4.4-bo'lim: Giperbolalar
Biz qarashimiz kerak bo'lgan keyingi grafik giperboladir. Giperbolaning ikkita asosiy shakli mavjud. Mana har biriga misollar.
Giperbolalar yuqoriga va pastga yoki o'ngga va chapga ochiladigan ikkita noaniq parabola shaklidagi bo'laklardan iborat. Bundan tashqari, xuddi parabolalar singari, har bir bo'lakning tepasi bor. E'tibor bering, ular aslida parabola emas, ular shunchaki parabolalarga o'xshaydi.
Shuningdek, har bir grafikda ikkita chiziq mavjud. Bu chiziqlar asimptota deb ataladi va grafiklardan ko'rinib turibdiki, biz \(x\) ni katta (musbat va manfiy ma'noda) qilganimizda giperbolaning grafigi asimptotalarga tobora yaqinlashib boradi. Asimptotalar giperbolaning grafigiga rasman kirmaydi. Biroq, ular, odatda, biz ishonch hosil qilishimiz va eskizni to'g'ri olishimiz uchun kiritilgan. Ikki asimptota kesishgan nuqta giperbolaning markazi deb ataladi.
Ikkita bor standart shakllar giperbolaning, yuqorida ko'rsatilgan har bir tur uchun bittadan. Bu erda har bir shaklni va har biridan olishimiz mumkin bo'lgan ma'lumotlarni ko'rsatadigan jadval mavjud.
| Shakl | \(\displaystyle \frac{{{{\left( {x - h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( {y - k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\) | \(\displaystyle \frac{{{{\left( {y - k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{{\left( {x - h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = 1\) | |
| Markaz | \(\left( {h,k} \right)\) | \(\left( {h,k} \right)\) | |
| Ochiladi | Chapga va o'ngga ochiladi | Yuqoriga va pastga ochiladi | |
| Cho'qqilar | \(\displaystyle \left( {h + a,k} \right)\) va \(\left( {h - a,k} \right)\) | \(\displaystyle \left( {h,k + b} \right)\) va \(\left( {h,k - b} \right)\) | |
| Asimptotlarning qiyaligi | \(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\) | \(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\) | |
| Asimptotalar tenglamalari | \(\displaystyle y = k \pm \frac{b}{a}\left( {x - h} \right)\) | \(\displaystyle y = k \pm \frac{b}{a}\left( {x - h} \right)\) | |
E'tibor bering, ikki shakl o'rtasidagi farq qaysi atama minus belgisiga ega. Agar \(y\) atamasi minus belgisiga ega bo'lsa, giperbola chapga va o'ngga ochiladi. Agar \(x\) atamasi minus belgisiga ega bo'lsa, giperbola yuqoriga va pastga ochiladi.
Biz asimptotalarning tenglamalarini chiziqning nuqta-qiyalik shaklidan va asimptotalarning giperbolaning markazidan o'tishini bilganimizdan foydalanib oldik.
Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{25}} - \frac{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{49}} = 1\)
- \(\displaystyle \frac{{{y^2}}}{9} - {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\)
a \(\displaystyle \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{25}} - \frac{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{49}} = 1\) Yechim
Endi, \(y\) atamasi minus belgisiga ega ekanligiga e'tibor bering va shuning uchun biz yuqoridagi jadvalning birinchi ustunida ekanligimizni va giperbola chap va o'ngda ochilishini bilamiz.
Biz olishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa bu markazdir, chunki deyarli hamma narsa uning atrofida qurilgan. Bu holatda markaz \(\left( {3, - 1} \right)\) va har doimgidek belgilarga qarang! Markazga ega bo'lganimizdan so'ng, biz cho'qqilarni olamiz. Bu \(\left( {8, - 1} \right)\) va \(\left( { - 2, - 1} \right)\).
Keyinchalik, asimptotalarning qiyaliklarini olishimiz kerak. Bular har doim \(y\) atamasi ostidagi sonning kvadrat ildizi \(x\) atamasi ostidagi sonning kvadrat ildiziga bo'linadi va har doim ijobiy va salbiy qiyalik bo'ladi. Nishablar keyin \( \pm \frac{7}{5}\).
Endi biz asimptotalarning markazini va qiyaliklarini olganimizdan so'ng, asimptotalarning tenglamalarini olishimiz mumkin. Ular,
\[y = - 1 + \frac{7}{5}\left( {x - 3} \right)\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}y = - 1 - \frac{7}{5}\left( {x - 3} \right)\]Endi biz eskizni boshlashimiz mumkin. Biz asimptotalarni va cho'qqilarni chizishdan boshlaymiz. Bular bajarilgandan so'ng, biz asosiy shakl qanday bo'lishi kerakligini bilib olamiz, shuning uchun biz \(x\) kattalashgan sari asimptotalarga yaqinlashib borishiga ishonch hosil qilish uchun uni chizamiz.
Mana bu giperbolaning eskizi.
b \(\displaystyle \frac{{{y^2}}}{9} - {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\) Yechim
Bu holda giperbola yuqoriga va pastga ochiladi, chunki \(x\) atamasi minus belgisiga ega. Endi bu giperbolaning markazi \(\left( { - 2,0} \right)\). Shuni esda tutingki, a bor y2 atama o'z-o'zidan bizda \(k = 0\) bo'lishi kerak edi. Bu nuqtada biz cho'qqilar \(\left( { - 2,3} \right)\) va \(\left( { - 2, - 3} \right)\) ekanligini ham bilamiz.
Asimptotalarning qiyaliklarini ko'rish uchun tenglamani biroz qayta yozamiz.
\[\frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{1} = 1\]Demak, asimptotalarning qiyaliklari \( \pm \frac{3}{1} = \pm 3\). U holda asimptotalarning tenglamalari:
\[y = 0 + 3\left( {x + 2} \right) = 3x + 6\hspace{0.25in}{\mbox{and }}\hspace{0.25in}\,\,y = 0 - 3\left( {x + 2} \right) = - 3x - 6\]Mana bu giperbolaning eskizi.
