11.1-bo'lim: Asosiy tushunchalar
Ushbu bo'limni vektorlar nima uchun ishlatilishi haqidagi qisqacha kirish bilan boshlaymiz. Vektorlar bir vaqtning o'zida ham kattalikka (modulga), ham yo'nalishga ega bo'lgan miqdorlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Vektorlar yordamida ifodalash mumkin bo'lgan kattaliklarga kuch va tezlik eng yorqin misol bo'la oladi. Ularning har ikkalasi ham aniq yo'nalishga va kattalikka ega.
Misol uchun, kuchni tasavvur qilaylik. Ma'lum bir yo'nalishda ta'sir qiluvchi, aytaylik, \(5\) Nyutonlik kuch fazoning istalgan nuqtasida qo'llanilishi mumkin. Boshqacha aytganda, kuch qo'yilgan nuqtaning o'zi kuchning miqdori va yo'nalishini o'zgartirmaydi. Kuchlar qo'yilish nuqtasiga bog'liq emas. Kuchni aniq tasvirlash uchun uning kattaligi (moduli) va u qo'yilgan yo'nalishni bilish kifoyadir.
Aynan shu g'oya umumiy holda barcha vektorlarga tegishlidir. Vektorlar faqatgina kattalik va yo'nalish ma'lumotini tashiydi. Ular miqdor fazoning qayeriga qo'yilgani haqida hech qanday axborot bermaydi. Bu vektorlarni o'rganishda doimo esda tutish lozim bo'lgan eng muhim qoidalardan biridir.
Geometrik ma'noda vektorlar yo'naltirilgan to'g'ri chiziq kesmalari (strelkalar) ko'rinishida tasvirlanadi. Kesmaning uzunligi vektorning modulini, strelkaning yo'nalishi esa vektorning yo'nalishini bildiradi. Vektorlar qo'yilish nuqtasiga bog'liq bo'lmagani sababli, bir xil uzunlik va bir xil yo'nalishga ega bo'lgan har qanday yo'naltirilgan kesma bitta va ayni vektor ni ifodalaydi.
Quyidagi chizmaga e'tibor bering:
Chizmadagi har bir yo'naltirilgan kesma bitta vektorni ifodalaydi. Har bir holatda vektor boshlang'ich nuqtadan boshlanib, \(2\) birlik chapga va \(5\) birlik yuqoriga siljiydi. Biz ushbu vektor uchun quyidagi belgilashdan foydalanamiz:
\[\vec v = \left\langle { - 2,5} \right\rangle \]hamda chizmadagi har bir yo'naltirilgan kesma ushbu vektorning geometrik tasviri (yoki vakili) deb ataladi.
Vektor belgilanishi \(\left\langle { - 2,5} \right\rangle \) bilan fazodagi nuqta koordinatasi \(\left( { - 2,5} \right)\) o'rtasidagi farqni juda qat'iy ajrata bilishingiz kerak. Vektor kattalik va yo'nalishni bildiradi, nuqta esa fazodagi aniq manzilni (o'rnini) bildiradi. Shuning uchun bu belgilashlarni aslo aralashtirib yubormang!
Ikki o'lchamli fazoda \(\vec v = \left\langle {{a_1},{a_2}} \right\rangle \) vektorining tasviri — bu \(A = \left( {x,y} \right)\) nuqtadan \(B = \left( {x + {a_1},y + {a_2}} \right)\) nuqtaga yo'nalgan ixtiyoriy \(\overrightarrow {AB} \) yo'naltirilgan kesmasidir. Xuddi shuningdek, uch o'lchamli fazoda \(\vec v = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) vektorining tasviri — bu \(A = \left( {x,y,z} \right)\) nuqtadan \(B = \left( {x + {a_1},y + {a_2},z + {a_3}} \right)\) nuqtaga yo'nalgan \(\overrightarrow {AB} \) yo'naltirilgan kesmasidir.
Yuqoridagi ikki va uch o'lchamli formulalar orasidagi farq faqatgina uchinchi komponent (koordinata) bor-yo'qligidadir. Shuning uchun aksariyat umumiy formulalar uch o'lchamli ko'rinishda keltiriladi; ikki o'lchamli holat kerak bo'lganda uchinchi koordinatani shunchaki tushirib qoldirish kifoya.
Vektorlarning bir tasviri borki, u alohida ahamiyatga ega. \(\vec v = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) vektorining koordinata boshidan, ya'ni \(A = \left( {0,0,0} \right)\) nuqtadan boshlanib, \(B = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) nuqtada tugaydigan tasviri berilgan nuqtaning radius-vektori (yoki o'rnashish vektori) deb ataladi. Shunday qilib, radius-vektor haqida gapirganimizda, vektorning boshlang'ich nuqtasi koordinatalar boshi ekani va oxirgi nuqtasi fazodagi aynan shu nuqta ekani aniq belgilangan bo'ladi.
Nuqtani vektor orqali ifodalash talab qilinganda radius-vektorlar juda qulaydir. Oliy matematikada shunday mavzular borki, ularni faqat nuqtalarni vektor sifatida ifodalash orqali to'g'ri tushunish va hisoblash mumkin.
Endi berilgan boshlang'ich va oxirgi nuqtalar bo'yicha vektorni qanday tuzishni ko'rib chiqaylik. Agar bizga \(A = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) va \(B = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) nuqtalari berilgan bo'lsa, \(A\) dan \(B\) ga yo'nalgan \(\overrightarrow {AB} \) vektori quyidagicha topiladi:
\[\vec v = \left\langle {{b_1} - {a_1},{b_2} - {a_2},{b_3} - {a_3}} \right\rangle \]Bu yerda yo'nalishga juda ehtiyot bo'lish lozim. Yuqoridagi vektor \(A\) da boshlanib, \(B\) da tugaydi. \(B\) dan boshlanib, \(A\) da tugaydigan, ya'ni \(\overrightarrow {BA} \) vektori esa quyidagicha bo'ladi:
\[\vec w = \left\langle {{a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2},{a_3} - {b_3}} \right\rangle \]Bu ikki vektor mutlaqo har xil yo'nalishga ega. Ikki nuqta orasidagi vektorni aniqlashda doimo oxirgi nuqta koordinatalaridan boshlang'ich nuqta koordinatalari ayriladi.
- \(\left( {2, - 7,0} \right)\) nuqtadan \(\left( {1, - 3, - 5} \right)\) nuqtaga yo'nalgan vektor.
- \(\left( {1, - 3, - 5} \right)\) nuqtadan \(\left( {2, - 7,0} \right)\) nuqtaga yo'nalgan vektor.
- \(\left( { - 90,4} \right)\) nuqtaning radius-vektori.
a \(\left( {2, - 7,0} \right)\) nuqtadan \(\left( {1, - 3, - 5} \right)\) nuqtaga yo'nalgan vektor. Yechim
Vektorni tuzish uchun oxirgi nuqta koordinatalaridan boshlang'ich nuqta koordinatalarini ayiramiz:
\[\left\langle {1 - 2, - 3 - \left( { - 7} \right), - 5 - 0} \right\rangle = \left\langle { - 1,4, - 5} \right\rangle \]b \(\left( {1, - 3, - 5} \right)\) nuqtadan \(\left( {2, - 7,0} \right)\) nuqtaga yo'nalgan vektor. Yechim
Xuddi shu usulni qo'llaymiz:
\[\left\langle {2 - 1, - 7 - \left( { - 3} \right),0 - \left( { - 5} \right)} \right\rangle = \left\langle {1, - 4,5} \right\rangle \]E'tibor bering, dastlabki ikki vektor orasidagi yagona farq — barcha koordinatalarning ishorasi qarama-qarshiligidadir. Aynan shu ishoralar bu ikki vektorning qarama-qarshi yo'nalganligini bildiradi.
c \(\left( { - 90,4} \right)\) nuqtaning radius-vektori. Yechim
Nuqtaning radius-vektori koordinatalar boshidan boshlangani sababli, uning komponentlari bevosita shu nuqtaning koordinatalariga teng bo'ladi:
\[\left\langle { - 90,4} \right\rangle \]Endi tez-tez uchrab turadigan asosiy tushunchalarni ko'rib chiqamiz.
Vektorning uzunligi (Moduli)
\(\vec v = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) vektorining moduli (yoki uzunligi) quyidagi formula orqali hisoblanadi:
\[\left\| {\vec v} \right\| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]- \(\vec a = \left\langle {3, - 5,10} \right\rangle \)
- \(\displaystyle \vec u = \left\langle {\frac{1}{{\sqrt 5 }}, - \frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right\rangle \)
- \(\vec w = \left\langle {0,0} \right\rangle \)
- \(\vec i = \left\langle {1,0,0} \right\rangle \)
Yechim
Koordinatalarni to'g'ridan-to'g'ri formulaga qo'yib hisoblaymiz:
a \(\left\| {\vec a} \right\| = \sqrt {3^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt {9 + 25 + 100} = \sqrt {134} \)
b \(\displaystyle \left\| {\vec u} \right\| = \sqrt {\left(\frac{1}{\sqrt 5}\right)^2 + \left(-\frac{2}{\sqrt 5}\right)^2} = \sqrt {\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = \sqrt 1 = 1\)
c \(\left\| {\vec w} \right\| = \sqrt {0^2 + 0^2} = 0\)
d \(\left\| {\vec i} \right\| = \sqrt {1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt 1 = 1\)
Shuningdek, vektor moduli haqida quyidagi muhim xossa mavjud:
\[{\mbox{Agar }}\left\| {\vec a} \right\| = 0{\mbox{ bo'lsa, }}\vec a = \vec 0\]Bu mantiqan juda tushunarli. Har bir komponent kvadratga ko'tarilib qo'shilganligi sababli, ildiz ostidagi yig'indi faqat barcha komponentlar bir vaqtda nolga teng bo'lgandagina nol bo'lishi mumkin.
Birlik vektor
Uzunligi (moduli) \(1\) ga teng bo'lgan, ya'ni \(\left\| {\vec u} \right\| = 1\) shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy vektor birlik vektor deb ataladi.
Yechim
Ikkinchi (\(\vec u\)) va to'rtinchi (\(\vec i\)) vektorlarning uzunligi \(1\) ga teng chiqdi, shuning uchun faqat ular birlik vektorlardir.
Nol vektor
2-misolda uchratganimiz \(\vec w = \left\langle {0,0} \right\rangle \) vektori barcha komponentlari nolga teng bo'lgani sababli nol vektor deyiladi. Nol vektor odatda \(\vec 0\) belgisi bilan ifodalanadi. \(0\) soni bilan \(\vec 0\) vektorini adashtirmaslikka ehtiyot bo'ling. \(0\) soni fazodagi koordinatalar boshini yoki skalyar nolni bildirsa, \(\vec 0\) kattaligi nolga teng bo'lgan, aniq yo'nalishga ega bo'lmagan vektordir.
Standart bazis vektorlari
2-misoldagi to'rtinchi vektor, ya'ni \(\vec i = \left\langle {1,0,0} \right\rangle \) vektori standart bazis vektori deyiladi. Uch o'lchamli fazoda uchta standart bazis vektori mavjud:
\[\vec i = \left\langle {1,0,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec j = \left\langle {0,1,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec k = \left\langle {0,0,1} \right\rangle \]Ikki o'lchamli tekislikda esa ikkita standart bazis vektori mavjud:
\[\vec i = \left\langle {1,0} \right\rangle \hspace{0.25in}\vec j = \left\langle {0,1} \right\rangle \]E'tibor bering, barcha standart bazis vektorlarining uzunligi \(1\) ga teng, ya'ni ular bir vaqtning o'zida birlik vektorlar hamdir.