10.13-bo'lim: Seriyaning qiymatini baholash
Endi biz ketma-ketlikning yaqinlashuvini aniqlash uchun juda ko'p bo'limlarni o'tkazdik, ammo geometrik va teleskopik qatorlar bundan mustasno, biz ketma-ketlikning qiymatini topish haqida gapirmadik. Bu, odatda, juda qiyin ish va biz hali ham seriyaning qiymatini qanday topish haqida gaplashmoqchi emasmiz. Biz nima qilsak, seriyaning qiymatini qanday baholash haqida gaplashamiz. Ko'pincha bu siz bilishingiz kerak bo'lgan narsadir.
Bir qatorning qiymatini qanday baholashni bilishdan oldin, ketma-ket konvergentsiya qanday ishlashini o'zimizga eslatib o'tamiz. Bir-biriga yaqinlashmaydigan seriyaning qiymati haqida gapirishning ma'nosi yo'q va shuning uchun biz ishlayotgan seriyalar birlashadi deb taxmin qilamiz. Bundan tashqari, biz ko'rib turganimizdek, seriyalar qiymatini baholashning asosiy usuli ushbu muhokamadan chiqadi.
Shunday qilib, keling, \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) seriyasidan boshlaylik (boshlanish nuqtasi muhim emas, lekin ishni bajarish uchun bizga boshlang'ich nuqta kerak) va keling, seriya \(s\) ga yaqinlashadi deb faraz qilaylik. Eslatib o'tamiz, bu shuni anglatadiki, agar biz qisman summalarni olsak,
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \]keyin ular konvergent ketma-ketlikni hosil qiladi va uning chegarasi \(s\). Boshqacha aytganda,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = s\]Endi bu biz uchun nimani anglatadi? Xo'sh, bu chegara yaqinlashadi, demak, biz \(n\) ni etarlicha katta qilib, qisman yig'indilarni, \({s_n}\) ni biz xohlagancha \(s\) ga yaqinlashtirishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, agar biz \(n\) ni etarlicha katta olsak, shuni aytishimiz mumkin:
\[{s_n} \approx s\]Bu ketma-ketlik qiymatini baholash usullaridan biridir. Biz faqat qisman yig'indini olishimiz va undan seriya qiymatini baholash uchun foydalanishimiz mumkin. Endi bu haqda so'rashimiz kerak bo'lgan ikkita savol bor.
Birinchidan, baholash qanchalik yaxshi? Agar bizda baholash qanchalik yaxshi ekanligi haqida tasavvurga ega bo'lmasak, u biz uchun baho sifatida unchalik ko'p narsani qilmaydi.
Ikkinchidan, smetani yaxshiroq qilishning biron bir usuli bormi? Ba'zan biz buni boshlang'ich nuqtasi sifatida ishlatishimiz va baholashni yaxshilashimiz mumkin. Biz buni har doim ham qila olmaymiz, lekin agar qila olsak, bu yaxshi bo'ladi.
Shunday qilib, keling, baholash qanchalik yaxshi ekanligini aniqlash haqida umumiy muhokamadan boshlaylik. Keling, birinchi navbatda to'liq seriyadan boshlaylik va birinchi \(n\) shartlarini chiqarib tashlaylik.
\[\begin{equation}\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} + \sum\limits_{i = n + 1}^\infty {{a_i}} \label{eq:eq1}\end{equation}\]Esda tutingki, biz yozuvni oldingi belgilarga mos kelishi uchun \(i\) indeksiga aylantirdik. Eslatib o'tamiz, indeks uchun har qanday harfdan foydalanishimiz mumkin va u qiymatni o'zgartirmaydi.
Endi e'tibor bering, birinchi seriya (biz o'chirib tashlagan \(n\) atamalari) \({s_n}\) qisman yig'indisidan boshqa narsa emas. O'ngdagi ikkinchi qator (\(i = n + 1\) dan boshlanadigan) qoldiq deb ataladi va \({R_n}\) bilan belgilanadi. Nihoyat, keling, seriyaning qiymatini ham bilishimizni tan olaylik, chunki biz uni konvergent deb hisoblaymiz. Ushbu belgini hisobga olgan holda biz \(\eqref{eq:eq1}\) ni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
\[s = {s_n} + {R_n}\]Qolganini olish uchun buni hal qilishimiz mumkin,
\[{R_n} = s - {s_n}\]Shunday qilib, qolgan qismi bizga seriyaning aniq qiymati va biz seriya qiymatini baholash uchun foydalanayotgan qisman yig'indining qiymati o'rtasidagi farqni yoki xatoni aytadi.
Albatta, biz seriyaning haqiqiy qiymatiga ega bo'lmaganimiz uchun qolganlarning haqiqiy qiymatiga qo'l ololmaydi. Biroq, agar biz seriya haqida ba'zi taxminlar qilsak, qolgan qismini juda yaxshi baholash uchun konvergentsiya uchun olgan ba'zi testlardan foydalanishimiz mumkin. Qolgan qiymatni baholaganimizdan so'ng, biz qisman summa seriyaning haqiqiy qiymatini baholashda qanchalik yaxshi ish qilishi haqida fikrga ega bo'lamiz.
Qolganlarni baholashga imkon beradigan bir nechta testlar mavjud. Biz har birini alohida ko'rib chiqamiz.
Bundan tashqari, testlardan foydalanganda ularning ko'pchiligi foydalanish uchun old shartlarga ega edi (i.e. shartlar ijobiy bo'lishi, muddatlar kamayishi kerak edi va hokazo.) va testlardan foydalanganda biz shuni ta'kidladikki, biz haqiqatan ham test ishlashi uchun ular oxir-oqibat old shartlarga javob berishi kerak edi. Biroq, keyingi ish uchun biz ketma-ket barcha shartlar uchun doimo bajarilishi kerak bo'lgan old shartlarga muhtojmiz.
Agar boshida shartlar bajarilmagan bir nechta shartlar mavjud bo'lsa, biz ushbu shartlarni olib tashlashimiz kerak, qolgan seriyalar bo'yicha hisob-kitoblarni bajaring va seriya qiymatining yakuniy bahosini olish uchun biz olib tashlagan shartlarni qo'shing.
Integral test
Eslatib o'tamiz, bu holda biz ketma-ket atamalarning barchasi ijobiy va barcha \(n\) uchun kamayib borayotgan deb taxmin qilishimiz kerak bo'ladi. Biz ketma-ketlikni \(f\left( n \right) = {a_n}\) bo'lgan \(f\left( x \right)\) egri chizig'i ostidagi maydonni baholash sifatida ko'rish mumkinligidan foydalanib, biz integral testni oldik. Qolganlari bilan shunga o'xshash narsani qilishimiz mumkin.
Qolgan qiymatning yuqori va pastki chegaralarini olishimiz mumkinligini tez orada ko'ramiz, biz ushbu chegaralardan seriya qiymatining yuqori va pastki chegaralarini olishga yordam berish uchun foydalanishimiz mumkin. Biz, o'z navbatida, seriya qiymatini haqiqiy baholash uchun seriya qiymatining yuqori va pastki chegaralaridan foydalanishimiz mumkin.
Shunday qilib, avval qolgan qismini eslaylik,
\[{R_n} = \sum\limits_{i = n + 1}^\infty {{a_i}} = {a_{n + 1}} + {a_{n + 2}} + {a_{n + 3}} + {a_{n + 4}} + \cdots \]Endi, agar biz \(x = n + 1\) dan boshlasak, kengligi 1 bo'lgan to'rtburchaklar olib, to'rtburchakning balandligi sifatida chap uchi nuqtadan foydalansak, quyidagi eskizda ko'rsatilganidek, \(\left[ {n + 1,\infty } \right)\) oralig'ida \(f\left( x \right)\) ostidagi maydonni taxmin qilishimiz mumkin.
Ko'ramizki, qolgan \({R_n}\) maydonni baholashdir va u aniq maydonni oshirib yuboradi. Shunday qilib, bizda quyidagi tengsizlik mavjud.
\[\begin{equation}{R_n} \ge \int_{{\,n + 1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\label{eq:eq2}\end{equation}\]Keyinchalik, biz \(x = n\) dan boshlab, yana 1 kenglikdagi to'rtburchaklarni olib, so'ngra to'rtburchakning balandligi sifatida o'ng nuqtadan foydalanib, maydonni taxmin qilishimiz mumkin. Bu \(\left[ {n,\infty } \right)\) oralig'ida \(f\left( x \right)\) ostidagi maydonni baholash imkonini beradi. Bu quyidagi eskizda ko'rsatilgan.
Yana shuni ko'ramizki, qolgan \({R_n}\) yana shu bahodir va bu holda u maydonni kam baholaydi. Bu quyidagi tengsizlikka olib keladi,
\[\begin{equation}{R_n} \le \int_{{\,n}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\label{eq:eq3}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq2}\) va \(\eqref{eq:eq3}\) ni birlashtirish,
\[\int_{{\,n + 1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} \le {R_n} \le \int_{{\,n}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Demak, agar biz ushbu integrallarni bajara olsak, qolgan qismida ham yuqori, ham pastki chegarani olishimiz mumkin. Bu, o'z navbatida, qisman yig'indi, \({s_n}\), seriyaning haqiqiy qiymatini baholashda qanchalik yaxshi ekanligi haqida bizga yuqori chegara va pastki chegarani beradi.
Bunday holda biz ushbu natijalardan seriyaning haqiqiy qiymatini ham yaxshiroq baholash uchun foydalanishimiz mumkin.
Birinchidan, biz bundan boshlaymiz
\[s = {s_n} + {R_n}\]Endi, agar biz \(\eqref{eq:eq2}\) dan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:
\[s = {s_n} + {R_n} \ge {s_n} + \int_{{\,n + 1}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Xuddi shunday, agar biz \(\eqref{eq:eq3}\) dan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz:
\[s = {s_n} + {R_n} \le {s_n} + \int_{{\,n}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Bu ikkalasini birlashtirish bizga beradi,
Integral test bilan seriyalarni baholash
Bu qatorning haqiqiy qiymatida yuqori va pastki chegarani beradi. Keyin biz yuqori va pastki chegaraning o'rtacha qiymatini seriyaning haqiqiy qiymatini baholash uchun ishlatishimiz mumkin.
Keling, bu bilan bir misol ishlaylik.
Yechim
Birinchidan, taqqoslash uchun biz ushbu seriyaning haqiqiy qiymati ma'lum ekanligini ta'kidlaymiz,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} = 1.644934068\]\(n = 15\) dan foydalanib, avval qisman summani olamiz.
\[{s_{15}} = \sum\limits_{i = 1}^{15} {\frac{1}{{{i^2}}}} = 1.580440283\]E'tibor bering, bu qaysidir ma'noda haqiqiy qiymatga "yaqin", lekin unchalik ham yaqin emas.
Endi integrallarni hisoblaylik. Bular juda oddiy integrallar, shuning uchun qiymatlarni tekshirishni sizga qoldiramiz.
\[\int_{{\,15}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = \frac{1}{{15}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\int_{{\,16}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = \frac{1}{{16}}\]Bularni \(\eqref{eq:eq4}\) ga ulash bizga,
\[\begin{align*}1.580440283 + \frac{1}{{16}} \le & s \le 1.580440283 + \frac{1}{{15}}\\ 1.642940283 \le & s \le 1.647106950\end{align*}\]Yuqori va pastki chegara haqiqiy qiymatga juda yaqin va agar biz ikkalasining o'rtacha qiymatini olsak, biz haqiqiy qiymatning quyidagi taxminini olamiz.
\[s \approx 1.6450236165\]Bu haqiqiy qiymatga juda yaqin.
Shunday qilib, biz ketma-ketlik qiymatini baholash uchun Integral testdan foydalanishimiz mumkin. Keling, keyingi testga o'tamiz.
Taqqoslash testi
Bunday holda, integral testdan farqli o'laroq, biz ma'lum bir qisman yig'indining seriyaning aniq qiymatini baholash uchun qanchalik yaxshi bo'lishi haqida tasavvurga ega bo'lishimiz yoki bo'lmasligimiz mumkin. Bularning aksariyati taqqoslash testidan qanday foydalanishga bog'liq bo'ladi.
Birinchidan, taqqoslash testi qanday ishlashini eslatib o'tamiz. \(\sum {{a_n}} \) seriyasini hisobga olsak, uning konvergent ekanligini ko'rsatish uchun taqqoslash testidan foydalandik deb faraz qilaylik. Shuning uchun biz barcha \(n\) uchun birlashtirilgan \(\sum {{b_n}} \) va \({a_n} \le {b_n}\) ikkinchi seriyasini topdik. Shuni ham yodda tutingki, barcha \(n\) uchun ijobiy bo'lishi uchun bizga \({a_n}\) va \({b_n}\) kerak.
Biz qilmoqchi bo'lgan narsa, qisman summaning qanchalik yaxshi ish ekanligini aniqlash,
\[{s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \]\(\sum {{a_n}} \) seriyasining haqiqiy qiymatini baholashda yordam beradi. Shunga qaramay, qolgan qismini buning uchun ishlatamiz. Keling, ikkala seriya uchun qolganini yozamiz.
\[{R_n} = \sum\limits_{i = n + 1}^\infty {{a_i}} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{T_n} = \sum\limits_{i = n + 1}^\infty {{b_i}} \]Endi, \({a_n} \le {b_n}\) dan beri biz buni ham bilamiz
\[{R_n} \le {T_n}\]Taqqoslash testidan foydalanganda ko'pincha \({b_n}\) juda yaxshi atamalar va biz \({T_n}\) o'lchami haqida tasavvurga ega bo'lishimiz mumkin. Misol uchun, agar bizning ikkinchi seriyamiz \(p\) seriyali bo'lsa, biz \({T_n}\) da yuqori chegarani olish uchun yuqoridagi natijalardan quyidagicha foydalanishimiz mumkin,
Taqqoslash testi bilan seriyalarni baholash
Bundan tashqari, agar ikkinchi qator geometrik qator bo'lsa, biz \({T_n}\) ni aniq hisoblashimiz mumkin.
Agar biz \({T_n}\) o'lchami haqida tasavvurga ega bo'lmasak, taxminlarni aniqlashda yordam berish uchun taqqoslash testidan foydalanish bizga katta foyda keltirmaydi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Buni amalga oshirish uchun biz birinchi navbatda taqqoslash testidan o'tishimiz kerak, shunda biz ikkinchi seriyani olamiz. Shunday qilib,
\[\frac{{{2^n}}}{{{4^n} + 1}} \le \frac{{{2^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\]va
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \]geometrik qator va yaqinlashadi, chunki \(\left| r \right| = \frac{1}{2} < 1\).
Endi biz ikkinchi seriyamizni oldik, keling, taxminni olamiz.
\[{s_{15}} = \sum\limits_{n = 0}^{15} {\frac{{{2^n}}}{{{4^n} + 1}}} = 1.383062486\]Xo'sh, bu qanchalik yaxshi? Xo'sh, biz buni bilamiz,
\[{R_{15}} \le {T_{15}} = \sum\limits_{n = 16}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \]haqiqiy qiymat va taxmin o'rtasidagi xato uchun yuqori chegara bo'ladi. Bizning ikkinchi qatorimiz geometrik qator bo'lgani uchun biz buni to'g'ridan-to'g'ri quyidagicha hisoblashimiz mumkin.
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} = \sum\limits_{n = 0}^{15} {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} + \sum\limits_{n = 16}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \]Chapdagi seriya standart shaklda va shuning uchun biz buni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashimiz mumkin. O'ngdagi birinchi qator chekli sonli atamalarga ega va shuning uchun uni aniq hisoblash mumkin va o'ngdagi ikkinchi qator biz uchun qiymatga ega bo'lishni xohlaydi. Ishni bajarish beradi,
\[\begin{align*}\sum\limits_{n = 16}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} - \sum\limits_{n = 0}^{15} {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \\ & = \frac{1}{{1 - \left( {\frac{1}{2}} \right)}} - 1.999969482\\ & = 0.000030518\end{align*}\]Shunday qilib, agar biz foydalansak, bunga ko'ra
\[s \approx 1.383062486\]haqiqiy qiymatni taxmin qilish uchun biz aniq qiymatdan \(0.000030518\) dan ko'p bo'lmagan miqdorda o'chiramiz va bu juda yomon emas.
Bunday holda buni ko'rsatish mumkin
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}}}{{{4^n} + 1}}} = 1.383093004\]va shuning uchun biz taxminimizdagi haqiqiy xato ekanligini ko'rishimiz mumkin,
\[{\mbox{Error}} = {\mbox{Actual}} - {\mbox{Estimate}} = 1.383093004 - 1.383062486 = 0.000030518\]E'tibor bering, bu holda xatoning taxminiy qiymati haqiqiy xatoga juda yaqin (va aslida aynan bir xil). Bu har doim ham sodir bo'lmaydi va shuning uchun biz hamma hollarda bunday bo'lishini kutmasligimiz kerak. Yuqoridagi xato taxmini oddiygina xatoning yuqori chegarasi va haqiqiy xato ko'pincha bu qiymatdan kamroq bo'ladi.
Ushbu bo'limning yakuniy qismiga o'tishdan oldin yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, agar biz ikkinchi muddatning qolgan qismini osongina o'z qo'limizga olsak, taqqoslash testidan foydalangan holda baho qanchalik yaxshi ekanligini aniqlashimiz mumkin. Haqiqat shundaki, biz buni har doim ham qila olmaymiz.
Muqobil seriyali test
Biz hozirgacha ko'rib chiqqan ikkala usul ham turkumda faqat ijobiy atamalarni o'z ichiga olishini talab qildi. Agar seriyalarda salbiy atamalarga ega bo'lishiga yo'l qo'ysak, jarayon odatda qiyinroq bo'ladi. Biroq, bu juda yomon bo'lmagan bitta holat bor. Bu muqobil seriyaning holati.
Yana bir bor biz \(\sum {{a_n} = \sum {{{\left( { - 1} \right)}^n}{b_n}} } \) konvergent seriyasidan boshlaymiz, bu holda bu holda o'zgaruvchan seriyalar testining shartlarini qondiradigan o'zgaruvchan seriya bo'ladi, shuning uchun biz \({b_n} \ge 0\) va barcha \(n\) uchun kamayib borayotganini bilamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz "-1" da har qanday quvvatga ega bo'lishimiz mumkin, biz qulaylik uchun faqat \(n\) dan foydalandik. Biz \({s_n}\) qisman yig‘indisining haqiqiy qator qiymatini baholash qanchalik yaxshi bo‘lishini bilmoqchimiz. Oldingi holatlarda bo'lgani kabi, biz bilamizki, qolgan \({R_n}\) baholashda xato bo'ladi va agar biz buni olamiz Buni ko'rib chiqing, biz taxmin qanchalik yaxshi ekanligini bilib olamiz.
dan dalil Muqobil seriyali testdan biz \(s\) har qanday \(n\) uchun \({s_n}\) va \({s_{n + 1}}\) o'rtasida joylashganligini ko'rishimiz mumkin.
\[\left| {s - {s_n}} \right| \le \left| {{s_{n + 1}} - {s_n}} \right| = {b_{n + 1}}\]Shuning uchun,
Muqobil seriyalar testi bilan seriyalarni baholash
Bizga mutlaq qiymat chiziqlari kerak edi, chunki biz taxmin haqiqiy qiymatdan kattaroq yoki kichikroq ekanligini oldindan bilmaymiz va \({b_n}\) ijobiy ekanligini bilamiz.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu muqobil ketma-ketlik va u yaqinlashadi. Bunday holda, aniq qiymat ma'lum va shuning uchun taqqoslash uchun,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} = - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} = - 0.8224670336\]Endi taxmin,
\[{s_{15}} = \sum\limits_{n = 1}^{15} {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} = - 0.8245417574\]Buni yuqoridagi faktdan bilamiz
\[\left| {{R_{15}}} \right| = \left| {s - {s_{15}}} \right| \le {b_{16}} = \frac{1}{{{{16}^2}}} = 0.00390625\]Shunday qilib, bizning taxminimiz 0,00390625 dan oshmaydigan xatolikka ega bo'ladi. Bunday holda, aniq qiymat ma'lum va shuning uchun haqiqiy xato,
\[\left| {{R_{15}}} \right| = \left| {s - {s_{15}}} \right| = 0.0020747238\]Oldingi misolda baholashda taxmin qilingan xatoning faqat yarmi bor edi. Ko'pincha haqiqiy xato taxmin qilingan xatodan kamroq bo'ladi. Bu haqiqiy xato uchun faqat yuqori chegara ekanligini unutmang.
Nisbat sinovi
Bu biz ketma-ket qiymatlarni baholashda ko'rib chiqadigan oxirgi holat bo'ladi va biz ishni bajarish uchun ketma-ketlik shartlariga bir nechta juda qattiq cheklovlar qo'yishimiz kerak. Biz kiritmoqchi bo'lgan asosiy cheklovlardan biri, testdan foydalanish uchun zarur bo'lmasa ham, seriya shartlari ijobiy deb taxmin qilishdir. Yana bir cheklovni birozdan keyin qo'shamiz.
Bu holda biz \(\sum {{a_n}} \) konvergent ekanligini ko'rsatish uchun nisbat testidan foydalandik. Buning uchun biz hisob-kitob qildik
\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]va \(L < 1\) ekanligini aniqladi.
Oldingi holatlarda bo'lgani kabi, biz \({s_n}\) qisman summasining haqiqiy qiymatini baholash qanchalik yaxshi ekanligini aniqlash uchun qolgan \({R_n}\) dan foydalanamiz.
Nisbat testi bilan seriyalarni baholash
Qolgan miqdorni hisoblash uchun avval quyidagi ketma-ketlikni aniqlaymiz:
\[{r_n} = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\]Hozir bizda ikkita mumkin bo'lgan holat bor.
- Agar \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) kamayuvchi ketma-ketlik va \({r_{n + 1}} < 1\) bo'lsa, \[{R_n} \le \frac{{{a_{n + 1}}}}{{1 - {r_{n + 1}}}}\]
- Agar \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) ortib borayotgan ketma-ketlik bo'lsa, u holda, \[{R_n} \le \frac{{{a_{n + 1}}}}{{1 - L}}\]
Isbot
Ikkala qismga ham quyidagi ishlar kerak bo'ladi, shuning uchun biz buni birinchi navbatda qilamiz. Qolganidan boshlaymiz.
\[\begin{align*}{R_n} = \sum\limits_{i = n + 1}^\infty {{a_i}} & = {a_{n + 1}} + {a_{n + 2}} + {a_{n + 3}} + {a_{n + 4}} + \cdots \\ & = {a_{n + 1}}\left( {1 + \frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}} + \frac{{{a_{n + 3}}}}{{{a_{n + 1}}}} + \frac{{{a_{n + 4}}}}{{{a_{n + 1}}}} + \cdots } \right)\end{align*}\]Keyinchalik, biz ushbu shartlarning bir nechtasi bo'yicha ozgina ish qilishimiz kerak.
\[\begin{align*}{R_n} & = {a_{n + 1}}\left( {1 + \frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}} + \frac{{{a_{n + 3}}}}{{{a_{n + 1}}}}\frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 2}}}} + \frac{{{a_{n + 4}}}}{{{a_{n + 1}}}}\frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 2}}}}\frac{{{a_{n + 3}}}}{{{a_{n + 3}}}} + \cdots } \right)\\ & = {a_{n + 1}}\left( {1 + \frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}} + \frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}}\frac{{{a_{n + 3}}}}{{{a_{n + 2}}}} + \frac{{{a_{n + 2}}}}{{{a_{n + 1}}}}\frac{{{a_{n + 3}}}}{{{a_{n + 2}}}}\frac{{{a_{n + 4}}}}{{{a_{n + 3}}}} + \cdots } \right)\end{align*}\]Endi buni yozish uchun \({r_n}\) ta'rifidan foydalaning:
\[{R_n} = {a_{n + 1}}\left( {1 + {r_{n + 1}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}}{r_{n + 3}} + \cdots } \right)\]Mayli, endi isbot qilaylik.
Birinchi qism uchun biz \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) pasaymoqda deb taxmin qilamiz va shuning uchun qolgan qismini quyidagicha taxmin qilishimiz mumkin:
\[\begin{align*}{R_n} & = {a_{n + 1}}\left( {1 + {r_{n + 1}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}}{r_{n + 3}} + \cdots } \right)\\ & \le {a_{n + 1}}\left( {1 + {r_{n + 1}} + r_{n + 1}^2 + r_{n + 1}^3 + \cdots } \right)\\ & = {a_{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {r_{n + 1}^k} \end{align*}\]Nihoyat, bu yerda ketma-ket geometrik qator va \({r_{n + 1}} < 1\) tufayli biz uning yaqinlashishini bilamiz va uning qiymatini hisoblashimiz mumkin. Shunday qilib,
\[{R_n} \le \frac{{{a_{n + 1}}}}{{1 - {r_{n + 1}}}}\]Ikkinchi qism uchun biz \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) ortib bormoqda deb taxmin qilamiz va biz buni bilamiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{r_n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = L\]va shuning uchun biz barcha \(n\) uchun \({r_n} < L\) ekanligini bilamiz. Qolgan miqdorni quyidagicha hisoblash mumkin:
\[\begin{align*}{R_n} & = {a_{n + 1}}\left( {1 + {r_{n + 1}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}} + {r_{n + 1}}{r_{n + 2}}{r_{n + 3}} + \cdots } \right)\\ & \le {a_{n + 1}}\left( {1 + L + {L^2} + {L^3} + \cdots } \right)\\ & = {a_{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{L^k}} \end{align*}\]Bu geometrik qator va biz asl seriyamiz yaqinlashadi deb faraz qilganimiz uchun biz \(L < 1\) va shuning uchun yuqoridagi geometrik qator yaqinlashishini bilamiz va biz uning qiymatini hisoblashimiz mumkin. Shunday qilib,
\[{R_n} \le \frac{{{a_{n + 1}}}}{{1 - L}}\]Ushbu formulalardan foydalanish uchun \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) ketma-ketligi va uning shartlaridan kamida bittasi bo'yicha ba'zi cheklovlar mavjudligini unutmang. Agar cheklovlar bajarilmasa, formulalardan foydalanib bo'lmaydi.
Keling, buning bir misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, bu konvergent qator ekanligini tekshirish uchun nisbat testidan foydalanamiz.
\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}\,\,\frac{{{3^n}}}{n}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{3n}} = \frac{1}{3} < 1\]Demak, u konvergent hisoblanadi. Endi taxminni olamiz.
\[{s_{15}} = \sum\limits_{n = 0}^{15} {\frac{n}{{{3^n}}}} = 0.7499994250\]Qolgan qiymatni va shuning uchun xatoni aniqlash uchun avval \(\left\{ {{r_{n}}} \right\}\) ketma-ketligini olaylik.
\[{r_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}\,\,\frac{{{3^n}}}{n} = \frac{{n + 1}}{{3n}} = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\]Oxirgi qayta yozish faqat hisob-kitoblarning bir qismini biroz soddalashtirish edi. Endi e'tibor bering,
\[f\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = - \frac{1}{{3{x^2}}} < 0\]Bu funktsiya har doim kamayib borayotgani va \(f\left( n \right) = {r_n}\) bu ketma-ketlik kamayib borayotganligi sababli. Shuni ham yodda tutingki, \({r_{16}} = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{16}}} \right) < 1\). Shuning uchun biz yuqoridagi faktdan birinchi holatdan foydalanishimiz mumkin:
\[{R_{15}} \le \frac{{{a_{16}}}}{{1 - {r_{16}}}} = \frac{{\frac{{16}}{{{3^{16}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{16}}} \right)}} = 0.0000005755187\]Shunday qilib, bizning taxminimiz juda yaxshi ko'rinadi. Bunday holda, aniq qiymat ma'lum.
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{n}{{{3^n}}}} = \frac{3}{4}\]va shuning uchun biz haqiqiy xatoni hisoblashimiz mumkin.
\[\left| {{R_{15}}} \right| = \left| {s - {s_{15}}} \right| = 0.000000575\]Bu yuqori chegaradan kamroq, lekin oldingi misoldan farqli o'laroq, bu haqiqiy xato yuqori chegaraga juda yaqin.
Oxirgi ikkita misolda biz xatoning yuqori chegarasi hisob-kitoblari ba'zan haqiqiy xatoga juda yaqin bo'lishi va boshqa paytlarda ular biroz o'chirilishi mumkinligini ko'rdik. Odatda qaysi biri bo'lishini oldindan bilishning hech qanday usuli yo'q va aniq qiymatsiz uning qaysi biri bo'lishini aniqlashning hech qanday usuli bo'lmaydi.
E'tibor bering, bu usul ketma-ket atamalarning ijobiy bo'lishini talab qiladi, ammo bu, agar ular salbiy atamalarga ega bo'lsa, biz nisbat test qatorlari bilan ishlay olmaymiz degani emas. Ko'pincha biz nisbat testidan foydalangan seriyalar ham o'zgaruvchan seriyalardir va shuning uchun agar shunday bo'lsa, biz konvergentsiyani ko'rsatish uchun o'zgaruvchan seriya testidan foydalanmagan bo'lsak ham, baholashdagi xatoning yuqori chegarasini olish uchun har doim oldingi materialga murojaat qilishimiz mumkin.
Ammo shuni yodda tutingki, agar seriyada salbiy shartlar bo'lsa, lekin ketma-ket ketma-ket bo'lmasa, biz xatoning yuqori chegarasini olish uchun ushbu bo'limda muhokama qilingan usullardan foydalana olmaymiz.