10-bob: Seriyalar va ketma-ketliklar
Ushbu bobda biz ketma-ketliklar va (cheksiz) qatorlarni ko'rib chiqamiz. Aslida, bu bob deyarli faqat seriyalar bilan bog'liq. Biroq, ketma-ketlik bilan to'g'ri ishlash uchun biz ketma-ketlikning ba'zi asoslarini ham tushunishimiz kerak. Shuning uchun biz ketma-ketliklarga ham oz vaqt ajratamiz.
Seriya ko'plab talabalar uchun foydali bo'lmaydigan mavzulardan biridir. Rostini aytsam, ko'p talabalar hech qachon o'zlarining hisob darslaridan tashqari seriyalarni ko'rmaydilar. Biroq, ketma-ketliklar oddiy differensial tenglamalar sohasida muhim rol o'ynaydi va seriyalarsiz qisman differensial tenglamalar maydonining katta qismlarini amalga oshirish mumkin emas.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, siz hech qanday ilovalarni ko'rmasangiz ham, seriya muhim mavzudir. Ko'pgina ilovalar ko'pgina Kalkulyator kurslari doirasidan tashqarida va ko'p talabalar o'tmaydigan darslarda uchraydi. Shunday qilib, ushbu materialni ko'rib chiqayotganingizda, biz ushbu sinfda ularning ko'pini qamrab olmasak ham, ularning ilovalari borligini yodda tuting.
Mana, ushbu bobdagi mavzular ro'yxati.
Ketma-ketliklar - Ushbu bo'limda biz matematika darsidagi ketma-ketlik deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlaymiz va ular bilan ishlatadigan asosiy belgilarni beramiz. Biz ushbu bo'limda asosiy terminologiya, ketma-ketliklar chegaralari va ketma-ketliklarning yaqinlashuviga e'tibor qaratamiz. Shuningdek, ketma-ketliklar bilan ishlashda bizga kerak bo'ladigan ko'plab asosiy faktlar va xususiyatlarni beramiz.
Sequences haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz ketma-ketlikni tekshirishni davom ettiramiz. Biz ketma-ketlikning ortib borayotgan ketma-ketlik yoki kamayuvchi ketma-ketlik ekanligini va shuning uchun u monotonik ketma-ketlik ekanligini aniqlaymiz. Shuningdek, biz ketma-ketlikni quyida chegaralangan, yuqorida chegaralangan va/yoki chegaralanganligini aniqlaymiz.
Serial - Asosiy - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorni rasmiy ravishda aniqlaymiz. Shuningdek, biz seriyani boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan ko'plab asosiy faktlar, xususiyatlar va usullarni beramiz. Shuningdek, biz cheksiz qator yaqinlashishi yoki ajralishini qanday aniqlashni qisqacha muhokama qilamiz (bu mavzuni chuqurroq muhokama qilish keyingi bo'limda bo'ladi).
Seriyalarning konvergentsiyasi/divergentsiyasi - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorlarning yaqinlashishi va divergensiyasini batafsilroq ko'rib chiqamiz. Cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun qisman yig'indilar qanday ishlatilishini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda seriyalar uchun Divergentsiya testini beramiz.
Maxsus seriya - Ushbu bo'limda biz muntazam ravishda paydo bo'ladigan yoki biz muhokama qilmoqchi bo'lgan yoqimli xususiyatlarga ega bo'lgan uchta seriyani ko'rib chiqamiz. Biz geometrik seriyalarni, teleskopik seriyalarni va garmonik seriyalarni ko'rib chiqamiz.
Integral test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Integral testdan foydalanishni muhokama qilamiz. Integral testdan ketma-ketlik shartlari ijobiy va kamayuvchi bo'lsa, cheksiz qatorda qo'llanilishi mumkin. Integral testning isboti ham berilgan.
Taqqoslash testi/Limit taqqoslash testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralishini aniqlash uchun taqqoslash testi va chegara solishtirish testlaridan foydalanishni muhokama qilamiz. Ikkala testdan foydalanish uchun cheksiz qatorning shartlari ijobiy bo'lishi kerak. Ikkala test uchun dalillar ham berilgan.
Muqobil seriyali test - Ushbu bo'limda biz cheksiz qatorning yaqinlashish yoki ajralish yoki yo'qligini aniqlash uchun Alternativ seriyalar testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Muqobil seriyali testdan faqat seriya shartlari bir-birining belgisi bilan almashtirilgan taqdirdagina foydalanish mumkin. Muqobil seriyali testning isboti ham berilgan.
Mutlaq konvergentsiya - Ushbu bo'limda biz mutlaq yaqinlashuv va shartli yaqinlashuv va ularning cheksiz qatorlarning yaqinlashuvi bilan qanday bog'liqligini qisqacha muhokama qilamiz.
Nisbat sinovi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun nisbat testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Nisbat testi har qanday qatorda qo'llanilishi mumkin, ammo afsuski, har doim ham ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javob bera olmaydi. Nisbatan testning isboti ham berilgan.
Ildiz testi - Ushbu bo'limda cheksiz qatorning mutlaq yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash uchun Ildiz testidan foydalanishni muhokama qilamiz. Ildiz testi har qanday seriyada ishlatilishi mumkin, ammo afsuski, ketma-ketlik mutlaq yaqinlashadimi yoki ajraladimi degan aniq javobni har doim ham bera olmaydi. Ildiz testining isboti ham berilgan.
Seriallar uchun strategiya - Ushbu bo'limda biz cheksiz qator yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashda qaysi testdan foydalanishni aniqlash uchun umumiy ko'rsatmalar beramiz. Shuni ham yodda tutingki, haqiqatan ham har doim ishlaydigan ko'rsatmalar to'plami yo'q va shuning uchun siz ushbu ko'rsatmalar to'plamiga amal qilishda doimo moslashuvchan bo'lishingiz kerak. Ushbu bobda muhokama qilingan barcha turli testlarning qisqacha mazmuni, shuningdek, ulardan foydalanish uchun bajarilishi kerak bo'lgan shartlar ushbu bo'limda ham berilgan.
Seriyaning qiymatini baholash - Ushbu bo'limda biz integral test, taqqoslash testi, muqobil seriyalar testi va nisbatlar testidan qanday qilib cheksiz qator qiymatini baholash uchun foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz.
Quvvat seriyasi - Ushbu bo'limda biz darajalar qatorining ta'rifini, shuningdek, darajalar qatori uchun yaqinlashish radiusi va yaqinlashuv oralig'ining ta'rifini beramiz. Shuningdek, biz nisbatlar testi va ildiz testidan quvvat seriyasi uchun yaqinlashish radiusi va intervalini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Quvvat seriyalari va funktsiyalari - Ushbu bo'limda biz konvergent geometrik qator formulasidan ba'zi funktsiyalarni kuch qatori sifatida ifodalash uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Geometrik seriya formulasidan foydalanish uchun funktsiyani ma'lum bir shaklga qo'yish imkoniyati bo'lishi kerak, bu ko'pincha imkonsizdir. Biroq, ushbu formuladan foydalanish funktsiyalarni quvvat seriyasi sifatida qanday ko'rsatish mumkinligini tezda ko'rsatadi. Shuningdek, biz kuch seriyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasini muhokama qilamiz.
Teylor seriyasi – Ushbu bo'limda biz funksiya uchun Teylor/Maclaurin seriyasini qanday topishni muhokama qilamiz. Bu avvalgi bo'limda ko'rib chiqilgan usuldan ko'ra ko'pincha yoqimsiz ish hisobiga juda kengroq turli xil funktsiyalar uchun ishlaydi. Biz, shuningdek, \(x=0\) atrofida \({\bf e}^{x}\) , \(\cos(x)\) va \(\sin(x)\) Teylor qatorlari uchun ba'zi mashhur formulalarni olamiz.
Seriya ilovalari - Ushbu bo'limda biz ketma-ket bir nechta ilovalarni tezda ko'rib chiqamiz. Boshqa usul bilan baholab bo'lmaydigan noaniq integrallar uchun qator ko'rinishini qanday topish mumkinligini ko'rsatamiz. Shuningdek, biz funktsiyani taxmin qilish uchun quvvat seriyasining birinchi bir necha shartlaridan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Binom seriyasi – Ushbu bo'limda biz binom teoremasini beramiz va \(n\) butun son bo'lganda, \( \left(a+b\right)^{n}\) ko'rinishidagi atamalarni tezda kengaytirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz. Bundan tashqari, \(n\) butun son bo'lmasa, Binom teoremasining kengaytmasi atamaning darajali seriyali tasvirini berish uchun ishlatilishi mumkin.