1.2-bo'lim: Yo'nalishlar maydoni (direction fields)
Ushbu mavzuning alohida bo'lim sifatida ajratilishiga bir nechta jiddiy sabablar bor. Birinchidan, yo'nalishlar maydoni (geometrik yo'nalishlar to'ri) nima ekanligini va u differensial tenglama hamda uning yechimi haqida bizga qanday qimmatli ma'lumotlar berishini tushunish o'ta muhimdir. Eng qizig'i shundaki, bu mavzuni differensial tenglamalarni analitik yechish usullarini bilmasdan turib ham bemalol to'liq o'rganish mumkin. Demak, differensial tenglamaning tayyor analitik formulasiga ega bo'lmasdan turib, uning yechimining xatti-harakati haqida xulosa chiqara olish — har tomonlama o'rganishga arziydigan ajoyib g'oyadir.
Ikkinchidan, yo'nalishlar maydonini tushunish uchun bizga biror aniq differensial tenglama kerak bo'lgani sababli, bu bo'lim differensial tenglamalarning real hayotda qanday tabiiy ravishda vujudga kelishini (modellashtirishni) ko'rsatish uchun ajoyib imkoniyatdir. Tabiatda sodir bo'ladigan deyarli har qanday fizik jarayonni mos differensial tenglama orqali ifodalash mumkin. Mazkur differensial tenglamani tuzish vaziyatga va qilingan farazlarga qarab oson yoki ancha murakkab bo'lishi mumkin; hatto biz uni har doim ham analitik yecholmasligimiz mumkin, biroq u baribir mavjud bo'ladi.
Fizik yoki real hayotiy jarayonni differensial tenglama yordamida tavsiflash jarayoni matematik modellashtirish (modeling) deb ataladi. Biz ushbu kurs davomida modellashtirish masalalariga bir necha bor qaytamiz.
Tasavvur qilish mumkin bo'lgan eng sodda fizik jarayonlardan biri — bu jismning pastga erkin tushishidir. Keling, massasi \(m\) bo'lgan tushayotgan jismni qaraylik va ixtiyoriy \(t\) vaqt momentida jismning tezligini aniqlash imkonini beruvchi differensial tenglamani keltirib chiqaraylik. Faraz qilamizki, jism pastga tushayotganda unga faqat og'irlik kuchi (gravitatsiya) va havoning qarshilik kuchi ta'sir qiladi. Quyidagi rasmda jismga ta'sir etuvchi kuchlar ko'rsatilgan:
Ushbu masaladagi barcha kattaliklarni aniqlashdan oldin, yo'nalishlar bo'yicha kelishuvni qabul qilib olishimiz zarur. Biz pastga yo'nalgan kuchlarni musbat (\(+\)), yuqoriga yo'nalgan kuchlarni esa manfiy (\(-\)) deb hisoblaymiz. Shuningdek, pastga harakatlanayotgan jismning tezligini musbat deb qabul qilamiz.
Endi yuqoridagi chizmada ko'rsatilgan kuchlarni tahlil qilaylik. \({F_G}\) — bu og'irlik kuchi bo'lib, u \({F_G} = mg\) ga teng (bu yerda \(g\) — erkin tushish tezlanishi, \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\)). \({F_A}\) esa havoning qarshilik kuchi bo'lib, ushbu misolimizda uni jismning tezligi \(v\) ga to'g'ri proporsional deb olamiz. Binobarin, havo qarshilik kuchi \({F_A} = - \gamma v\) ko'rinishida yoziladi (bu yerda \(\gamma > 0\) — qarshilik koeffitsiyenti). E'tibor bering, kuch ifodasidagi "minus" ishorasi kuchning yo'nalishini to'g'ri ko'rsatish uchun shart: \(\gamma\) va \(v\) musbat bo'lib, kuch yuqoriga yo'nalgani uchun u manfiy bo'lishi kerak.
Oldingidan Nyutonning ikkinchi qonuni quyidagicha yozilishini eslaymiz:
\[m\frac{{dv}}{{dt}} = F\left( {t,v} \right)\]Bu yerda \(F(t,v)\) — jismga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning yig'indisidir. Bizning holatda jismga ikkita kuch ta'sir qilmoqda: pastga yo'nalgan og'irlik kuchi \({F_G} = mg\) (musbat) hamda yuqoriga yo'nalgan qarshilik kuchi \({F_A} = - \gamma v\) (manfiy). Bularni Nyutonning ikkinchi qonuniga qo'ysak:
\[m\frac{{dv}}{{dt}} = mg - \gamma v\]Differensial tenglamani soddaroq ko'rinishga keltirish uchun ikkala tomonni \(m\) massaga bo'lib yuboramiz:
\[\begin{equation}\frac{{dv}}{{dt}} = g - \frac{{\gamma v}}{m} \label{eq:eq1}\end{equation}\]Mana, biz og'irlik va havo qarshilik kuchi ta'sirida tushayotgan \(m\) massali jismning tezligi \(v\) ni ifodalovchi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga ega bo'ldik.
Yo'nalishlar maydonini aniqroq ko'rishimiz uchun ushbu tenglamadagi parametrlar o'rniga aniq sonli qiymatlarni olaylik. Faraz qilaylik, jism massasi \(m = 2 \text{ kg}\), qarshilik koeffitsiyenti \(\gamma = 0.392\) va \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) bo'lsin. Ushbu qiymatlarni \(\eqref{eq:eq1}\) tenglamaga qo'ysak, quyidagi differensial tenglama hosil bo'ladi:
\[\begin{equation}\frac{{dv}}{{dt}} = 9.8 - 0.196v \label{eq:eq2} \end{equation}\]Endi ushbu differensial tenglamaga geometrik nuqtai nazardan qaraylik. Aytaylik, qaysidir bir \(t\) vaqt momentida jismning tezligi tasodifan \(v = 30 \text{ m/s}\) bo'lib qoldi (biz tezlik albatta 30 m/s bo'ladi demoqchi emasmiz, shunchaki faraz qilyapmiz). Agar biror paytda tezlik \(v = 30\) m/s bo'lsa, \(\eqref{eq:eq2}\) tenglamaga \(v = 30\) ni qo'yib, hosilani hisoblaymiz:
\[\frac{{dv}}{{dt}} = 9.8 - 0.196(30) = 3.92\]Calculus I kursidan eslaymizki, hosilaning musbat bo'lishi funksiyaning (bu yerda tezlikning) o'suvchi ekanini anglatadi. Demak, agar ushbu jismning tezligi qachondir 30 m/s ga yetsa, aynan o'sha paytda tezlik o'sayotgan (ortayotgan) bo'ladi.
Shuningdek, yana bir muhim qoidani eslaylik: hosilaning muayyan nuqtadagi qiymati — funksiya grafigiga o'sha nuqtada o'tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini (qiyalik burchagi tangensini / slope) bildiradi! Demak, agar biror \(t\) vaqtda tezlik 30 m/s bo'lsa, tezlik grafigiga o'tkazilgan urinmaning qiyaligi \(3.92\) ga teng bo'ladi.
Biz shu tarzda \(v\) ning turli qiymatlarini olib, urinmalarning qiyaliklarini ketma-ket hisoblashimiz mumkin edi. Biroq keling, ishni yanada tizimliroq tashkil qilaylik: avval urinmasi gorizontal bo'ladigan (ya'ni hosilasi nolga teng bo'lgan) tezlik qiymatlarini topaylik. Buning uchun hosilani nolga tenglashtiramiz:
\[9.8 - 0.196v = 0 \implies v = \frac{9.8}{0.196} = 50 \text{ m/s}\]Bizning misolimizda gorizontal urinmaga ega yagona tezlik mavjud — bu \(v = 50 \text{ m/s}\) dir. Bu nimaniki bildiradi? Agar biror \(t\) vaqtda tezlik 50 m/s bo'lsa, o'sha nuqtadagi urinma qat'iy gorizontal bo'ladi. Koordinatalar tekisligida \(v = 50\) balandlikda \(t\) o'sib borishi yo'nalishi bo'yicha gorizontal strelkalar chizib olamiz:
Endi \(v\) ning boshqa qiymatlari uchun urinmalar qanday yo'nalishda bo'lishini aniqlaylik. Har bir nuqtada aniq qiyalikni hisoblab o'tirish shart emas, balki umumiy tendensiyani (urinmalar musbatmi yoki manfiy, qiyalik tiklanyaptimi yoki yotiqlashyaptimi) aniqlash kifoya.
Birinchidan, \(\eqref{eq:eq2}\) tenglamaning o'ng tomoni chiziqli ko'phad bo'lib, u uzluksizdir. Bu degani, hosila o'z ishorasini faqat nol orqali o'tgandagina o'zgartirishi mumkin! Demak, hosila faqat \(v = 50\) nuqtasida ishorasini o'zgartirishi ehtimoli bor. Binobarin, \(v > 50\) sohada barcha urinmalar bir xil ishoraga, \(v < 50\) sohada esa yana bir xil ishoraga ega bo'ladi.
Avval \(v < 50\) sohani tekshiraylik: masalan \(v = 30\) da hosila \(+3.92\) (musbat) ekanini ko'rdik. Demak, \(v < 50\) sohadagi barcha nuqtalarda hosila musbatdir (strelkalar yuqoriga qiya bo'ladi). Bundan tashqari, \(v\) qiymati 50 ga yaqinlashgan sari hosila nolga yaqinlashadi, ya'ni strelkalar yotiqroq bo'lib boradi; \(v\) dan pastga uzoqlashgan sari esa strelkalar tobora tikroq bo'lib boradi. Bu sohadagi strelkalarni chizsak:
Endi \(v > 50\) sohani qaraylik: sinov nuqtasi sifatida masalan \(v = 60\) ni olsak: \(\frac{dv}{dt} = 9.8 - 0.196(60) = -1.96 < 0\). Demak, \(v > 50\) bo'lganda hosila manfiydir! Urinmalar pastga yo'nalgan bo'ladi. \(v\) soni 50 ga yaqinlashgan sari urinmalar yana yotiqlashadi, 50 dan yuqoriga uzoqlashgan sari esa yanada tiklashadi. Yuqori qismga ham strelkalarni qo'shib chizamiz:
Mana shu hosil bo'lgan strelkalar to'ri differensial tenglamaning yo'nalishlar maydoni (direction field) deb ataladi.
Xo'sh, yo'nalishlar maydoni bizga nima beradi? Nega u shunchalik muhim? Yo'nalishlar maydoni yordamida ikkita juda qimmatli xulosaga ega bo'lamiz:
- Yechimlarning grafigini chizish (eskiz qilish): Yo'nalishlar maydonidagi har bir strelka — bu aslida differensial tenglama yechimining grafigiga o'tkazilgan urinma vektoridir! Binobarin, ushbu strelkalarga ergashib, ularga parallel ravishda silliq chiziqlar o'tkazish orqali yechimlarning grafiklarini osongina chiza olamiz.
- Yechimning uzoq muddatli xatti-harakati (asemptotikasi): Ko'p hollarda bizni tenglamaning murakkab analitik formulasi emas, balki vaqt \(t \to \infty\) da yechim o'zini qanday tutishi (qayerga intilishi) qiziqtiradi. Yo'nalishlar maydoni aynan mana shu uzoq muddatli tendensiyani yaqqol ko'rsatib beradi.
Masalan, faraz qilaylik, biz boshlang'ich tezligi \(v(0) = 30 \text{ m/s}\) bo'lgan yechim grafigini bilmoqchimiz. Vertikal o'qda 30 nuqtasidan boshlaymiz. Strelkalar bo'yicha harakatlansak, chiziq o'sib boradi va \(v = 50\) chizig'iga yaqinlashgan sari yotiqlashadi:
Yechimlarning umumiy oilasi qanday ko'rinishga ega bo'lishini to'liq ko'rish uchun turli boshlang'ich nuqtalardan chiquvchi bir nechta egri chiziqlarni chizib chiqamiz. Ushbu egri chiziqlar to'plami integral egri chiziqlar oilasi (integral curves) deyiladi:
Ushbu chizmadan ko'rinib turibdiki, vaqt \(t \to \infty\) da jism qanday boshlang'ich tezlik bilan harakatlanishidan qat'i nazar, uning tezligi muqarrar ravishda \(v = 50 \text{ m/s}\) ga intiladi! Fizikada bu tezlik chegaraviy tezlik (terminal velocity) deb ataladi: havo qarshiligi va og'irlik kuchi tenglashganda jism o'zgarmas tezlik bilan tushishda davom etadi.
Endi ancha murakkabroq bo'lgan quyidagi misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu differensial tenglama avvalgi tushayotgan jism misoliga qaraganda birmuncha murakkabroq ko'rinadi. Biroq uni tahlil qilish tartibi xuddi yuqoridagi kabi sodda va mantiqiydir. Birinchi qadam — hosila nolga teng bo'ladigan nuqtalarni topish:
\[\begin{align*}0 & = \left( {{y^2} - y - 2} \right){\left( {1 - y} \right)^2}\\ 0 & = \left( {y - 2} \right)\left( {y + 1} \right){\left( {1 - y} \right)^2}\end{align*}\]Demak, hosila nolga teng bo'ladigan uchta qiymat mavjud: \(y = -1\), \(y = 1\) va \(y = 2\). Bu nuqtalarda urinmalar gorizontal bo'ladi. Dastlab shu uchta chiziq bo'ylab gorizontal strelkalarni joylashtiramiz:
Ushbu uchta gorizontal chiziq tekislikni to'rtta oraliqqa (zonaga) ajratadi. Har bir zonada sinov nuqtasini olib, hosilaning ishorasini tekshiramiz:
1) \(y < -1\) sohasi:
Sinov nuqtasi sifatida \(y = -2\) ni olsak: \(y' = ((-2)^2 - (-2) - 2)(1 - (-2))^2 = (4)(9) = 36 > 0\). Demak, bu sohada hosila musbat va juda katta tiklikka ega. \(y \to -1\) ga yaqinlashgan sari urinmalar yotiqlashadi:
2) \(-1 < y < 1\) sohasi:
Sinov nuqtasi sifatida \(y = 0\) ni olsak: \(y' = (-2)(1)^2 = -2 < 0\). Demak, bu sohada urinmalar manfiy qiyalikda bo'ladi. \(y \to 1\) da va \(y \to -1\) da hosila nolga yaqinlashgani sababli, oraliqning o'rtasida qiyalik kattaroq bo'lib, chetlariga yaqinlashganda yana gorizontallashadi:
3) \(1 < y < 2\) sohasi:
Sinov nuqtasi sifatida \(y = 1.5\) ni olsak: \(y' = ((1.5)^2 - 1.5 - 2)(1 - 1.5)^2 = (-1.25)(0.25) = -0.3125 < 0\). Bu sohada ham hosila manfiydir! E'tibor bering: \(y = 1\) chizig'idan o'tganda hosila ishorasini o'zgartirmadi (chunki \((1-y)^2\) juft daraja edi). Bu yerda ham strelkalar pastga yo'nalgan bo'ladi:
4) \(y > 2\) sohasi:
Sinov nuqtasi sifatida \(y = 3\) ni olsak: \(y' = (9 - 3 - 2)(1 - 3)^2 = (4)(4) = 16 > 0\). Hosila musbat va yuqoriga yo'nalgan. Mana, to'liq yo'nalishlar maydoni hosil bo'ldi:
Endi ushbu maydonga mos keluvchi integral egri chiziqlar oilasini chizamiz:
Nihoyat, \(t \to \infty\) da yechimlarning o'zini tutishini tahlil qilaylik. Avvalgi misoldan farqli o'laroq, bu yerda cheksizlikdagi harakat boshlang'ich \(y(0)\) qiymatiga juda kuchli bog'liqdir:
| \(y(0)\) ning qiymati | \(t \to \infty\) dagi harakati |
|---|---|
| \(y(0) < 1\) | \(y(t) \to -1\) |
| \(1 \le y(0) < 2\) | \(y(t) \to 1\) |
| \(y(0) = 2\) | \(y(t) = 2\) (o'zgarmas yechim) |
| \(y(0) > 2\) | \(y(t) \to \infty\) |
Gorizontal to'g'ri chiziqli yechimlarni (\(y=-1, 1, 2\)) unutmaslik juda muhim. Ular odatda talabalar tomonidan eng ko'p e'tibordan chetda qoladigan qismdir.
Hozirgacha ko'rib chiqqan har ikkala misolimizda ham hosilaning o'ng tomoni faqat \(y\) ga bog'liq bo'lib, unda erkli o'zgaruvchi \(t\) yoki \(x\) qatnashmagan edi (bunday tenglamalar avtonom tenglamalar deyiladi). Agar differensial tenglamaning o'ng tomonida ham funksiya, ham erkli o'zgaruvchi qatnashsa, yo'nalishlar maydoni ancha murakkablashadi va uni qo'lda chizish mushkul bo'lib qoladi. Bunday hollarda kompyuter dasturlaridan foydalanish eng to'g'ri yo'ldir.
Biroq ayrim qulay hollarda ularni qo'lda ham chizish mumkin. Buning uchun izoklinalar usuli qo'llaniladi. Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:
Yechim
Bunday ko'rinishdagi differensial tenglamalar uchun yo'nalishlar maydonini yasashda birinchi navbatda hosila o'zgarmas qiymatga ega bo'ladigan chiziqlarni topamiz. Buning uchun tenglamadagi hosilani ixtiyoriy o'zgarmas \(c\) songa tenglashtiramiz: \(y' = c\). Bu bizga izoklinalar (isoclines — "bir xil qiyalik chiziqlari") deb ataluvchi egri chiziqlar oilasini beradi:
\[c = y - x \implies y = x + c\]Ko'rib turganimizdek, bu misolda barcha izoklinalar \(45^\circ\) burchak ostida o'tuvchi parallel to'g'ri chiziqlardir. Quyidagi rasmda \(c\) ning turli qiymatlariga mos izoklinalar tasvirlangan:
Ushbu chiziqlarning har birida hosila aynan \(c\) ga teng o'zgarmas qiyalikka ega bo'ladi! Masalan, \(c = 0\) izoklinasida (\(y = x\)) hosila doimo nolga teng, demak uning ustidagi barcha strelkalar gorizontaldir. \(c = 1\) izoklinasida qiyalik 1 ga teng, \(c = -2\) izoklinasida qiyalik -2 ga teng va hokazo:
Izoklinalar orasidagi sohalarga ham strelkalarni to'ldirish uchun, masalan \(c = 0\) dan \(c = 1\) ga qarab yurganda qiyalikni 0 dan 1 ga qadar silliq oshirib boramiz:
Endi ushbu maydon bo'yicha integral egri chiziqlarni chizib olamiz:
E'tibor bering: \((-1, 0)\) va \((0, 1)\) nuqtalardan o'tuvchi \(y = x + 1\) to'g'ri chizig'i tenglamaning xususiy yechimi hisoblanadi (chunki uning hosilasi \(y' = 1\) va \(y - x = (x+1) - x = 1\)). Ushbu chiziqdan yuqoridagi yechimlar yuqoriga qarab o'sib ketadi, undan pastdagi yechimlar esa dastlab biroz pasayib, keyin keskin pastga qarab kamayib boradi.