2. arifmetika
Ushbu bo'limni davom ettirishdan oldin aytmoqchimanki, siz murakkab sonlar bilan arifmetikani avval ham ko'rgansiz deb o'ylayman va bu bo'limdagi ko'p narsalar siz uchun sharh bo'ladi. Men ayirish va bo‘linishni ham shu nuqtaga qadar ko‘rmagan bo‘lsangiz ham, natijalar bir xil bo‘ladi va ushbu hujjatning qolgan bo‘limlari uchun muhim emas.
Avvalgisida bo'limi biz kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirishni aniqladik va \({i^2} = - 1\) ko'paytirishni qanday aniqlaganimiz natijasi ekanligini ko'rsatdik. Biroq, amalda, biz odatda ta'rifdan foydalanib, kompleks sonlarni ko'paytirmaymiz. Amalda biz ikkita murakkab sonni xuddi polinomlar kabi ko'paytiramiz va keyin \({i^2} = - 1\) ekanligini bilganimizdan foydalanamiz.
Aytishimiz mumkinki, biz misol ishlab chiqdik, keling, murakkab sonlarni tez qo'shish va ko'paytirishni amalga oshiramiz.
- \(\left( {58 - i} \right) + \left( {2 - 17i} \right)\)
- \(\left( {6 + 3i} \right)\left( {10 + 8i} \right)\)
- \(\left( {4 + 2i} \right)\left( {4 - 2i} \right)\)
Yechim
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu siz uchun sharh bo'lib, bu erda batafsil to'xtalib o'tmayman deb o'ylayman.
a \(\left( {58 - i} \right) + \left( {2 - 17i} \right) = 58 - i + 2 - 17i = 60 - 18i\)
b \(\left( {6 + 3i} \right)\left( {10 + 8i} \right) = 60 + 48i + 30i + 24{i^2} = 60 + 78i + 24\left( { - 1} \right) = 36 + 78i\)
c \(\left( {4 + 2i} \right)\left( {4 - 2i} \right) = 16 - 8i + 8i - 4{i^2} = 16 + 4 = 20\)
Shuni esda tutish kerakki, ba'zida ikkita murakkab sonni qo'shish yoki ko'paytirishda oldingi misolning uchinchi qismida ko'rsatilganidek, natija haqiqiy son bo'lishi mumkin!
Oldingi misolning uchinchi qismi ham murakkab sonlar haqida yaxshi xususiyatni beradi.
\begin{equation}\left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = {a^2} + {b^2} \label{eq:mult} \end{tenglama}Biz ushbu faktni bo'linish bilan ishlatamiz va keyingi bo'limda uni biroz batafsilroq ko'rib chiqamiz.
Keling, ikkita murakkab sonni ayirish va bo'lish usullarini ko'rib chiqaylik. Umid qilamizki, agar bizda ikkita kompleks son bo'lsa, \({z_1} = a + bi\) va \({z_2} = c + di\) bo'lsa, ularni ayirasiz:
\begin{tengation}z_1 - z_2 = \left( a + bi \right) - \left( c + di \right) = \left( a - c \right) + \left( b - d \right)i \label{eq:sub} \end{tenglama}Va ikkita murakkab sonning bo'linishi,
\begin{equation}\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} \label{eq:div} \end{tenglama}oddiygina \(i\) ni maxrajdan chiqarib tashlash va natijani yangi \(u + vi\) kompleks raqami sifatida yozish jarayoni deb hisoblash mumkin.
Keling, ularning qanday ishlashini eslatish uchun ikkalasining misolini ko'rib chiqaylik.
- \(\left( {58 - i} \right) - \left( {2 - 17i} \right)\)
- \(\frac{{6 + 3i}}{{10 + 8i}}\)
- \(\frac{{5i}}{{1 - 7i}}\)
a Yechim
b Yechim
c Yechim
Endi, asosan, ushbu hujjatning qolgan qismi uchun murakkab sonlarni ayirish va bo'lish haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa. Biroq, keling, ikkalasining ham aniqroq va matematik ta'rifini ko'rib chiqaylik. Agar bu sizni qiziqtirmasa, buni o'tkazib yuborishingiz va ushbu hujjatning qolgan qismini tushunishingiz mumkin.
Ushbu hujjatning qolgan qismi odatda birinchi marta Abstrakt/Zamonaviy algebra sinfida o'qitiladigan mavzularni o'z ichiga oladi. Biz ularni murakkab o'zgaruvchilar sohasida qo'llayotganimiz sababli, biz tushunchalar haqida batafsil ma'lumot bermaymiz. Shuni ham yodda tutingki, biz ba'zi g'oyalarni o'tkazib yuboramiz va kompleks sonlarda haqiqatan ham mavjud bo'lmagan ba'zi tafsilotlarni yoritib beramiz. Bu, ayniqsa, teskarilarning "ta'riflari" bilan to'g'ri keladi. Men quyida beradigan ta'riflar kompleks sonlar uchun to'g'ri, ammo umumiy ma'noda unchalik to'g'ri emas. Quyida nima qilish kerakligini tushunish uchun umuman bu haqda tashvishlanishingiz shart emas. Men ba'zilarini o'tkazib yuborayotganimni aniq aytmoqchi edim murakkab sonlarda amal qiladigan ta'riflar bilan ishlashni osonlashtiradigan umumiy ta'riflar.
Xo'sh, endi men ogohlantirishlar / eslatmalarni yo'lga qo'ydim, keling, haqiqiy mavzuni boshlaylik ...
Texnik jihatdan murakkab sonlar ustida aniqlangan yagona arifmetik amallar qo'shish va ko'paytirishdir. Bu shuni anglatadiki, ayirish ham, bo'linish ham qaysidir ma'noda ushbu ikki operatsiya nuqtai nazaridan aniqlanishi kerak. Biz ayirish bilan boshlaymiz, chunki (umid qilamanki) ko'rish biroz osonroq.
Biz birinchi navbatda an deb ataladigan narsani aniqlashimiz kerak qo'shimcha teskari. Qo'shimcha teskari odatda \( - z\) bilan belgilanadigan ba'zi elementdir
\begin{equation}z + \left( { - z} \right) = 0\end{tenglama}Endi, mavhum algebraning umumiy sohasida \( - z\) shunchaki qo'shimcha teskari belgidir va ko'p hollarda \( - z = \left( { - 1} \right)z\) tomonidan EMAS! Ammo bizning baxtimizga, murakkab o'zgaruvchilar bilan teskari qo'shimcha aniq qanday aniqlanadi va shuning uchun ma'lum bir kompleks son \(z = a + bi\) uchun teskari qo'shimcha \( - z\) quyidagicha beriladi:
\[ - z = \left( { - 1} \right)z = - a - bi\]Bu teskari qo'shimchaning ta'rifiga mos kelishini ko'rish oson va bu ko'rsatilmaydi.
Ushbu ta'rif bilan biz ikkita murakkab sonni ayirishni rasmiy ravishda aniqlashimiz mumkin. \({z_1} = a + bi\) va \({z_2} = c + di\) ikkita kompleks sonlarni hisobga olib, biz ularni ayirishni quyidagicha aniqlaymiz:
\begin{tengation}{z_1} - {z_2} = {z_1} + \left( { - {z_2}} \right)\end{tenglama}Yoki, boshqacha qilib aytganda, \({z_1}\) dan \({z_2}\) ni ayirishda biz haqiqatan ham \({z_1}\) ga \({z_2}\) ning (\( - {z_2}\) bilan belgilanadi) teskari qo‘shimchasini qo‘shamiz. Agar kompleks sonlar uchun teskari qo'shimchalarning ta'rifidan foydalansak, ayirish uchun yuqorida keltirilgan formulaga erishishimiz mumkin.
\[{z_1} - {z_2} = {z_1} + \left( { - {z_2}} \right) = \left( {a + bi} \right) + \left( { - c - di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\]Shunday qilib, umid qilamanki, bu juda yomon emas edi. Talabalarda bunday mavzular bilan bog'liq muammolarning aksariyati ular kerak unut ular ishlashga o'rganib qolgan ba'zi yozuvlar va g'oyalar. Yoki boshqacha qilib aytganda, sizga doimo \( - z\) bu faqat \(\left( { - 1} \right)z\) uchun stenografiya ekanligini o'rgatgan, ammo mavhum algebraning umumiy mavzusida bu har doim ham shunday bo'lishi shart emas. Siz "haqiqiy hayotda" \( - z\) belgisiga duch kelishingiz mumkin bo'lgan barcha misollarda, bu nimani anglatishidan qat'i nazar, biz haqiqatan ham shuni nazarda tutamiz. \( - z = \left( { - 1} \right)z\).
Xo'sh, endi ayirish yo'q, keling, bo'linishga o'tamiz. Ayirishda bo'lgani kabi, biz avval teskarisini aniqlashimiz kerak. Bu safar bizga kerak bo'ladi multiplikativ teskari. \(z\) nolga teng bo'lmagan kompleks son uchun ko'paytma teskari element \({z^{ - 1}}\) bilan belgilanadi, shundayki
\[z\,z^{ - 1} = 1\]Endi, yana ehtiyot bo'ling, yozuvdagi -1 ning "ko'rsatkichi" aslida ko'rsatkichdir, deb taxmin qilishdan ehtiyot bo'ling. Bu emas! Bu shunchaki ko'paytma teskarisini belgilash uchun ishlatiladigan belgi. Haqiqiy (noldan farqli) raqamlar bilan bu haqiqiy ko'rsatkich bo'lib chiqadi va bizda shunday bor
\[{4^{ - 1}} = \frac{1}{4}\]masalan. Biroq, kompleks sonlar bilan bunday bo'lmaydi! Haqiqatan ham, keling, murakkab son uchun ko'paytma teskari nima ekanligini ko'rib chiqaylik. Keling, \(z = a + bi\) kompleks raqamidan boshlaylik va uning ko'paytmali teskari \({z^{ - 1}} = u + vi\) deb nomlaylik. Endi bizda bo'lishi kerakligini bilamiz
\[z\,z^{ - 1} = 1\]Shunday qilib, ko'paytirishni amalda bajaramiz.
\begin{align*}z{z^{ - 1}} & = \left( {a + bi} \right)\left( {u + vi} \right)\\ & = \left( {au - bv} \right) + \left( {av + bu} \right)i\\ & = 1\end{align*}Bu bizga quyidagilarga ega bo'lishi kerakligini aytadi:
\[au - bv = 1 \hspace{0.5in} av + bu = 0\]Ikki noma'lum \(u\) va \(v\) uchun ikkita tenglamadan iborat ushbu tizimni yechish (esda tuting, \(a\) va \(b\) asl kompleks raqamdan ma'lum miqdorlardir)
\[u = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} \hspace{0.5in} v = - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}\]Demak, \(z\) kompleks sonining ko‘paytma teskarisi:
\begin{equation}{z^{ - 1}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}\,\,i \label{eq:inv}\end{tenglama}Ko'rib turganingizdek, bu holda -1 ning "ko'rsatkichi" aslida ko'rsatkich emas! Yana, albatta, kerak unut boshqa matematika kurslarida tanish bo'lgan ba'zi belgilar.
Shunday qilib, endi bizda ko'paytma teskari ta'rifi bor, biz nihoyat ikkita kompleks sonning bo'linishini aniqlay olamiz. Faraz qilaylik, bizda \({z_1}\) va \({z_2}\) ikkita kompleks raqamlari bor, u holda bu ikkisining bo'linishi quyidagicha aniqlanadi:
\begin{equation}\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = {z_1}\,z_2^{ - 1}\end{tenglama}Boshqacha qilib aytganda, bo'linish hisobni ko'paytirish va maxrajga teskari ko'paytirish sifatida aniqlanadi. Shuni ham yodda tutingki, bu aslida biz yuqorida qo'llagan jarayonga mos keladi. Keling, avvalroq ko'rib chiqqan misollardan birini ko'rib chiqaylik, faqat bu safar buni ko'paytiruvchi teskari raqamlar yordamida bajaramiz. Shunday qilib, keling, quyidagi bo'limdan boshlaylik.
\[\frac{{6 + 3i}}{{10 + 8i}} = \left( {6 + 3i} \right){\left( {10 + 8i} \right)^{ - 1}}\]Endi bizga maxrajning ko'paytmali teskarisi kerak va \(\eqref{eq:inv}\) dan foydalanib, bu,
\[{\left( {10 + 8i} \right)^{ - 1}} = \frac{{10}}{{{{10}^2} + {8^2}}} - \frac{8}{{{{10}^2} + {8^2}}}i = \frac{{10 - 8i}}{{164}}\]
Endi biz ko'paytirishni qila olamiz,
\[\frac{{6 + 3i}}{{10 + 8i}} = \left( {6 + 3i} \right){\left( {10 + 8i} \right)^{ - 1}} = \left( {6 + 3i} \right)\frac{{10 - 8i}}{{164}} = \frac{{60 - 48i + 30i - 24{i^2}}}{{164}} = \frac{{21}}{{41}} - \frac{9}{{82}}i\]E'tibor bering, ikkinchidan oxirgigacha bo'lgan bosqich ushbu muammoning dastlabki ishlashida biz qilgan qadamlardan biri bilan bir xil va, albatta, javob bir xil.
Yakuniy mavzu sifatida shuni ta'kidlaymizki, agar biz ko'paytma teskari formulasini eslashni istamasak, uni asl ko'paytirishda qo'llagan jarayonimiz orqali olishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, multiplikativ teskarisini olish uchun biz quyidagilarni qilishimiz mumkin
\[{\left( {10 + 8i} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\left( {10 + 8i} \right)}}\frac{{10 - 8i}}{{\left( {10 - 8i} \right)}} = \frac{{10 - 8i}}{{{{10}^2} + {8^2}}}\]Ko'rib turganingizdek, bu biz dastlab bo'linishda foydalangan jarayondir.