7.5-bo'lim: Ildizlarni o'z ichiga olgan integrallar
Ushbu bo'limda biz foydali bo'lishi mumkin bo'lgan integratsiya texnikasini ko'rib chiqamiz ba'zilari ildizlari bo'lgan integrallar. Biz allaqachon ildizlari bo'lgan ba'zi integrallarni ko'rganmiz. Ba'zilarini oddiy Calculus I almashtirish bilan tezda bajarish mumkin, ba'zilarini esa trig almashtirishlar bilan bajarish mumkin.
Biroq, ildizli barcha integrallar bizga ushbu usullardan birini qo'llashga imkon bermaydi. Keling, ushbu integrallarga yordam berish uchun ba'zida ishlatilishi mumkin bo'lgan boshqa texnikani ko'rish uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ba'zan ildizga ega bo'lgan integralga duch kelganimizda, biz integralni oson ishlanadigan shaklga soddalashtirish uchun quyidagi almashtirishdan foydalanishimiz mumkin.
\[u = \sqrt[3]{{x - 3}}\]Shunday qilib, \(u\) ning radikal ostidagi narsa bo'lishiga yo'l qo'ymaslik o'rniga, biz tez-tez Calculus I da qilganimizdek, biz \(u\) ni butun radikal bo'lishiga ruxsat beramiz. Endi bu erda biroz ko'proq ish bo'ladi, chunki biz \(x\) nima ekanligini ham bilishimiz kerak, shuning uchun biz hisoblagichda uning o'rnini bosishimiz va \(dx\) differensialini hisoblashimiz mumkin. Biroq, buni olish juda oson. \(x\) uchun almashtirishni quyidagicha hal qiling,
\[x = {u^3} + 3\hspace{0.75in}dx = 3{u^2}\,du\]Ushbu almashtirishdan foydalanib, integral endi,
\[\begin{align*}\int{{\frac{{\left( {{u^3} + 3} \right) + 2}}{u}\,3{u^2}du}} & = \int{{3{u^4} + 15u\,du}}\\ & = \frac{3}{5}{u^5} + \frac{{15}}{2}{u^2} + c\\ & = \frac{3}{5}{\left( {x - 3} \right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{{15}}{2}{\left( {x - 3} \right)^{\frac{2}{3}}} + c\end{align*}\]Shunday qilib, ba'zida integral \(\sqrt[n]{{g\left( x \right)}}\) ildizini o'z ichiga olgan bo'lsa, almashtirish,
\[u = \sqrt[n]{{g\left( x \right)}}\]integralni biz hal qila oladigan shaklga soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin.
Keling, yana bir misolni tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz avvalgi misolda qilgan ishni qilamiz. Mana, \(x\) ni \(u\) nuqtai nazaridan olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan almashtirish va qo'shimcha ish.
\[u = \sqrt {x + 10} \hspace{0.5in}x = {u^2} - 10\hspace{0.5in}dx = 2u\,du\]Ushbu almashtirish bilan integral quyidagi ko'rinishga keladi:
\[\int{{\frac{2}{{x - 3\sqrt {x + 10} }}\,dx}} = \int{{\frac{2}{{{u^2} - 10 - 3u}}\left( {2u} \right)\,du}} = \int{{\frac{{4u}}{{{u^2} - 3u - 10}}\,du}}\]Bu integralni endi qisman kasrlar bilan bajarish mumkin.
\[\frac{{4u}}{{\left( {u - 5} \right)\left( {u + 2} \right)}} = \frac{A}{{u - 5}} + \frac{B}{{u + 2}}\]Setting surats equal gives,
\[4u = A\left( {u + 2} \right) + B\left( {u - 5} \right)\]\(u\) ni tanlash qiymati koeffitsientlarni beradi.
\[\begin{align*}u = & - 2 & \hspace{0.5in} - 8 = & \, B\left( { - 7} \right) & \hspace{0.5in}B = & \, \frac{8}{7}\\ u = & \,5 & \hspace{0.5in} 20 = & \, A\left( 7 \right) & \hspace{0.5in}A = & \, \frac{{20}}{7}\end{align*}\]U holda integral,
\[\begin{align*}\int{{\frac{2}{{x - 3\sqrt {x + 10} }}\,dx}} & = \int{{\frac{{\frac{{20}}{7}}}{{u - 5}} + \frac{{\frac{8}{7}}}{{u + 2}}\,du}}\\ & = \frac{{20}}{7}\ln \left| {u - 5} \right| + \frac{8}{7}\ln \left| {u + 2} \right| + c\\ & = \frac{{20}}{7}\ln \left| {\sqrt {x + 10} - 5} \right| + \frac{8}{7}\ln \left| {\sqrt {x + 10} + 2} \right| + c\end{align*}\]Shunday qilib, biz integraldan ildizlarni yo'q qilish va uni biz hal qila oladigan shaklga qo'yishning yaxshi usulini ko'rdik. Shuni yodda tutingki, bu har doim ham ishlamaydi va ba'zida yangi integralni bajarish juda qiyin bo'ladi.