12.9-bo'lim: Vektor funktsiyalari bilan yoy uzunligi
Ushbu bo'limda biz eski formulani vektor funktsiyalari nuqtai nazaridan qayta ko'rib chiqamiz. Biz vektor funksiyasining uzunligini aniqlamoqchimiz,
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \]\(a \le t \le b\) oralig'ida.
Buni qanday qilishni biz allaqachon bilamiz. Eslatib o'tamiz, biz vektor funksiyasini parametrik shaklga yozishimiz mumkin,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}z = h\left( t \right)\]Shuningdek, eslash Ikki o'lchovli parametrik egri chiziqlar bilan yoy uzunligi quyidagicha ifodalanadi:
\[L = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\sqrt {{{\left[ {f'\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {g'\left( t \right)} \right]}^2}} \,dt}}\]Buning tabiiy ravishda uch o'lchovga kengayishi mavjud. Shunday qilib, \(\vec r\left( t \right)\) egri chizig'ining \(a \le t \le b\) oralig'idagi uzunligi,
\[L = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\sqrt {{{\left[ {f'\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {g'\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {h'\left( t \right)} \right]}^2}} \,dt}}\]Buning uchun biz qilishimiz mumkin bo'lgan yaxshi soddalashtirish mavjud. E'tibor bering, integrand (biz integrallashayotgan funktsiya) tangens vektorining kattaligidan boshqa narsa emas,
\[\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| = \sqrt {{{\left[ {f'\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {g'\left( t \right)} \right]}^2} + {{\left[ {h'\left( t \right)} \right]}^2}} \]Shunday qilib, yoy uzunligini quyidagicha yozish mumkin:
Vektor funksiyasining yoy uzunligi
Yechim
Bizga birinchi navbatda tangens vektori va uning kattaligi kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = \left\langle {2,6\cos \left( {2t} \right), - 6\sin \left( {2t} \right)} \right\rangle \\ \left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {4 + 36{{\cos }^2}\left( {2t} \right) + 36{{\sin }^2}\left( {2t} \right)} = \sqrt {4 + 36} = 2\sqrt {10} \end{align*}\]Keyin uzunlik,
\[\begin{align*}L & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\|\,dt}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{2\sqrt {10} \,dt}}\\ & = 4\pi \sqrt {10} \end{align*}\]Bu yerda yana bir kontseptsiyaga tez nazar tashlashimiz kerak. ni aniqlaymiz yoy uzunligi funktsiyasi as,
Ark uzunligi funksiyasi
Nima uchun bu muhim bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqishdan oldin, keling, qisqacha misol keltiraylik.
Yechim
Oldingi misoldan bilamizki,
\[\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| = 2\sqrt {10} \]Yoy uzunligi funktsiyasi u holda,
\[s\left( t \right) = \int_{{\,0}}^{{\,t}}{{2\sqrt {10} \,du}} = \left( {2\sqrt {10} \,u} \right)_0^t = 2\sqrt {10} \,t\]OK, nega biz buni qilishni xohlaymiz? Keling, yuqoridagi misolning natijasini olamiz va uni \(t\) uchun hal qilamiz.
\[t = \frac{s}{{2\sqrt {10} }}\]Endi buni olib, uni asl vektor funksiyasiga ulashimiz mumkin qayta parametrlash funktsiyani \(\vec r\left( {t\left( s \right)} \right)\) shakliga kiriting. Bizning funktsiyamiz uchun bu,
\[\vec r\left( {t\left( s \right)} \right) = \left\langle {\frac{s}{{\sqrt {10} }},3\sin \left( {\frac{s}{{\sqrt {10} }}} \right),3\cos \left( {\frac{s}{{\sqrt {10} }}} \right)} \right\rangle \]Xo'sh, nega biz buni qilishni xohlaymiz? Qayta parametrlash orqali biz egri chiziq bo'ylab \(s\) masofani bosib o'tganimizdan keyin egri chiziqda qayerda ekanligimizni aniqlashimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz \(t = 0\) da joylashgan joydan masofani o'lchashni boshlaymiz.
Yechim
Buni aniqlash uchun biz yuqoridan olingan reparametrizatsiyaga muhtojmiz.
\[\vec r\left( {t\left( s \right)} \right) = \left\langle {\frac{s}{{\sqrt {10} }},3\sin \left( {\frac{s}{{\sqrt {10} }}} \right),3\cos \left( {\frac{s}{{\sqrt {10} }}} \right)} \right\rangle \]Keyin qayerda ekanligimizni aniqlash uchun faqat \(s = \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\)-ni ulang va biz joylashuvimizni bilib olamiz.
\[\vec r\left( {t\left( {\frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}} \right)} \right) = \left\langle {\frac{\pi }{3},3\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right),3\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)} \right\rangle = \left\langle {\frac{\pi }{3},\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right\rangle \]Shunday qilib, egri chiziq bo'ylab \(\frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}\) masofani bosib o'tganimizdan so'ng, biz \(\left( {\frac{\pi }{3},\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)\) nuqtasidamiz.