3.1-bo'lim: Grafikalash
Ushbu bo'limda biz grafikadagi ba'zi asosiy g'oyalarni ko'rib chiqishimiz kerak. Taxminlarga ko'ra, siz ushbu nuqtaga qadar ba'zi grafiklarni ko'rgansiz va shuning uchun biz bu erda chuqurroq kirmoqchi emasmiz. Biz faqat ba'zi asosiy fikrlarni ko'rib chiqamiz.
Biz to'rtburchaklar yoki kartezian koordinatalar tizimidan boshlaymiz. Bu faqat grafiklarimizni chizishda foydalanadigan standart o'q tizimi. Mana bir necha nuqtadan iborat Dekart koordinatalari tizimi.
Gorizontal va vertikal o'qlar odatda deyiladi \(x\) o'qi va \(y\) o'qi mos ravishda, yuqorida ko'rsatilganidek, koordinatalar tizimini kvadrantlarga ajrating. Har bir kvadrantda \(x\) va \(y\) uchun quyidagi belgilar mavjud.
| Kvadrant I | \(x > 0\) yoki \(x\) ijobiy | \(y > 0\) yoki \(y\) ijobiy |
| II kvadrant | \(x < 0\) yoki \(x\) salbiy | \(y > 0\) yoki \(y\) ijobiy |
| III kvadrant | \(x < 0\) yoki \(x\) salbiy | \(y < 0\) yoki \(y\) salbiy |
| IV kvadrant | \(x > 0\) yoki \(x\) ijobiy | \(y < 0\) yoki \(y\) salbiy |
Koordinatalar tizimidagi har bir nuqta a bilan belgilanadi buyurtma qilingan juftlik \(\left( {x,y} \right)\) shaklida. Ro'yxatdagi birinchi raqam - bu \(x\)-koordinata nuqta va sanab o'tilgan ikkinchi raqam \(y\)-koordinata nuqtadan. Har qanday berilgan nuqta uchun tartiblangan juftlik \(\left( {x,y} \right)\) deyiladi koordinatalar nuqta uchun.
Ikki o'qning kesishgan nuqtasi deyiladi kelib chiqishi va \(\left( {0,0} \right)\) koordinatalariga ega.
Shuni ham yodda tutingki, koordinatalar tartibi muhim. Misol uchun, \(\left( {2,1} \right)\) nuqtasi koordinatadan ikki birlik o'ngda va keyin 1 birlik yuqorida joylashgan nuqta, \(\left( {1,2} \right)\) nuqta esa koordinatadan 1 birlik o'ngda va keyin 2 birlik yuqorida joylashgan nuqtadir.
Endi biz tenglamaning grafigini muhokama qilishimiz kerak. Biz so'rashimiz kerak bo'lgan birinchi savol - bu tenglamaning grafigi nima? Grafik - bu koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan barcha tartiblangan juftliklar to'plami.
Masalan, \(\left( {2, - 3} \right)\) nuqtasi \(y = {\left( {x - 1} \right)^2} - 4\) grafigidagi nuqta, \(\left( {1,5} \right)\) esa grafikda emas. Buni qanday aytamiz? Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa nuqtaning koordinatalarini olish va tenglamani qanoatlantirayotganini bilish uchun ularni tenglamaga ulashdir. Keling, yuqoridagi da'volarni tekshirish uchun ikkalasi uchun ham shunday qilaylik.
\(\left( {2, - 3} \right)\):Bunday holda bizda \(x = 2\) va \(y = - 3\) bor, shuning uchun ulanganda,
\[\begin{align*} - 3 & \mathop = \limits^? {\left( {2 - 1} \right)^2} - 4\\ - 3 & \mathop = \limits^? {\left( 1 \right)^2} - 4\\ - 3 & = - 3\hspace{0.25in}{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, bu nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi va shuning uchun u grafikdagi nuqtadir.
\(\left( {1,5} \right)\):Bu erda bizda \(x = 1\) va \(y = 5\) mavjud. Bularni ulash, beradi,
\[\begin{align*}5 & \mathop = \limits^? {\left( {1 - 1} \right)^2} - 4\\ 5 & \mathop = \limits^? {\left( 0 \right)^2} - 4\\ 5 & \ne - 4\hspace{0.25in}{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Bu nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirmaydi, shuning uchun bu nuqta grafikda emas.
Endi tenglamaning grafigini qanday chizamiz? Albatta, buning javobi siz boshlash uchun tenglama haqida qanchalik bilishingizga bog'liq. Masalan, agar siz tenglama chiziq yoki aylana ekanligini bilsangiz, bu holatlarda grafikni aniqlashning oddiy usullari mavjud. Bundan tashqari, ko'plab boshqa turdagi tenglamalar mavjud bo'lib, biz odatda tenglamadan grafikni ko'p mehnat qilmasdan olishimiz mumkin. Bularning ko'pini keyingi bobda ko'ramiz.
Biroq, deylik, biz tenglama nima ekanligini yoki grafikni tezda chizish usullarini oldindan bilmaymiz. Bunday hollarda, grafik oddiygina tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar ekanligini esga olishimiz kerak. Shunday qilib, biz qila oladigan narsa nuqtalarni chizishdir. Biz \(x\) qiymatlarini tanlaymiz, tenglamadan \(y\) ni hisoblaymiz va keyin bu ikki qiymat tomonidan berilgan tartiblangan juftlikni chizamiz.
\(x\) ning qaysi qiymatlarini tanlashni qanday aniqlashimiz mumkin? Afsuski, javobni biz taxmin qilamiz. Biz ba'zi qiymatlarni tanlaymiz va grafik uchun nimani olishimizni ko'ramiz. Agar bizda juda yaxshi eskiz bordek tuyulsa, biz to'xtatamiz. Agar yo'q bo'lsa, biz ko'proq tanlaymiz. Tanlash uchun \(x\) qiymatlarini bilish haqiqatan ham biz faqat tajriba va tenglama grafigi qanday bo'lishini bilishimiz mumkin bo'lgan narsadir. ehtimol o'xshaydi. Umid qilamanki, ushbu kurs oxirida siz ushbu bilimlarning bir qismini qo'lga kiritasiz.
Keling, grafikni tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Endi, bu parabola va keyingi bobdan so'ng siz ko'p harakat qilmasdan tezda grafikni tuzishingiz mumkin bo'ladi. Biroq, biz hali bu qadar uzoqqa bormadik va shuning uchun biz \(x\) ning ba'zi qiymatlarini tanlashimiz, ularni ulashimiz va \(y\) qiymatlarini hisoblashimiz kerak.
Yuqorida aytib o'tilganidek, \(x\) qiymatlarini tanlashda ushbu grafik qanday ko'rinishi mumkinligi haqida tasavvurga ega bo'lishga yordam beradi. Shunday ekan, nega biz qilgan qadriyatlarni tanlaganimizdan xavotir olmang. Keyingi bobdan so'ng siz \(x\) ning ushbu qiymatlarini ham tanlashingiz mumkin bo'ladi.
Mana bu tenglama uchun qiymatlar jadvali.
| \(x\) | \(y\) | \(\left( {x,y} \right)\) |
|---|---|---|
| -2 | 5 | \(\left( { - 2,5} \right)\) |
| -1 | 0 | \(\left( { - 1,0} \right)\) |
| 0 | -3 | \(\left( {0, - 3} \right)\) |
| 1 | -4 | \(\left( {1, - 4} \right)\) |
| 2 | -3 | \(\left( {2, - 3} \right)\) |
| 3 | 0 | \(\left( {3,0} \right)\) |
| 4 | 5 | \(\left( {4,5} \right)\) |
Birinchisini tekshiramiz, qolganini tekshirishni sizga qoldiramiz. Birinchisi uchun biz oddiygina \(x = - 2\) ni tenglamaga ulaymiz va \(y\) ni hisoblaymiz.
\[\begin{align*}y & = {\left( { - 2 - 1} \right)^2} - 4\\ & = {\left( { - 3} \right)^2} - 4\\ & = 9 - 4\\ & = 5\end{align*}\]Mana bu tenglamaning grafigi.
E'tibor bering, biz ushbu misolda eksa tizimini o'rnatganimizda, biz faqat kerakli darajada o'rnatamiz. Misol uchun, biz hisob-kitoblarimiz bilan -2 dan o'tmaganimiz sababli, o'q tizimimizdan ko'p o'tmaganmiz.
Bundan tashqari, har bir o'qda biz boshqa o'lchovdan foydalanganimizga e'tibor bering. Gorizontal o'q bilan biz 1 ga, vertikal o'qda esa 2 ga oshiramiz. Bu ko'pincha eskizni osonlashtirish uchun amalga oshiriladi.
Ushbu bo'limda biz muhokama qilmoqchi bo'lgan yakuniy mavzu - bu tutib oladi. Yuqoridagi misoldagi grafik \(x\) o'qini ikki joyda va \(y\) o'qini bir joyda kesib o'tganiga e'tibor bering. Ushbu uchta nuqtaning barchasi kesishmalar deb ataladi. Biroq, biz aniqroq bo'lishimiz mumkin va tez-tez bo'lamiz.
Biz ko'pincha kesishma \(x\) yoki \(y\) o'qlarini kesib o'tishini bilishni xohlaymiz. Shunday qilib, agar kesma \(x\) o'qini kesib o'tsa, biz uni a deb ataymiz \(x\)-kesish. Xuddi shunday, agar kesishma \(y\) o'qini kesib o'tsa, biz uni a deb ataymiz \(y\)-kesish.
Endi, \(x\)-kesishmasi \(x\)-oʻqini kesib oʻtganligi sababli, \(x\)-kesishma(lar)ning \(y\) koordinatalari nolga teng boʻladi. Shuningdek, \(y\) kesmasining \(x\) koordinatasi nolga teng bo'ladi, chunki bu nuqtalar \(y\) o'qini kesib o'tadi. Bu faktlar bizga tenglama uchun kesmalarni aniqlash usulini beradi. Tenglama uchun \(x\)-kesishmalarini topish uchun biz faqat \(y = 0\) o'rnatishimiz va \(x\) ni hal qilishimiz kerak. Xuddi shunday, topish uchun Tenglama uchun \(y\)-kesishmalar, biz shunchaki \(x = 0\) o'rnatishimiz va \(y\) uchun hal qilishimiz kerak.
Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.
- \(y = {x^2} + x - 6\)
- \(y = {x^2} + 2\)
- \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\)
Munozarani ko'rsatish
Ularning har biri uchun tekshirish sifatida biz har bir funktsiyaning grafigini ham chizamiz. Biz tekshirish uchun eskiz tafsilotlarini sizga qoldiramiz. Bundan tashqari, bularning barchasi parabolalar va yuqorida aytib o'tilganidek, biz ularni keyingi bobda batafsil ko'rib chiqamiz.
a \(y = {x^2} + x - 6\) Yechim
Keling, avval \(y\)-kesishma(lar)ni topamiz. Shunga qaramay, biz buni \(x = 0\) ni o'rnatish va \(y\) ni hal qilish orqali qilamiz. Bu, odatda, ikkalasidan ham osonroqdir. Shunday qilib, keling, \(y\)-kesishma(lar)ni topamiz.
\[y = {\left( 0 \right)^2} + 0 - 6 = - 6\]Shunday qilib, bitta \(y\) kesishuvi mavjud: \(\left( {0, - 6} \right)\).
\(x\)-kesishma(lar) uchun ish deyarli bir xil, faqat bu holda biz \(y = 0\) ni o'rnatamiz va \(x\) ni hal qilamiz. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}0 & = {x^2} + x - 6\\ 0 & = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 3,\,\,\,x = 2\end{align*}\]Bu tenglama uchun ikkita \(x\) kesishuvi mavjud: \(\left( { - 3,0} \right)\) va \(\left( {2,0} \right)\). Oh, va siz qanday hal qilishni eslaysiz kvadrat tenglamalar to'g'rimi?
Tasdiqlash uchun bu erda ushbu tenglama uchun grafikning eskizi keltirilgan.
b \(y = {x^2} + 2\) Yechim
Birinchidan, \(y\)-kesish.
\[y = {\left( 0 \right)^2} + 2 = 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {0,2} \right)\]Shunday qilib, bizda bitta \(y\) kesishuvi mavjud. Endi, \(x\)-kesishuv(lar).
\[\begin{align*}0 & = {x^2} + 2\\ - 2 & = {x^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt 2 \,i\end{align*}\]OK, biz bu tenglamadan murakkab yechimlarni oldik. Buning ma'nosi shundaki, bizda \(x\)-kesishmalar bo'lmaydi. E'tibor bering, bu sodir bo'lishi juda maqbuldir, shuning uchun bu sodir bo'lganda tashvishlanmang.
Mana bu tenglamaning grafigi.
Albatta, u \(x\) o'qini kesib o'tmaydi.
c \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}\) Yechim
Mana bu tenglama uchun \(y\)-kesish ishi.
\[y = {\left( {0 + 1} \right)^2} = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {0,1} \right)\]Endi \(x\)-intercept ishlaydi.
\[0 = {\left( {x + 1} \right)^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( { - 1,0} \right)\]Bunday holda bizda bitta \(x\)-kesishma mavjud.
Mana bu tenglamaning grafigining eskizi.
Endi e'tibor bering, bu holda grafik aslida \(x = - 1\) da \(x\) o'qini kesib o'tmaydi. Biroq, bu nuqta hali ham \(x\) kesishishi deb ataladi.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin biz yakuniy fikr bildirishimiz kerak. Oldingi misollar to'plamida barcha tenglamalar kvadrat tenglamalar edi. Bu faqat ular biz izlayotgan xulq-atvorni namoyish qilgani uchun amalga oshirildi va biz ham ishni qila olamiz. Kesishlarni muhokama qilishdan ular faqat kvadrat tenglamalar uchun sodir bo'ladi degan fikrdan uzoqlashmasligingiz kerak. Ular turli xil tenglamalar uchun sodir bo'lishi mumkin va sodir bo'ladi.