - \infty \) tomon ketyapmiz va biz \(t\) ni 5 ga oshirmoqdamiz.^th chegara manfiy bo'ladigan quvvat (g'alati kuchga ko'tarilgan manfiy raqam hali ham salbiy). Ikkinchi muddatda biz bu chekli son ekanligini ko'rish uchun yuqoridagi faktdan yana bir bor foydalanamiz.

Shuning uchun, bir modifikatsiya yordamida Faktlar oldingi bo'limdan limitning qiymati,

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( {{\textstyle{1 \over 3}}{t^5} + 2{t^3} - {t^2} + 8} \right) = - \infty \]

Birinchidan, bu ikkisi orasidagi yagona farq shundaki, biri ijobiy cheksizlikka, ikkinchisi esa salbiy cheksizlikka boradi. Ba'zida bu kichik farq chegara qiymatiga ta'sir qiladi, ba'zida esa ta'sir qilmaydi.

Keling, birinchi chegaradan boshlaylik va bizning birinchi misollar to'plamida bo'lgani kabi, cheksizlikni shunchaki "ulash" vasvasasi bo'lishi mumkin. Surat ham, maxraj ham ko'phad bo'lgani uchun biz har birining harakatini aniqlash uchun yuqoridagi faktdan foydalanishimiz mumkin. Buni qilish,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^4} - {x^2} + 8x}}{{ - 5{x^4} + 7}} = \frac{\infty }{{ - \infty }}\]

Bu yana bir noaniq shakl. Bu holda biz chegarani cheksizlik (hisobdagi cheksizlik tufayli), nol (maxrajdagi cheksizlik tufayli) yoki -1 (chunki o'z-o'zidan bo'lingan narsa bitta) deb aytishga vasvasaga tushishimiz mumkin. Bu yerda uchta alohida arifmetik “qoida” ishlaydi va ishlamasdan qaysi “qoida” toʻgʻri boʻlishini bilishning imkoni yoʻq va vaziyatni yomonlashtirish uchun ularning hech biri ishlamasligi mumkin va biz butunlay boshqacha javob olishimiz mumkin, deylik \( - \frac{2}{5}\) tasodifiy raqamni tanlash uchun.

Shunday qilib, polinomni ko'phadga bo'lganimizda, biz faqat ko'phad bilan bo'lgani kabi davom etamiz. Biz birinchi navbatda \(x\) ning maxrajdagi eng katta kuchini aniqlaymiz (va ha, biz buning uchun faqat maxrajga qaraymiz) va keyin buni pay va maxrajdan ajratib olamiz. Buni birinchi chegara uchun qilish,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^4} - {x^2} + 8x}}{{ - 5{x^4} + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^4}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^4}\left( { - 5 + \frac{7}{{{x^4}}}} \right)}}\]

Buni bajarganimizdan so'ng, biz \({x^4}\) ni suratdan ham, maxrajdan ham bekor qilishimiz mumkin va keyin qolgan barcha shartlar chegarasini olish uchun yuqoridagi 1-faktdan foydalanishimiz mumkin. Bu beradi,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^4} - {x^2} + 8x}}{{ - 5{x^4} + 7}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}}}}{{ - 5 + \frac{7}{{{x^4}}}}}\\ & = \frac{{2 + 0 + 0}}{{ - 5 + 0}}\\ & = - \frac{2}{5}\end{align*}\]

Bunday holda, noaniq shakl abadiylik, nol yoki -1ning "aniq" tanlovlaridan biri emas edi, shuning uchun bunday noaniq shakllar bilan bunday taxminlarni qilishda ehtiyot bo'ling.

Ikkinchi chegara xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. E'tibor bering, birinchi chegara bo'yicha ishning hech bir joyida biz chegaraning cheksizlikka teng bo'lishi haqiqatidan foydalanmadik. Bunday holda, qaysi cheksizlik tomon borishimiz muhim emas, biz chegara uchun bir xil qiymatga ega bo'lamiz.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^4} - {x^2} + 8x}}{{ - 5{x^4} + 7}} = - \frac{2}{5}\]

Bu muammoning kvadrat ildizi bizning ishimizni o'zgartirmaydi, lekin bu ishni biroz chalkashroq qiladi.

Birinchi chegaradan boshlaylik. Bu holda \(x\) ning maxrajdagi eng katta kuchi faqat \(x\) hisoblanadi. Shunday qilib, biz surat va maxrajdan \(x\) ni koeffitsient qilishimiz kerak. Biz \(x\) faktoringini tugatgandan so'ng, bizga surat va maxrajda \(x\) kerak bo'ladi. Buni suratda olish uchun kvadrat ildizdan \(x^{2}\) ni koeffitsient qilishimiz kerak, shunda kvadrat ildizni olgandan so'ng biz \(x\) ni olamiz.

Bu, ehtimol, siz bajarishga odatlanmagan narsadir, lekin esda tutingki, u kvadrat ildizdan chiqqanda u \(x\) bo'lishi kerak va \(x\) kvadrat ildizdan chiqishining yagona yo'li \(x^{2}\) kvadrat ildizini olishdir, shuning uchun radikal ostidagi atamani hisobga olishimiz kerak bo'ladi. Mana bu qism uchun faktoring ishi,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 6} }}{{5 - 2x}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}} \sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\end{align*}\]

Bu erda biz muammoning kvadrat ildiziga juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Buni unutmang

\[\sqrt {{x^2}} = \left| x \right|\]

Kvadrat ildizlar DOIMO musbat va shuning uchun ijobiy javob berishiga ishonch hosil qilish uchun bizga \(x\) dagi mutlaq qiymat satrlari kerak. Bu ko'pchilik Algebra darsida ko'rganini eslay olmaydi va aslida u har doim ham Algebra darsida berilmaydi. Biroq, hozirgi paytda biz ushbu haqiqatni bilishimiz va undan foydalanishimiz juda muhim bo'ladi. Ushbu faktdan foydalanib, chegara bo'ladi,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 6} }}{{5 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\]

Endi biz \(x\)-ni bekor qila olmaymiz. Biz birinchi navbatda mutlaq qiymat chiziqlaridan xalos bo'lishimiz kerak. Buning uchun mutlaq qiymat ta'rifini eslaylik.

\[\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{rl}x & {{\mbox{if }}x \ge 0}\\{ - x} & {{\mbox{if }}x < 0}\end{array}} \right.\]

Bu holda biz ortiqcha cheksizlikka chiqamiz, shuning uchun \(x\) ijobiy bo'ladi deb ishonch bilan taxmin qilishimiz mumkin va shuning uchun biz shunchaki mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin. Shunda chegara,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 6} }}{{5 - 2x}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{\frac{5}{x} - 2}} = \frac{{\sqrt {3 + 0} }}{{0 - 2}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Keling, ikkinchi chegarani ko'rib chiqaylik (salbiy cheksizlik bilan). Bunday holda, biz foydalanadigan chegaraga e'tibor qaratishimiz kerak. Dastlabki ish keyingi bosqichga etgunimizcha bir xil bo'ladi.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 6} }}{{5 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\]

Bu chegarada biz minus cheksizlikka boramiz, shuning uchun bu holda \(x\) manfiy deb taxmin qilishimiz mumkin. Shunday qilib, bu holda mutlaq qiymat chiziqlarini tushirish uchun biz minus belgisini ham qo'yishimiz kerak. Shunda chegara,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 6} }}{{5 - 2x}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {3 + \frac{6}{{{x^2}}}} }}{{\frac{5}{x} - 2}}\\ & = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Keling, birinchi chegarani bajaramiz va bu holda biz surat va maxrajdan \(z^{3}\) ni faktorga ajratamiz. Esda tutingki, biz bu yerda \(z\) ning eng katta quvvatini aniqlashda faqat maxrajga qaraymiz. Numeratorda \(z\) ning katta kuchi bor, lekin biz buni e'tiborsiz qoldiramiz. Biz buni qilayotganda FAQAT maxrajga qaraymiz! Shunday qilib, faktoringni amalga oshirish,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{4{z^2} + {z^6}}}{{1 - 5{z^3}}} &= \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{{z^3}\left( {\frac{4}{z} + {z^3}} \right)}}{{{z^3}\left( {\frac{1}{{{z^3}}} - 5} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{\frac{4}{z} + {z^3}}}{{\frac{1}{{{z^3}}} - 5}}\end{align*}\]

Cheklovni olganimizda, biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Surat va maxrajdagi birinchi had nolga teng bo'ladi. Biroq, \(z\)³ hisoblagichda chegarada cheksizlik plyus bo'ladi va shuning uchun chegara,

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } \frac{{4{z^2} + {z^6}}}{{1 - 5{z^3}}} = \frac{\infty }{{ - 5}} = - \infty \]

Yakuniy chegara salbiy, chunki bizda ijobiy miqdor va salbiy miqdor mavjud.

Endi ikkinchi chegarani ko'rib chiqaylik. E'tibor bering, ishdagi yagona farq yakuniy "baholash" bosqichida va shuning uchun biz ishni u erda olamiz.

\[\mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } \frac{{4{z^2} + {z^6}}}{{1 - 5{z^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } \frac{{\frac{4}{z} + {z^3}}}{{\frac{1}{{{z^3}}} - 5}} = \frac{{ - \infty }}{{ - 5}} = \infty \]

Bu holda hisoblagichdagi \(z^{3}\) chegarada manfiy cheksizlikni beradi, chunki biz minus cheksizlikka chiqamiz va quvvat toq. Javob ijobiy, chunki bizda ikkita manfiy sonning koeffitsienti bor.

Bu holda biz \({t^4}\) ni pay va maxrajdan ajratamiz. Buni qilish,

\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{t^2} - 5t - 9}}{{2{t^4} + 3{t^3}}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{t^4}\left( {\frac{1}{{{t^2}}} - \frac{5}{{{t^3}}} - \frac{9}{{{t^4}}}} \right)}}{{{t^4}\left( {2 + \frac{3}{t}} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{t^2}}} - \frac{5}{{{t^3}}} - \frac{9}{{{t^4}}}}}{{2 + \frac{3}{t}}}\\ & = \frac{0}{2}\\ & = 0\end{align*}\]

Bunday holda, 1-faktdan foydalanib, biz hisoblagich nolga teng ekanligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun maxraj ham kasr nolga teng emas, shuning uchun chegara nolga teng bo'ladi.