16.6-bo'lim: Konservativ vektor maydonlari
Oldingida biz \(\vec F\) vektor maydonining konservativ ekanligini bilsak, \(\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}}\) yo'ldan mustaqil ekanligini ko'rdik. Bu, o'z navbatida, biz \(\vec F\) uchun potentsial funktsiyani topsak, bu chiziqli integralni osongina baholashimiz mumkinligini anglatadi.
Ushbu bo'limda biz ikkita savolni ko'rib chiqmoqchimiz. Birinchidan, \(\vec F\) vektor maydoni berilgan bo'lsa, uning konservativ vektor maydoni ekanligini aniqlashning biron bir usuli bormi? Ikkinchidan, agar biz \(\vec F\) konservativ vektor maydoni ekanligini bilsak, vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani qanday topishimiz mumkin?
Agar bizda ikki o'lchovli vektor maydoni bo'lsa, birinchi savolga javob berish oson. Yuqori o'lchamli vektor maydonlari uchun biz ushbu savolga javob berish uchun ushbu bobning yakuniy qismini kutishimiz kerak. Shu bilan birga, keling, buni ikki o'lchovli vektor maydonlari uchun qanday qilishimizni ko'rib chiqaylik.
Konservativ vektor maydoni uchun 2D testi
\(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j\) a da vektor maydoni bo'lsin ochiq va oddiy bog'langan mintaqa \(D\). Agar \(P\) va \(Q\) \(D\) da uzluksiz birinchi tartibli qisman hosilalarga ega bo'lsa va
\[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\]\(\vec F\) vektor maydoni konservativdir.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {{x^2} - yx} \right)\vec i + \left( {{y^2} - xy} \right)\vec j\)
- \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}} \right)\vec i + \left( {{x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y} \right)\vec j\)
Munozarani ko'rsatish
OK, bular uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz faqat \(P\) va \(Q\) ni aniqlaymiz, keyin bir nechta hosilalarni olamiz va natijalarni solishtiramiz.
a \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {{x^2} - yx} \right)\vec i + \left( {{y^2} - xy} \right)\vec j\) Yechim
Bu holda \(P\) va \(Q\) va tegishli qisman hosilalar mavjud.
\[\begin{align*}P & = {x^2} - yx\hspace{0.5in}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = - x\\ Q & = {y^2} - xy\hspace{0.5in}\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = - y\end{align*}\]Shunday qilib, ikkita qisman hosilalar bir xil bo'lmagani uchun bu vektor maydoni konservativ EMAS.
b \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}} \right)\vec i + \left( {{x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y} \right)\vec j\) Yechim
Mana \(P\) va \(Q\), shuningdek, tegishli hosilalar.
\[\begin{align*}P & = 2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}\hspace{0.5in}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2{x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {x^3}y{{\bf{e}}^{xy}} = 3{x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {x^3}y{{\bf{e}}^{xy}}\\ Q & = {x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 3{x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {x^3}y{{\bf{e}}^{xy}}\end{align*}\]Ikki qisman hosilalar teng va shuning uchun bu konservativ vektor maydonidir.
Endi biz ikki o'lchovli vektor maydonining konservativ yoki yo'qligini qanday aniqlashni bilganimizdan so'ng, vektor maydoni uchun potentsial funktsiyani qanday topishni ko'rib chiqishimiz kerak. Bu aslida juda oddiy jarayon. Birinchidan, vektor maydoni konservativ deb faraz qilaylik va shuning uchun biz \(f\left( {x,y} \right)\) potentsial funktsiyasi mavjudligini bilamiz. Shunda aytishimiz mumkinki,
\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\vec j = P\,\vec i + Q\,\vec j = \vec F\]Yoki bizda teng bo'lgan komponentlarni o'rnatish orqali,
Potensial funksiya uchun komponent tenglamalari
Ularning har birini tegishli o'zgaruvchiga nisbatan integrallash orqali biz quyidagi ikkita tenglamaga erishishimiz mumkin.
Integratsiya orqali potentsial funktsiyani tiklash
Ushbu turdagi integralni biz bo'lim oxirida qisqacha ko'rib chiqdik takrorlangan integrallar oldingi bobda.
Odatda bir yoki ikkita misolda potentsial funktsiyani topish uchun ushbu ikki faktdan qanday foydalanishimizni ko'rish yaxshidir.
- \(\vec F = \left( {2{x^3}{y^4} + x} \right)\vec i + \left( {2{x^4}{y^3} + y} \right)\vec j\)
- \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}} \right)\vec i + \left( {{x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y} \right)\vec j\)
a \(\vec F = \left( {2{x^3}{y^4} + x} \right)\vec i + \left( {2{x^4}{y^3} + y} \right)\vec j\) Yechim
Keling, avval \(P\) va \(Q\) ni aniqlaymiz va keyin vektor maydonining konservativ ekanligini tekshiramiz.
\[\begin{align*}P & = 2{x^3}{y^4} + x &\hspace{0.5in}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} & = 8{x^3}{y^3}\\ Q & = 2{x^4}{y^3} + y & \hspace{0.5in}\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} & = 8{x^3}{y^3}\end{align*}\]Demak, vektor maydoni konservativdir. Endi potentsial funktsiyani topamiz. Yuqoridagi birinchi faktdan bilamizki,
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2{x^3}{y^4} + x\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 2{x^4}{y^3} + y\]Bulardan shuni ko'rishimiz mumkin
\[f\left( {x,y} \right) = \int{{2{x^3}{y^4} + x\,dx}}\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\,\,\,\,f\left( {x,y} \right) = \int{{2{x^4}{y^3} + y\,dy}}\]Jarayonni boshlash uchun biz ulardan birini ishlatishimiz mumkin. Eslab qoling Biz tanlagan integraldan "integratsiya doimiysi" dan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu misol uchun keling, birinchi integral bilan ishlaylik va demak, biz integralni olish uchun \(x\) ga nisbatan qanday funktsiyani ajratganimizni so'rayapmiz. Bu “integrasiya konstantasi” \(y\) funksiyasi bo‘lishi kerakligini anglatadi, chunki faqat \(y\) va/yoki konstantalardan tashkil topgan har qanday funksiya \(x\) ga nisbatan qisman hosila olishda nolga differensiallanadi.
Mana birinchi integral.
\[\begin{align*}f\left( {x,y} \right) & = \int{{2{x^3}{y^4} + x\,dx}}\\ & = \frac{1}{2}{x^4}{y^4} + \frac{1}{2}{x^2} + h\left( y \right)\end{align*}\]bu erda \(h\left( y \right)\) "integratsiya doimiysi" dir.
Endi biz \(h\left( y \right)\) ni aniqlashimiz kerak. Bu birinchi qarashda ko'rinadiganidan osonroq. Bu nuqtaga o'tish uchun biz \(P\)-ni bilganimizdan foydalandik, ammo muammoni hal qilish uchun \(Q\)-ni bilishimizdan ham foydalanishimiz kerak bo'ladi. Eslatib o'tamiz, \(Q\) haqiqatan ham \(y\) ga nisbatan \(f\) hosilasidir. Shunday qilib, agar biz \(y\) ga nisbatan funktsiyamizni farqlasak, u nima bo'lishi kerakligini bilamiz.
Shunday qilib, keling, \(f\) (shu jumladan \(h\left( y \right)\)) ni \(y\) ga nisbatan farqlaylik va uni \(Q\) ga tenglashtiramiz, chunki hosila shunday bo'lishi kerak.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 2{x^4}{y^3} + h'\left( y \right) = 2{x^4}{y^3} + y = Q\]Bundan shuni ko'rishimiz mumkinki,
\[h'\left( y \right) = y\]E'tibor bering, \(h'\left( y \right)\) faqat \(y\) funktsiyasi bo'lganligi sababli, agar tenglamada \(x\) mavjud bo'lsa, biz xato qilganimizni bilib olamiz. Ushbu nuqtada \(h\left( y \right)\) ni topish juda oddiy.
\[h\left( y \right) = \int{{h'\left( y \right)\,dy}} = \int{{y\,dy}} = \frac{1}{2}{y^2} + c\]Shunday qilib, bularning barchasini jamlagan holda vektor maydoni uchun potentsial funktsiya ekanligini ko'rishimiz mumkin,
\[f\left( {x,y} \right) = \frac{1}{2}{x^4}{y^4} + \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{y^2} + c\]Shuni yodda tutingki, biz har doim \(\nabla f = \vec F\) ni tekshirish orqali ishimizni tekshirishimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, \(c\) har qanday narsa bo'lishi mumkinligi sababli cheksiz ko'p mumkin bo'lgan potentsial funktsiyalar mavjud, ammo ular faqat qo'shimcha konstanta bilan o'zgaradi.
b \(\vec F\left( {x,y} \right) = \left( {2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}} \right)\vec i + \left( {{x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y} \right)\vec j\) Yechim
OK, bu juda tez ketadi, chunki biz ko'p tushuntirishlarni talab qilmaymiz. Biz bu vektor maydonining konservativ ekanligini birinchi misollar to'plamida allaqachon tekshirib ko'rganmiz, shuning uchun biz buni takrorlash bilan bezovtalanmaymiz.
Quyidagilardan boshlaylik,
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = {x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y\]Bu shuni anglatadiki, biz quyidagi integrallardan birini bajarishimiz mumkin,
\[f\left( {x,y} \right) = \int{{2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}}\,dx}}\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}f\left( {x,y} \right) = \int{{{x^3}{{\bf{e}}^{xy}} + 2y\,dy}}\]Bulardan birini bajara olsak-da, birinchi integral biroz yoqimsiz bo'ladi, chunki biz har bir qism bo'yicha qismlarga integratsiya qilishimiz kerak. Boshqa tomondan, ikkinchi integral juda oddiy, chunki ikkinchi atama faqat \(y\) ni o'z ichiga oladi va birinchi atama \(u = xy\) almashtirish bilan amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib, biz ikkinchi integraldan olamiz,
\[f\left( {x,y} \right) = {x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {y^2} + h\left( x \right)\]E'tibor bering, bu safar "integratsiya doimiysi" \(x\) funktsiyasi bo'ladi. Agar biz buni \(x\) ga nisbatan farq qilsak va \(P\) ga teng bo'lsa, biz shunday bo'lamiz,
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}} + h'\left( x \right) = 2x{{\bf{e}}^{xy}} + {x^2}y{{\bf{e}}^{xy}} = P\]Shunday qilib, bu holatda shunday ko'rinadi:
\[h'\left( x \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}h\left( x \right) = c\]Shunday qilib, bu holda "integratsiya doimiysi" haqiqatan ham doimiy edi. Ba'zida bu sodir bo'ladi va ba'zida bo'lmaydi.
Mana bu vektor maydoni uchun potentsial funksiya.
\[f\left( {x,y} \right) = {x^2}{{\bf{e}}^{xy}} + {y^2} + c\]Endi, yuqorida aytib o'tilganidek, bizda uch o'lchovli vektor maydonining konservativ yoki yo'qligini aniqlashning (hozircha) usuli yo'q. Biroq, agar bizga uch o'lchovli vektor maydoni konservativ ekanligi berilgan bo'lsa, potentsial funktsiyani topish yuqoridagi jarayonga o'xshaydi, garchi ish biroz ko'proq jalb qilinadi.
Bunday holda biz haqiqatdan foydalanamiz,
\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\,\vec k = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k = \vec F\]Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
OK, biz quyidagi tengliklardan boshlaymiz.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x{y^3}{z^4}\,\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3{x^2}{y^2}{z^4}\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 4{x^2}{y^3}{z^3}\]Boshlash uchun biz birinchisini \(x\) bilan, ikkinchisini \(y\) bilan yoki uchinchisini \(z\) bilan birlashtira olamiz. Keling, birinchisini \(x\) bilan birlashtiraylik.
\[f\left( {x,y,z} \right) = \int{{2x{y^3}{z^4}\,dx}} = {x^2}{y^3}{z^4} + g\left( {y,z} \right)\]E'tibor bering, bu safar "integratsiya konstantasi" \(y\) va \(z\) funksiyasi bo'ladi, chunki \(x\) ga nisbatan bu shakldagi har qanday narsani farqlash nolga teng bo'ladi.
Endi biz buni \(y\) ga nisbatan farqlay olamiz va uni \(Q\) ga tenglashtiramiz. Buni qilish,
\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3{x^2}{y^2}{z^4} + {g_y}\left( {y,z} \right) = 3{x^2}{y^2}{z^4} = Q\]Albatta, biz integratsiya doimiysining qisman hosilasini olishimiz kerak, chunki u ikkita o'zgaruvchining funktsiyasidir. Endi bizda quyidagilar borga o'xshaydi,
\[{g_y}\left( {y,z} \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}g\left( {y,z} \right) = h\left( z \right)\]\(g\left( {y,z} \right)\) ni \(y\) ga nisbatan farqlash nolga teng bo'lganligi sababli, \(g\left( {y,z} \right)\) ko'pi bilan \(z\) funktsiyasi bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, biz endi potentsial funktsiya quyidagi shaklda bo'lishi kerakligini bilamiz.
\[f\left( {x,y,z} \right) = {x^2}{y^3}{z^4} + h\left( z \right)\]Buni tugatish uchun biz faqat \(z\) ga nisbatan farqlashimiz va natijani \(R\) ga tenglashtirishimiz kerak.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 4{x^2}{y^3}{z^3} + h'\left( z \right) = 4{x^2}{y^3}{z^3} = R\]So,
\[h'\left( z \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,h\left( z \right) = c\]Bu vektor maydoni uchun potentsial funktsiya quyidagicha bo'ladi:
\[f\left( {x,y,z} \right) = {x^2}{y^3}{z^4} + c\]E'tibor bering, ishni minimal darajada ushlab turish uchun biz ushbu misol uchun juda oddiy potentsial funktsiyadan foydalanganmiz. Potentsial funktsiyaning oddiy vektor maydoniga asoslanganligini taxmin qilish mumkin edi. Biroq, biz buni yodda tutishimiz kerak, odatda bunday bo'lmaydi va ko'pincha bu jarayon talab qilinadi.
Bundan tashqari, biz potentsial funktsiyani topish uchun boshqa bir qancha yo'llar bor edi. Har birimiz bir xil natijaga erishgan bo'lardik.
Keling, yana bir oz (va faqat bir oz) murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Mana bu vektor maydoni uchun tengliklar.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x\cos \left( y \right) - 2{z^3}\,\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3 + 2y{{\bf{e}}^{\,z}} - {x^2}\sin \left( y \right)\hspace{0.5in}\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = {y^2}{{\bf{e}}^{\,z}} - 6x{z^2}\]Ushbu misol uchun uchinchisini \(z\) bilan birlashtiramiz.
\[f\left( {x,y,z} \right) = \int{{{y^2}{{\bf{e}}^{\,z}} - 6x{z^2}\,dz}} = {y^2}{{\bf{e}}^{\,z}} - 2x{z^3} + g\left( {x,y} \right)\]Ushbu integratsiya uchun "integratsiya doimiysi" \(x\) va \(y\) funksiyalari bo'ladi.
Endi biz buni \(x\) ga nisbatan farqlay olamiz va uni \(P\) ga tenglashtiramiz. Buni qilish,
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = - 2{z^3} + {g_x}\left( {x,y} \right) = 2x\cos \left( y \right) - 2{z^3} = P\]Shunday qilib, bizda quyidagilar borga o'xshaydi,
\[{g_x}\left( {x,y} \right) = 2x\cos \left( y \right)\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}g\left( {x,y} \right) = {x^2}\cos \left( y \right) + h\left( y \right)\]Bu muammo uchun potentsial funktsiya shunday bo'ladi:
\[f\left( {x,y,z} \right) = {y^2}{{\bf{e}}^{\,z}} - 2x{z^3} + {x^2}\cos \left( y \right) + h\left( y \right)\]Buni tugatish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(y\) ga nisbatan farqlash va natijani \(Q\) ga tenglashtirishdir.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 2y{{\bf{e}}^{\,z}} - {x^2}\sin \left( y \right) + h'\left( y \right) = 3 + 2y{{\bf{e}}^{\,z}} - {x^2}\sin \left( y \right) = Q\]So,
\[h'\left( y \right) = 3\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,h\left( y \right) = 3y + c\]Bu vektor maydoni uchun potentsial funktsiya quyidagicha bo'ladi:
\[f\left( {x,y,z} \right) = {y^2}{{\bf{e}}^{\,z}} - 2x{z^3} + {x^2}\cos \left( y \right) + 3y + c\]Shunday qilib, boshqalarga qaraganda biroz murakkabroq va biz javob olish uchun yana ko'p turli yo'llar bor.
Biz ushbu bo'limda bitta so'nggi misol bilan ishlashimiz kerak.
Yechim
Endi biz birinchi marta ko'rib chiqqanimizda muhokama qilgan usullardan foydalanishimiz mumkin vektor maydonlarining chiziqli integrallari ammo bu ayniqsa yoqimsiz yechim bo'ladi.
Buning o'rniga, yuqoridagi 2a-misoldan bilamizki, bu vektor maydoni konservativ va vektor maydoni uchun potentsial funktsiya:
\[f\left( {x,y} \right) = \frac{1}{2}{x^4}{y^4} + \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{y^2} + c\]Bundan foydalanib, biz integral yo'ldan mustaqil bo'lishi kerakligini bilamiz va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa avvalgi teoremadan foydalanishdir. bo'limi baholashni amalga oshirish uchun.
\[\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} = \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\,\vec r}} = f\left( {\vec r\left( 1 \right)} \right) - f\left( {\vec r\left( 0 \right)} \right)\]qayerda,
\[\vec r\left( 1 \right) = \left\langle { - 2,1} \right\rangle \hspace{0.5in}\vec r\left( 0 \right) = \left\langle { - 1,0} \right\rangle \]Demak, integral,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} & = f\left( { - 2,1} \right) - f\left( { - 1,0} \right)\\ & = \left( {\frac{{21}}{2} + c} \right) - \left( {\frac{1}{2} + c} \right)\\ & = 10\end{align*}\]