12.5-bo'lim: Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari

Ushbu bo'limda biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqidagi ba'zi asosiy g'oyalarni ko'rib chiqmoqchimiz.

Birinchidan, esda tutingki, ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari grafiklari, \(z = f\left( {x,y} \right)\) uch o'lchovli fazodagi yuzalardir. Misol uchun, bu erda \(z = 2{x^2} + 2{y^2} - 4\) ning grafigi.

Bu elliptik paraboloid bo'lib, a ga misoldir kvadrat sirt. Oldingida biz ulardan bir nechtasini ko'rdik. Biz to'rtburchak yuzalarni keyinchalik Calculus III da muntazam ravishda ko'ramiz.

Ushbu kursda biz ko'p ko'radigan yana bir keng tarqalgan grafik - bu samolyot grafigi. Bizda tekisliklarning grafikasini chizish bo'yicha konventsiya mavjud bo'lib, bu ularni grafik qilishni biroz osonlashtiradi va umid qilamanki, vizualizatsiya qiladi.

Eslatib o'tamiz, tekislik tenglamasi tomonidan beriladi

yoki agar biz buni \(z\) uchun hal qilsak, biz uni funktsiya belgilari bo'yicha yozishimiz mumkin. Bu beradi,

Tekislik grafigini chizish uchun biz odatda uchta o'q bilan kesishish nuqtalarini topamiz va keyin bu uch nuqtani bog'laydigan uchburchakning grafigini olamiz. Bu uchburchak samolyotning bir qismi bo'ladi va u bizga samolyotning o'zi qanday ko'rinishi haqida juda yaxshi fikr beradi. Masalan, berilgan tekislikning grafigini tuzamiz,

Buni grafik qilish uchun buni quyidagicha yozish osonroq bo'ladi:

Endi uchta asosiy koordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalarning har biri koordinatalarning ikkitasi nolga teng ekanligi bilan aniqlanadi. Masalan, \(z\) o'qi bilan kesishish \(x = y = 0\) tomonidan aniqlanadi. Shunday qilib, uchta kesishish nuqtasi,

Mana, samolyotning grafigi.

Endi, buni kengaytirish uchun, \(w = f\left( {x,y,z} \right)\) ko'rinishidagi funktsiyalar grafiklari to'rt o'lchovli yuzalar bo'ladi. Albatta, biz ularning grafikasini chiza olmaymiz, lekin buni ta'kidlash zarar qilmaydi.

Keyinchalik biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari sohalari haqida gapirmoqchimiz. Eslatib o'tamiz, \(y = f\left( x \right)\) bitta o'zgaruvchining funktsiyalari domenlari \(x\) ning barcha qiymatlaridan iborat bo'lib, biz ularni funktsiyaga ulab, haqiqiy raqamni qaytarib olamiz. Endi, bu haqda o‘ylab ko‘rsak, bu bitta o‘zgaruvchining funksiya sohasi raqamlar chizig‘idan yoki bir o‘lchovli fazodagi qiymatlar oralig‘i (yoki intervallari) ekanligini anglatadi.

Ikki oʻzgaruvchining funksiyalar sohasi, \(z = f\left( {x,y} \right)\), ikki oʻlchovli fazodagi hududlar boʻlib, barcha koordinata juftlaridan, \(\left( {x,y} \right)\) dan iborat boʻlib, biz funksiyaga ulab, haqiqiy sonni qaytarib olamiz.

1-misol Quyidagilarning har birining domenini aniqlang.

1. \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt {x + y} \)
2. \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt x + \sqrt y \)
3. \(f\left( {x,y} \right) = \ln \left( {9 - {x^2} - 9{y^2}} \right)\)

a \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt {x + y} \) Yechim

Bunday holda, biz manfiy sonning kvadrat ildizini ololmasligimizni bilamiz, shuning uchun biz talab qilishimiz kerakligini anglatadi:

\[x + y \ge 0\]

Mana bu hududning grafigining eskizi.

b \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt x + \sqrt y \) Yechim

Bu funksiya oldingi qismdagi funksiyadan farq qiladi. Bu erda biz buni talab qilishimiz kerak,

\[x \ge 0\hspace{0.25in}\text{va}\,\,\,\,\,y \ge 0\]

va ular haqiqatan ham alohida tengsizliklar bo'lishi kerak. Funktsiyada har bir kvadrat ildiz uchun bittadan mavjud. Mana bu hududning eskizi.

c \(f\left( {x,y} \right) = \ln \left( {9 - {x^2} - 9{y^2}} \right)\) Yechim

Ushbu yakuniy qismda biz manfiy son yoki nolning logarifmini qabul qila olmasligimizni bilamiz. Shuning uchun biz buni talab qilishimiz kerak,

\[9 - {x^2} - 9{y^2} > 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\frac{{{x^2}}}{9} + {y^2} < 1\]

va qayta tartiblashda biz bu funktsiya uchun ellipsning ichki qismida qolishimiz kerakligini ko'ramiz. Mana bu hududning eskizi.

E'tibor bering, uchta o'zgaruvchining funktsiyalari domenlari, \(w = f\left( {x,y,z} \right)\), uch o'lchovli fazoda mintaqalar bo'ladi.

Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan keyingi mavzu darajadagi egri chiziqlar or kontur egri chiziqlari. \(z = f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasining daraja egri chiziqlari ikki o'lchovli egri chiziqlar bo'lib, biz \(z = k\) o'rnatish orqali olamiz, bu erda \(k\) istalgan raqamdir. Demak, daraja egri chiziqlari tenglamalari \(f\left( {x,y} \right) = k\). E'tibor bering, ba'zida tenglama \(f\left( {x,y,z} \right) = 0\) ko'rinishida bo'ladi va bu hollarda darajadagi egri chiziqlar tenglamalari \(f\left( {x,y,k} \right) = 0\) bo'ladi.

Ehtimol, siz avvalroq darajadagi egri chiziqlarni (yoki kontur egri chiziqlarini, ularni nima deb nomlashni xohlasangiz) ko'rgansiz. Agar siz biron bir er uchastkasining balandlik xaritasini ko'rgan bo'lsangiz, bu o'sha hududdagi erning balandligini beruvchi funktsiya uchun kontur egri chizig'idan boshqa narsa emas. Albatta, bizda balandlikni beruvchi funktsiya yo'q, lekin biz hech bo'lmaganda kontur egri chizig'ini chizishimiz mumkin.

Keling, bunga tez misol keltiraylik.

3-misol \(f\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) ning darajadagi egri chiziqlarini aniqlang. Ulardan bir nechtasini chizing.

Yechim

Birinchidan, amaliyot uchun, keling, \(f\left( {x,y} \right)\) tomonidan berilgan bu sirt nima ekanligini aniqlaylik. Buni amalga oshirish uchun uni quyidagicha qayta yozamiz:

\[z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]

dan eslang Kvadrat yuzalar bo'lim, bu "konusning" yuqori qismi (yoki soat oynasi shaklidagi sirt).

E'tibor bering, bu muammo uchun bu talab qilinmagan. Bu sirtni aniqlash amaliyoti uchun qilingan va bu yo'lda foydali bo'lishi mumkin.

Endi haqiqiy muammoga o'tamiz. Ushbu sirt uchun daraja egri (yoki kontur egri) tenglama bilan berilgan \(z = k\) o'rniga topiladi. Bizning misolimizda bu,

\[k = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{x^2} + {y^2} = {k^2}\]

bu erda \(k\) istalgan raqam. Demak, bu holda sath egri chiziqlari \(k\) radiusli doiralar bo‘lib, markaz koordinata boshida joylashgan.

Biz ularni ikkita usuldan birida grafik qilishimiz mumkin. Biz ularni sirtning o'zida yoki ikki o'lchovli o'q tizimida grafik qilishimiz mumkin. Mana \(k\) ning ba'zi qiymatlari uchun har bir grafik.

E'tibor bering, biz konturlarni \(z = f\left( {x,y} \right)\) va \(z = k\) tekisligi tomonidan berilgan sirtning kesishishi nuqtai nazaridan tasavvur qilishimiz mumkin. Kontur sirt va tekislikning kesishishini ifodalaydi.

\(f\left( {x,y,z} \right)\) shaklidagi funktsiyalar uchun biz vaqti-vaqti bilan ko'rib chiqamiz tekis yuzalar. Darajali yuzalar tenglamalari \(f\left( {x,y,z} \right) = k\) tomonidan berilgan, bunda \(k\) istalgan raqam.

Ushbu bo'limdagi yakuniy mavzu - bu izlar. Qaysidir ma'noda ular konturlarga o'xshaydi. Yuqorida ta'kidlanganidek, konturlarni \(z = f\left( {x,y} \right)\) va \(z = k\) tekisligi tomonidan berilgan sirtning kesishishi deb tasavvur qilishimiz mumkin. Sirt izlari \(x = a\) yoki \(y = b\) tomonidan berilgan sirt va tekislikning kesishishini ifodalovchi egri chiziqlardir.

Keling, izlarning misolini tezda ko'rib chiqaylik.

4-misol \(x = 1\) va \(y = 2\) samolyotlari uchun \(f\left( {x,y} \right) = 10 - 4{x^2} - {y^2}\) izlarini chizing.

Yechim

Biz \(x = 1\) dan boshlaymiz. Biz \(x = 1\) ni tenglamaga ulab, iz uchun tenglamani olishimiz mumkin. Buni qilish,

\[z = f\left( {1,y} \right) = 10 - 4{\left( 1 \right)^2} - {y^2}\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,z = 6 - {y^2}\]

va bu \(x = 1\) tomonidan berilgan tekislikda grafiklashtiriladi.

Quyida ikkita grafik mavjud. Chapdagi grafik \(x = 1\) tomonidan berilgan sirt va tekislikning kesishishini ko'rsatadigan grafikdir. O'ng tomonda sirtning grafigi va bu qismda biz izlayotgan iz.

\(y = 2\) uchun biz birinchi qismda qilgan ishni deyarli bajaramiz. Mana iz tenglamasi,

\[z = f\left( {x,2} \right) = 10 - 4{x^2} - {\left( 2 \right)^2}\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,z = 6 - 4{x^2}\]

va bu ish uchun eskizlar.