5.6-bo'lim: Aniq integralning ta'rifi
Ushbu bo'limda biz aniq integralni rasmiy ravishda aniqlaymiz va aniq integrallarning ko'pgina xususiyatlarini beramiz. Keling, aniq integralning ta'rifidan boshlaylik.
Aniq integralning ta'rifi
\(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida uzluksiz bo'lgan \(f\left( x \right)\) funksiyasi berilgan bo'lsa, biz intervalni teng kenglikdagi \(n\) kichik intervallarga bo'lamiz \(\Delta x\) va har bir oraliqdan \(x_i^*\) nuqtani tanlaymiz. Keyin ning aniq integrali \(f\left( x \right)\) \(a\) dan \(b\) gacha is
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \]Aniq integral funksiya va \(x\) o'qi orasidagi aniq maydonni topish uchun oxirgi bo'limda ko'rib chiqqan chegara va yig'indi sifatida aniqlanadi. Shuni ham yodda tutingki, aniq integralning yozuvi noaniq integralning yozuviga juda o'xshaydi. Buning sababi oxir-oqibat aniq bo'ladi.
Bu erda biz yo'ldan chiqib ketishimiz kerak bo'lgan bir oz terminologiya ham bor. Integral belgisining pastki qismida joylashgan “\(a\)” raqami deyiladi pastki chegara integral belgisi va integral belgisi tepasidagi “\(b\)” raqami deyiladi. yuqori chegara integralning. Bundan tashqari, \(a\) va \(b\) interval sifatida berilganiga qaramay, pastki chegara yuqori chegaradan kichik bo'lishi shart emas. Birgalikda biz tez-tez \(a\) va \(b\) deb nomlaymiz integratsiya oralig'i.
Tez misol bilan ishlaylik. Ushbu misolda qisqacha sharhdan olingan ko'plab xususiyatlar va faktlardan foydalaniladi yig'ish yozuvi Qo'shimchalar bo'limida.
Yechim
Birinchidan, agar biz \(x_i^*\) uchun har bir oraliqda qaysi nuqtalar yaxshi ishlatilishini aniqlamasak, ta'rifdan foydalana olmaymiz. Hayotimizni osonlashtirish uchun biz har bir intervalning to'g'ri yakuniy nuqtalaridan foydalanamiz.
Oldingidan ma'lumki, umumiy \(n\) uchun har bir subintervalning kengligi,
\[\Delta x = \frac{{2 - 0}}{n} = \frac{2}{n}\]Keyin subintervallar,
\[\left[ {0,\frac{2}{n}} \right]\,,\,\,\,\left[ {\frac{2}{n},\frac{4}{n}} \right],\,\,\,\left[ {\frac{4}{n},\frac{6}{n}} \right],\,\, \ldots \,\,,\,\,\left[ {\frac{{2\left( {i - 1} \right)}}{n},\frac{{2i}}{n}} \right],\,\, \ldots \,\,,\,\,\left[ {\frac{{2\left( {n - 1} \right)}}{n},2} \right]\]Ko'rib turganimizdek, ning to'g'ri so'nggi nuqtasi ith subinterval hisoblanadi
\[x_i^* = \frac{{2i}}{n}\]Aniq integralning ta'rifidagi yig'indi shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} & = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {\frac{{2i}}{n}} \right)\left( {\frac{2}{n}} \right)} \\ & = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{\left( {\frac{{2i}}{n}} \right)}^2} + 1} \right)\left( {\frac{2}{n}} \right)} \\ & = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{8{i^2}}}{{{n^3}}} + \frac{2}{n}} \right)} \end{align*}\]Endi biz buning chegarasini olishimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, biz ushbu yig'indini "baholashimiz" kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz quyidagi formulalardan foydalanishimiz kerak yig'ish yozuvi haqiqiy yig'indini yo'q qilish uchun ko'rib chiqing va umumiy \(n\) uchun formulani oling.
Buni amalga oshirish uchun biz \(n\) yig'indisi yozuviga nisbatan doimiy ekanligini tan olishimiz kerak. Yig‘indida 1 dan \(n\) gacha bo‘lgan butun sonlar bo‘ylab aylansak, faqat \(i\) o‘zgaradi, shuning uchun \(i\) bo‘lmagan har qanday narsa doimiy bo‘ladi va yig‘indidan chiqarib tashlanishi mumkin. Xususan, agar kerak bo'lsa, yig'indidagi har qanday \(n\) ni hisobga olish mumkin.
Bu erda "baholash" yig'indisi.
\[\begin{align*}\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} & = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{8{i^2}}}{{{n^3}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{2}{n}} \\ & = \frac{8}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n 2 \\ & = \frac{8}{{{n^3}}}\left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}} \right) + \frac{1}{n}\left( {2n} \right)\\ & = \frac{{4\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2}}} + 2\\ & = \frac{{14{n^2} + 12n + 4}}{{3{n^2}}}\end{align*}\]Endi biz aniq integralni hisoblashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{14{n^2} + 12n + 4}}{{3{n^2}}}\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]Biz ushbu muammoda cheklov bilan shug'ullanishning bir necha usullarini ko'rdik, shuning uchun natijalarni tekshirishni sizga qoldiramiz.
Voy, bu juda oddiy funktsiya uchun juda ko'p ish edi. Bularni baholashning ancha sodda usuli bor va biz oxir-oqibatda bunga erishamiz. Ushbu bo'limning asosiy maqsadi aniq integral haqidagi asosiy xususiyatlar va faktlarni yo'ldan chiqarishdir. Biz ularni amalda qanday hisoblashimizni keyingi bo'limdan boshlab muhokama qilamiz.
Shunday qilib, keling, aniq integralning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqishni boshlaylik.
Aniq integralning xossalari
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = - \int_{{\,b}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}}\). Biz har qanday aniq integral bo'yicha chegaralarni almashtirishimiz mumkin, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu integralga minus belgisini qo'yishdir.
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}} = 0\). Agar yuqori va pastki chegaralar bir xil bo'lsa, unda hech qanday ish yo'q, integral nolga teng.
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{cf\left( x \right)\,dx}} = c\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\), bu erda \(c\) istalgan raqam. Shunday qilib, chegaralar, hosilalar va noaniq integrallarda bo'lgani kabi, biz doimiyni ajratib olishimiz mumkin.
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \pm \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}\). Biz yig'indi yoki ayirma bo'yicha aniq integrallarni parchalashimiz mumkin.
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,c}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) bu yerda \(c\) istalgan raqam. Bu xususiyat biz dastlab tushunganimizdan ham muhimroqdir. Ushbu xususiyatning asosiy qo'llanilishidan biri bizga qo'shni intervallar, \(\left[ {a,c} \right]\) va \(\left[ {c,b} \right]\) orqali funktsiyani qanday integrallashimiz mumkinligini aytib berishdir. Shuni yodda tutingki, \(c\) \(a\) va \(b\) o'rtasida bo'lishi shart emas.
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,dt}}\). Bu xususiyatning mohiyati shundaki, agar funktsiya va chegaralar bir xil bo'lsa, biz aniq integralda foydalanadigan integratsiya o'zgaruvchisi javobga ta'sir qilmaydi.
ga qarang Har xil integral xossalarni isbotlash 1 - 4 xossalarni isbotlash uchun Qo'shimchalar bo'limi. 5-xususiyatni isbotlash oson emas va shuning uchun u erda ko'rsatilmagan. 6-mulk aslida so'zning to'liq ma'nosida mulk emas. Faqat shuni tan olish kerakki, funktsiya va chegaralar bir xil bo'lsa, o'zgaruvchi uchun qaysi harfdan foydalanishimiz muhim emas. Javob bir xil bo'ladi.
Keling, ushbu xususiyatlar bilan bog'liq bir nechta misollarni keltiraylik.
- \(\displaystyle \int_{{\,2}}^{{\,0}}{{{x^2} + 1\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{10{x^2} + 10\,dx}}\)
- \(\displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{t^2} + 1\,dt}}\)
Munozarani ko'rsatish
Bu muammolarning barcha yechimlari biz birinchi misolda isbotlagan faktga tayanadi. Ya'ni,
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} = \frac{{14}}{3}\]a \(\displaystyle \int_{{\,2}}^{{\,0}}{{{x^2} + 1\,dx}}\) Yechim
Bunday holda, ikkalasi o'rtasidagi yagona farq shundaki, chegaralar o'zaro almashgan. Shunday qilib, birinchi xususiyatdan foydalanish,
\[\begin{align*}\int_{{\,2}}^{{\,0}}{{{x^2} + 1\,dx}} & = - \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}}\\ & = - \frac{{14}}{3}\end{align*}\]b \(\displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{10{x^2} + 10\,dx}}\) Yechim
Ushbu qism uchun biz uchinchi xususiyatdan foydalangan holda ikkala shartdan 10 ni, keyin esa integraldan chiqarishimiz mumkinligiga e'tibor bering.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{10{x^2} + 10\,dx}} & = \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{10\left( {{x^2} + 1} \right)\,dx}}\\ & = 10\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}}\\ & = 10\left( {\frac{{14}}{3}} \right)\\ & = \frac{{140}}{3}\end{align*}\]c \(\displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{t^2} + 1\,dt}}\) Yechim
Bu holatda yagona farq ishlatilgan harfdir va shuning uchun bu faqat 6-xususiyatdan foydalaniladi.
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{t^2} + 1\,dt}} = \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} = \frac{{14}}{3}\]Boshqa xususiyatlardan foydalangan holda bir nechta misollar.
Yechim
Chegaralar bir xil ekanligini payqaganimizdan so'ng, bu integral bilan hech qanday aloqasi yo'q. Ikkinchi xususiyatdan foydalanish bu,
\[\int_{{130}}^{{\,130}}{{\frac{{{x^3} - x\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}\,dx}} = 0\]Yechim
Biz birinchi navbatda integralni bo'lish uchun to'rtinchi xususiyatni va doimiylarni ko'paytirish uchun uchinchi xususiyatdan foydalanishimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{2f\left( x \right)\, - 10g\left( x \right)dx}} & = \int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{2f\left( x \right)\,dx}} - \int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{10g\left( x \right)dx}}\\ & = 2\int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{f\left( x \right)\,dx}} - 10\int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{g\left( x \right)dx}}\end{align*}\]Endi e'tibor bering, birinchi integraldagi chegaralar berilgan integraldagi chegaralar bilan almashtiriladi, shuning uchun ularni yuqoridagi birinchi xususiyatdan foydalanib almashtiring (va, albatta, minus belgisini qo'shing). Bu bajarilgandan so'ng biz integrallarning ma'lum qiymatlarini ulashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{2f\left( x \right)\, - 10g\left( x \right)dx}} & = - 2\int_{{\,6}}^{{\, - 10}}{{f\left( x \right)\,dx}} - 10\int_{{\, - 10}}^{{\,6}}{{g\left( x \right)dx}}\\ & = - 2\left( {23} \right) - 10\left( { - 9} \right)\\ & = 44\end{align*}\]Yechim
Bu misol asosan 5-xususiyatning misolidir, garchi yechimda 1-xususiyatdan ham bir nechta foydalanish mavjud.
Berilgan ma'lumotlardan foydalanishga imkon berish uchun 5-xususiyati yordamida integralni qanday qilib to'g'ri sindirish kerakligini aniqlashimiz kerak. Birinchidan, chegaralardan birida "-5" ga ega bo'lgan integral mavjudligini ta'kidlaymiz. Bu pastki chegara emas, lekin oxir-oqibat uni tuzatish uchun 1-xususiyatdan foydalanishimiz mumkin. Boshqa chegara - 100, shuning uchun biz 5-mulkda ishlatadigan \(c\) raqami.
\[\int_{{\, - 5}}^{{\,12}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\, - 5}}^{{\,100}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,100}}^{{\,12}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Biz birinchi integralning qiymatini olishimiz mumkin, ammo ikkinchisi hali ham ma'lum integrallar ro'yxatida yo'q. Biroq, bizda 100 chegarasi bo'lgan ikkinchi integral bor. Ushbu ikkinchi integral uchun boshqa chegara -10 ga teng va bu xususiyat 5 ilovasida \(c\) bo'ladi.
\[\int_{{\, - 5}}^{{\,12}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\, - 5}}^{{\,100}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,100}}^{{\, - 10}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\, - 10}}^{{\,12}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]Ushbu nuqtada biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa, ma'lum integrallarga mos keladigan chegaralarni olish uchun birinchi va uchinchi integraldagi 1 xususiyatdan foydalanishdir. Shundan so'ng biz ma'lum integrallarni ulashimiz mumkin.
\[\begin{align*}\int_{{\, - 5}}^{{\,12}}{{f\left( x \right)\,dx}} & = - \int_{{\,100}}^{{\, - 5}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,100}}^{{\, - 10}}{{f\left( x \right)\,dx}} - \int_{{\,12}}^{{\, - 10}}{{f\left( x \right)\,dx}}\\ & = - 4 - 2 - 6\\ & = - 12\end{align*}\]Aniq integrallarning umumiy hajmini solishtirishda foydalanishimiz mumkin bo'lgan ba'zi yaxshi xususiyatlar mavjud. Mana ular.
Aniq integralning boshqa xossalari
- \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{c\,dx}} = c\left( {b - a} \right)\), \(c\) har qanday raqam.
- Agar \(f\left( x \right) \ge 0\) \(a \le x \le b\) uchun bo'lsa, \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \ge 0\).
- \(a \le x \le b\) uchun \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) bo'lsa, \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \ge \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}\).
- \(a \le x \le b\) uchun \(m \le f\left( x \right) \le M\) bo'lsa, \(m\left( {b - a} \right) \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \le M\left( {b - a} \right)\).
- \(\left| {\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}} \right| \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)\,} \right|dx}}\)
ga qarang Har xil integral xossalarni isbotlash Ushbu xususiyatlarni isbotlash uchun Qo'shimchalar bo'limi.
Aniq integralning talqinlari
Aniq integralning bir nechta tezkor talqinlari mavjud, ularni biz bu erda berishimiz mumkin.
Birinchidan, oldingi bo'limda aytib o'tganimizdek, aniq integralning mumkin bo'lgan talqini \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida \(f\left( x \right)\) grafigi va \(x\) o'qi orasidagi aniq maydonni berishdir. Shunday qilib, \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) grafigi va \(\left[ {0,2} \right]\) dagi \(x\) o'qi orasidagi aniq maydon,
\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} = \frac{{14}}{3}\]Agar siz oxirgi bo'limga qarasangiz, bu biz ushbu sohada ko'rib chiqqan muammolarning dastlabki to'plami uchun berilgan aniq maydon edi.
Boshqa talqin ba'zan aniq o'zgarish teoremasi deb ataladi. Ushbu talqin shuni ko'rsatadiki, agar \(f\left( x \right)\) ba'zi bir miqdor bo'lsa (shuning uchun \(f'\left( x \right)\) \(f\left( x \right)\) ning o'zgarish tezligi), u holda,
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f'\left( x \right)\,dx}} = f\left( b \right) - f\left( a \right)\]\(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida \(f\left( x \right)\) ning aniq o'zgarishi. Boshqacha qilib aytganda, o'zgarish tezligining aniq integralini hisoblang va siz miqdorning aniq o'zgarishini olasiz. Biz aniq integralning qiymati \(f\left( b \right) - f\left( a \right)\) aslida bizga \(f\left( x \right)\) dagi aniq o'zgarishlarni berishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun bu bayonot bilan isbotlanadigan hech narsa yo'q. Bu haqiqatan ham o'zgarish tezligining aniq integrali bizga nimani anglatishini tan olishdir.
Tez misol sifatida, agar \(V\left( t \right)\) idishdagi suv hajmi bo'lsa, u holda,
\[\int_{{\,{t_1}}}^{{\,{t_2}}}{{V'\left( t \right)\,dt}} = V\left( {{t_2}} \right) - V\left( {{t_1}} \right)\]- \({t_1}\) vaqtidan \({t_2}\) vaqtiga o'tganimizdagi tovushning aniq o'zgarishi.
Xuddi shunday, agar \(s\left( t \right)\) ma'lum bir ob'ektning \(t\) vaqtidagi o'rnini beruvchi funksiya bo'lsa, biz \(t\) ob'ektining istalgan vaqtda tezligi: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\) ekanligini bilamiz. Shuning uchun ob'ektning \({t_1}\) vaqtidan \({t_2}\) vaqtiga siljishi,
\[\int_{{\,{t_1}}}^{{\,{t_2}}}{{v\left( t \right)\,dt}} = s\left( {{t_2}} \right) - s\left( {{t_1}} \right)\]E'tibor bering, bu holda \(v\left( t \right)\) ham ijobiy, ham salbiy (i.e. ob'ekt o'ngga ham, chapga ham harakat qiladi) vaqt oralig'ida bu umumiy bosib o'tgan masofani BERMAYDI. Bu faqat siljishni beradi, i.e. ob'ektning qaerdan boshlangani va qaerda tugaganligi o'rtasidagi farq. Ob'ekt bosib o'tgan umumiy masofani aniqlash uchun biz hisoblashimiz kerak,
\[\int_{{\,{t_1}}}^{{\,{t_2}}}{{\left| {v\left( t \right)} \right|\,dt}}\]Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, aniq o'zgarish teoremasi faqat funktsiyaning hosilasini integrallashda mantiqiy bo'ladi.
Hisoblashning asosiy teoremasi, I qism
Yuqoridagi sarlavhada ta'kidlanganidek, bu hisoblashning asosiy teoremasining birinchi qismidir. Ikkinchi qismni keyingi bo'limda beramiz, chunki bu aniq integrallarni oson hisoblashning kalitidir va bu keyingi bo'limning mavzusi.
Hisoblashning asosiy teoremasining birinchi qismi aniq integrallarning ma'lum turlarini qanday ajratish kerakligini aytadi, shuningdek, integrallar va hosilalar o'rtasidagi juda yaqin munosabatlar haqida gapiradi.
Hisoblashning asosiy teoremasi, I qism
Agar \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz bo'lsa, u holda,
\[g\left( x \right) = \int_{{\,a}}^{{\,x}}{{f\left( t \right)\,\,dt}}\]\(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz va u \(\left( {a,b} \right)\) da farqlanadi va,
\[g'\left( x \right) = f\left( x \right)\]Buning hosila qismi uchun muqobil belgi:
\[\frac{d}{{dx}}\int_{{\,a}}^{{\,x}}{{f\left( t \right)\,dt}} = f\left( x \right)\]Buning isbotini ko'rish uchun qarang Har xil integral xossalarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Buning yordamida bir nechta tezkor misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle g\left( x \right) = \int_{{\, - 4}}^{{\,x}}{{{{\bf{e}}^{2t}}{{\cos }^2}\left( {1 - 5t} \right)\,dt}}\)
- \( \displaystyle \int_{{\,{x^2}}}^{{\,1}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}\)
a \(\displaystyle g\left( x \right) = \int_{{\, - 4}}^{{\,x}}{{{{\bf{e}}^{2t}}{{\cos }^2}\left( {1 - 5t} \right)\,dt}}\) Yechim
Bu hisobning asosiy teoremasini tezda qo'llashdan boshqa narsa emas.
\[g'\left( x \right) = {{\bf{e}}^{2x}}{\cos ^2}\left( {1 - 5x} \right)\]b \( \displaystyle \int_{{\,{x^2}}}^{{\,1}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}\) Yechim
Hisoblashning asosiy teoremasini qo'llashdan oldin bu biroz ishlash kerak. E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa, Hisobning asosiy teoremasi pastki chegara doimiy, yuqori chegara esa o'zgaruvchi bo'lishini talab qiladi. Shunday qilib, aniq integrallar xususiyatidan foydalanib, biz integral chegaralarini almashtira olamiz, biz buni qilgandan keyin minus belgisini qo'shishni unutmasligimiz kerak. Buni qilish,
\[\frac{d}{{dx}}\int_{{\,{x^2}}}^{{\,1}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}} = \frac{d}{{dx}}\left( { - \int_{{\,1}}^{{\,{x^2}}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}} \right) = - \frac{d}{{dx}}\int_{{\,1}}^{{\,{x^2}}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}\]E'tibor berish kerak bo'lgan keyingi narsa shundaki, hisob-kitoblarning asosiy teoremasi integratsiyaning yuqori chegarasida \(x\) ni ham talab qiladi va bizda mavjud x2. Ushbu hosilani amalga oshirish uchun bizga quyidagi versiya kerak bo'ladi zanjir qoidasi.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {g\left( u \right)} \right) = \frac{d}{{du}}\left( {g\left( u \right)} \right)\,\,\frac{{du}}{{dx}}\hspace{0.5in}{\mbox{where }}u = f\left( x \right)\]Shunday qilib, agar ruxsat bersak u= x2 olish uchun zanjir qoidasidan foydalanamiz,
\[\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,{x^2}}}^{{\,1}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}} & = - \frac{d}{{dx}}\int_{{\,1}}^{{\,{x^2}}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}\\ & = - \frac{d}{{du}}\int_{{\,1}}^{{\,u}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}}\,\,\,\frac{{du}}{{dx}}\hspace{0.5in}{\mbox{where }}u = {x^2}\\ & = - \frac{{{u^4} + 1}}{{{u^2} + 1}}\left( {2x} \right)\\ & = - 2x\frac{{{u^4} + 1}}{{{u^2} + 1}}\end{align*}\]Yakuniy qadam \(x\) nuqtai nazaridan hamma narsani qaytarib olishdir.
\[\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,{x^2}}}^{{\,1}}{{\frac{{{t^4} + 1}}{{{t^2} + 1}}\,dt}} & = - 2x\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 1}}\\ & = - 2x\frac{{{x^8} + 1}}{{{x^4} + 1}}\end{align*}\]Ushbu misolning oxirgi qismida qilganimizdek, zanjir qoidasidan foydalanib, biz ba'zi murakkabroq masalalar uchun ba'zi umumiy formulalarni olishimiz mumkin.
Birinchidan,
\[\frac{d}{{dx}}\int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = u'\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)} \right)\]Bu oddiygina bunday muammolar uchun zanjir qoidasi.
Keyinchalik, yuqori chegarasi doimiy va pastki chegarasi \(x\) funktsiyasi bo'lgan integrallar uchun formulani olishimiz mumkin. Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integraldagi chegaralarni almashtirish (albatta minus belgisini qo'shish) va keyin yuqoridagi formuladan foydalanib,
\[\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,dt}} = - \frac{d}{{dx}}\int_{{\,b}}^{{\,v\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = - v'\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right)\]Va nihoyat, biz \(x\) funksiyalarining ikkala chegarasi uchun ham versiyani olishimiz mumkin. Bunday holda, biz integralni quyidagicha ajratish uchun yuqoridagi 5-xususiyatdan foydalanishimiz kerak,
\[\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = \int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}\]Biz integralni parchalaganimizda \(a\) ning deyarli har qanday qiymatidan foydalanishimiz mumkin. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - \(f\left( a \right)\) mavjudligiga ishonch hosil qilishdir. Shunday qilib, biz integralni ajratganimizdan so'ng \(f\left( a \right)\) mavjud deb faraz qilsak, biz yuqoridagi ikkita formulani farqlashimiz va olishimiz mumkin,
\[\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} & = \frac{d}{{dx}}\left( {\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}} \right)\\ & = - v'\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right) + u'\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)} \right)\end{align*}\]Tez misol bilan ishlaylik.
Yechim
Bu biz yuqorida olingan yakuniy formuladan foydalanadi.
\[\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,\sqrt x }}^{{\,3x}}{{{t^2}\sin \left( {1 + {t^2}} \right)\,dt}} & = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}{\left( {\sqrt x } \right)^2}\sin \left( {1 + {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right) + \left( 3 \right){\left( {3x} \right)^2}\sin \left( {1 + {{\left( {3x} \right)}^2}} \right)\\ & = - \frac{1}{2}\sqrt x \sin \left( {1 + x} \right) + 27{x^2}\sin \left( {1 + 9{x^2}} \right)\end{align*}\]