3.12-bo'lim: Yuqori tartibli hosilalar
Keling, ushbu bo'limni quyidagi funktsiyadan boshlaylik.
\[f\left( x \right) = 5{x^3} - 3{x^2} + 10x - 5\]Shu nuqtaga kelib, biz ushbu funktsiyani hech qanday muammosiz farqlay olishimiz kerak. Buni bajarib, biz olamiz,
\[f'\left( x \right) = 15{x^2} - 6x + 10\]Endi bu funksiya va shuning uchun uni farqlash mumkin. Mana biz buning uchun ishlatadigan belgi, shuningdek hosila.
\[f''\left( x \right) = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^\prime } = 30x - 6\]Bu deyiladi ikkinchi hosila va \(f'\left( x \right)\) endi deb ataladi birinchi hosila.
Shunga qaramay, bu funksiya, shuning uchun biz uni yana farqlashimiz mumkin. Bu deb nomlanadi uchinchi hosila. Mana o'sha hosila va uchinchi hosilaning yozuvi.
\[f'''\left( x \right) = {\left( {f''\left( x \right)} \right)^\prime } = 30\]Davom etsak, biz yana farqlashimiz mumkin. Bu, g'alati darajada, deyiladi to'rtinchi hosila. Shu nuqtada biz belgini ham o'zgartiramiz. Biz asosiy sonlarni qo'shishda davom etishimiz mumkin, ammo bu birozdan keyin qiyin bo'ladi.
\[{f^{(4)}}\left( x \right) = {\left( {f'''\left( x \right)} \right)^\prime } = 0\]Bu jarayon davom etishi mumkin, ammo shuni e'tiborga olish kerakki, biz ushbu nuqtadan keyin barcha hosilalar uchun nolga erishamiz. Bu hosilalar to‘plami bizni ko‘phadlarni differentsiallash haqidagi quyidagi faktga olib keladi.
Fakt
Agar \(p\left( x \right)\) \(n\) darajali ko‘phad bo‘lsa (i.e. polinomdagi eng katta ko'rsatkich) keyin,
\[{p^{\left( k \right)}}\left( x \right) = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{for }}k \ge n + 1\]Biz hosilalar uchun "asosiy bo'lmagan" yozuvdan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Quyidagilarning har birini ko'rib chiqing.
\[\begin{align*}{f^{\left( 2 \right)}}\left( x \right) & = f''\left( x \right)\\ {f^2}\left( x \right) & = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\end{align*}\]Ko'rsatkichda qavs mavjudligi farqlanishni, qavsning yo'qligi esa darajani bildiradi.
Birgalikda ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, va hokazo. hosilalari deyiladi yuqori tartibli hosilalar.
Keling, yuqori tartibli hosilalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.
- \(R\left( t \right) = 3{t^2} + 8{t^{\frac{1}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\)
- \(y = \cos x\)
- \(f\left( y \right) = \sin \left( {3y} \right) + {{\bf{e}}^{ - 2y}} + \ln \left( {7y} \right)\)
a \(R\left( t \right) = 3{t^2} + 8{t^{\frac{1}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\) Yechim
Bu erda, albatta, lotinlardan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[\begin{align*}R'\left( t \right) & = 6t + 4{t^{ - \,\frac{1}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\\ R''\left( t \right) & = 6 - 2{t^{ - \,\frac{3}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\\ R'''\left( t \right) & = 3{t^{ - \,\frac{5}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\\ {R^{(4)}}\left( t \right) & = - \frac{{15}}{2}{t^{ - \,\frac{7}{2}}} + {{\bf{e}}^t}\end{align*}\]E'tibor bering, eksponensial funktsiyani farqlash juda oddiy. Har bir farqlash bilan u o'zgarmaydi.
b \(y = \cos x\) Yechim
Shunga qaramay, keling, ba'zi hosilalarni qilaylik.
\[\begin{align*}y & = \cos x\\ y' & = - \sin x\\ y'' & = - \cos x\\ y''' & = \sin x\\ {y^{\left( 4 \right)}} & = \cos x\end{align*}\]E'tibor bering, kosinus (va sinus) har to'rtta hosilani takrorlaydi. Boshqa to'rtta trig funktsiyasi bu xatti-harakatni ko'rsatmaydi. O'zingizni bunga ishontirish uchun bir nechta lotinlarni olishni xohlashingiz mumkin.
c \(f\left( y \right) = \sin \left( {3y} \right) + {{\bf{e}}^{ - 2y}} + \ln \left( {7y} \right)\) Yechim
Oldingi ikkita misolda biz eksponensial funksiyalar, kosinuslar va sinuslarni farqlashda ba'zi naqshlarni ko'rdik. Ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki ular faqat argumentda faqat \(t\) yoki \(x\) bo'lsa ishlaydi. Bu misolning mohiyati. Ushbu misolda biz har bir hosila uchun zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak.
\[\begin{align*}f'\left( y \right) & = 3\cos \left( {3y} \right) - 2{{\bf{e}}^{ - 2y}} + \frac{1}{y} = 3\cos \left( {3y} \right) - 2{{\bf{e}}^{ - 2y}} + {y^{ - 1}}\\ f''\left( y \right) & = - 9\sin \left( {3y} \right) + 4{{\bf{e}}^{ - 2y}} - {y^{ - 2}}\\ f'''\left( y \right) & = - 27\cos \left( {3y} \right) - 8{{\bf{e}}^{ - 2y}} + 2{y^{ - 3}}\\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( y \right) & = 81\sin \left( {3y} \right) + 16{{\bf{e}}^{ - 2y}} - 6{y^{ - 4}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz eksponensial funktsiyalar, sinuslar va kosinuslar uchun ko'rgan naqshlarni biroz murakkabroq dalillar bilan ko'rishimiz mumkin.
Keling, bir nechta fikrlarni ta'kidlash uchun yana bir nechta misol keltiraylik.
- \(Q\left( t \right) = \sec \left( {5t} \right)\)
- \(g\left( w \right) = {{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}}\)
- \(f\left( t \right) = \ln \left( {1 + {t^2}} \right)\)
a \(Q\left( t \right) = \sec \left( {5t} \right)\) Yechim
Mana birinchi hosila.
\[Q'\left( t \right) = 5\sec \left( {5t} \right)\tan \left( {5t} \right)\]E'tibor bering, ikkinchi hosila endi mahsulot qoidasini talab qiladi.
\[\begin{align*}Q''\left( t \right) & = 25\sec \left( {5t} \right)\tan \left( {5t} \right)\tan \left( {5t} \right) + 25\sec \left( {5t} \right){\sec ^2}\left( {5t} \right)\\ & = 25\sec \left( {5t} \right){\tan ^2}\left( {5t} \right) + 25{\sec ^3}\left( {5t} \right)\end{align*}\]E'tibor bering, har bir keyingi hosila mahsulot va/yoki zanjir qoidasini talab qiladi va yuqorida ta'kidlanganidek, bu to'rtta (yoki boshqa raqam) sinus va kosinus hosilalaridan keyin faqat sekantga qaytmaydi.
b \(g\left( w \right) = {{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}}\) Yechim
Shunga qaramay, birinchi hosiladan boshlaylik.
\[g'\left( w \right) = - 6{w^2}{{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}}\]Birinchi misolda bo'lgani kabi, bizga ikkinchi hosila uchun mahsulot qoidasi kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}g''\left( w \right) & = - 12w{{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}} - 6{w^2}\left( { - 6{w^2}} \right){{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}}\\ & = - 12w{{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}} + 36{w^4}{{\bf{e}}^{1 - 2{w^3}}}\end{align*}\]c \(f\left( t \right) = \ln \left( {1 + {t^2}} \right)\) Yechim
Xuddi shu narsa.
\[f'\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\]Bu safar ikkinchi hosila bo'lim qoidasini talab qiladi.
\[\begin{align*}f''\left( t \right) & = \frac{{2\left( {1 + {t^2}} \right) - \left( {2t} \right)\left( {2t} \right)}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{2 - 2{t^2}}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}\end{align*}\]Ushbu so'nggi misollar to'plamida ko'rganimizdek, birinchi hosila bu qoidalarni talab qilmasa ham, yuqori tartibli hosilalar uchun mahsulot yoki bo'lim qoidasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi.
Keling, yuqori tartibli hosilalarni topish uchun yashirin differentsiatsiyadan qanday foydalanishni ko'rsatadigan yana bir misolni ishlab chiqaylik.
Yechim
Xo'sh, biz bilamizki, ikkinchi hosila olish uchun bizga birinchi hosila kerak va uni olish uchun biz yashirin differentsiatsiya qilishimiz kerak. Mana buning uchun ish.
\[\begin{align*}2x + 4{y^3}y' & = 0\\ y' & = - \frac{x}{{2{y^3}}}\end{align*}\]Endi bu birinchi hosiladir. Buni farqlash orqali biz ikkinchi hosilani olamiz, bu esa yana yashirin farqlashni talab qiladi.
\[\begin{align*}y'' & = {\left( { - \frac{x}{{2{y^3}}}} \right)^\prime }\\ & = - \frac{{2{y^3} - x\left( {6{y^2}y'} \right)}}{{{{\left( {2{y^3}} \right)}^2}}}\\ & = - \frac{{2{y^3} - 6x{y^2}y'}}{{4{y^6}}}\\ & = - \frac{{y - 3xy'}}{{2{y^4}}}\end{align*}\]Bu juda yaxshi. Biroq, biz javobda hosila bo'lmasligini xohlaymiz. Biz, odatda, bilvosita farqlashda javobda \(x\) va/yoki \(y\) bo'lishini xohlamaymiz, lekin javobda hosilalarni yoqtirmaymiz. Biz birinchi hosila nima ekanligini bilishimizni tan olsak va uni ikkinchi hosila tenglamasiga almashtirsak, hosiladan xalos bo'lishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\begin{align*}y'' & = - \frac{{y - 3xy'}}{{2{y^4}}}\\ & = - \frac{{y - 3x\left( { - \frac{x}{{2{y^3}}}} \right)}}{{2{y^4}}}\\ & = - \frac{{y + \frac{3}{2}{x^2}{y^{ - 3}}}}{{2{y^4}}}\end{align*}\]Endi biz yuqori tartibli hosilalarni topdik, ehtimol ikkinchi hosilaning talqini haqida gapirishimiz kerak.
Agar ob'ektning pozitsiyasi \(s\left( t \right)\) tomonidan berilgan bo'lsa, biz tezlikni pozitsiyaning birinchi hosilasi ekanligini bilamiz.
\[v\left( t \right) = s'\left( t \right)\]Ob'ektning tezlanishi tezlikning birinchi hosilasidir, lekin bu pozitsiya funktsiyasining birinchi hosilasi bo'lgani uchun biz tezlanishni pozitsiya funktsiyasining ikkinchi hosilasi deb ham tasavvur qilishimiz mumkin.
\[a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\]Muqobil notation
Yuqori tartibli hosilalar uchun ham ba'zi muqobil belgilar mavjud. Eslatib o'tamiz, birinchi hosila uchun kasr belgisi mavjud edi.
\[f'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}}\]Biz buni yuqori darajadagi hosilalarga kengaytirishimiz mumkin.
\[f''\left( x \right) = \frac{{{d^2}f}}{{d{x^2}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'''\left( x \right) = \frac{{{d^3}f}}{{d{x^3}}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}etc.\]