Bunday trig tenglamani echishda juda ko'p narsa qilish kerak emas. Biz birinchi navbatda trig funktsiyasini bir tomondan olishimiz kerak. Buning uchun ikkala tomonni 2 ga bo'lish kifoya.

\[\begin{align*}2\cos \left( t \right) & = \sqrt 3 \\ \cos \left( t \right) & = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Biz \(t\) ning barcha qiymatlarini qidiramiz, ular uchun kosinus \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'ladi. Shunday qilib, keling, quyidagi birlik doirasini ko'rib chiqaylik.

Tez tekshiruvdan biz \(t = \frac{\pi }{6}\) yechim ekanligini ko'rishimiz mumkin. Biroq, biz birlik aylanasida ko'rsatganimizdek, yechim bo'ladigan yana bir burchak mavjud. Bu burchakning nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Ushbu burchaklarni qidirganda, biz odatda xohlaymiz ijobiy 0 va \(2\pi \) orasida joylashgan burchaklar. Albatta, bu burchak yagona imkoniyat bo'lmaydi, lekin biz odatda ushbu shartlarga javob beradigan burchaklarni qidiramiz.

Ushbu muammoning bu burchagini topish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa kichik geometriyadan foydalanishdir. Birinchi kvadrantdagi burchak musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchak hosil qiladi, keyin to'rtinchi kvadrantdagi burchak ham shunday bo'lishi kerak. Shunday qilib, bizda ikkita variant bor. Biz \( - \frac{\pi }{6}\) dan foydalanishimiz mumkin, lekin yana ijobiy burchaklardan foydalanish keng tarqalgan. Ijobiy burchakni olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{\pi }{6}\) burchagi (yuqorida aytib o'tilganidek) va musbat burchak \(t = 2\pi - \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }}{6}\) bo'ladi.

Ikkinchi burchakning ijobiy shaklini qanday olishni eslashning bir usuli - ijobiy \(x\) o'qidan bitta to'liq inqilob qilishni o'ylash (i.e. \(2\pi \)) va keyin o'chirish (i.e. ayirish) \(\frac{\pi }{6}\).

Biz bu muammoni hal qilmadik. Ikkinchi burchakni topish haqidagi munozara shuni ko'rsatdiki, birlik doirasiga har qanday berilgan burchakni yozishning ko'plab usullari mavjud. Ba'zan biz hal qilish uchun \( - \frac{\pi }{6}\) bo'ladi va ba'zan biz sanab o'tilgan burchaklarning ikkalasini ham (yoki hech birini) xohlamaymiz. Shuning uchun, bu muammoda hech narsa yo'qligi sababli (buni keyingi muammo bilan taqqoslang) bizga qaysi to'g'ri echim ekanligini aytish uchun biz HAMMA mumkin bo'lgan echimlarni sanab o'tishimiz kerak.

Buni qilish juda oson. Oldingisidan eslang bo'limi va u erda biz foydalanganimizni ko'rasiz

\[\frac{\pi }{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \]

birlik aylanasida bir joyda tugashi mumkin bo'lgan barcha burchaklarni ifodalash uchun, i.e. \(\frac{\pi }{6}\) bilan tugaydigan burchaklar. Esda tutingki, bularning barchasi biz \(\frac{\pi }{6}\) dan boshlaymiz, so'ngra \(n\) to'liq aylanishlari uchun soat miliga teskari yo'nalishda (\(n\) ijobiy) yoki soat yo'nalishi bo'yicha (\(n\) manfiy) aylanamiz. Xuddi shu narsani ikkinchi yechim uchun qilish mumkin.

Shunday qilib, birgalikda bu muammoning to'liq echimi

\[\begin{gather*}\frac{\pi }{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end{gather*}\]

Yakuniy fikr sifatida, ikkinchi yechimda \(n = - 1\) yordamida \( - \frac{\pi }{6}\) ni olishimiz mumkinligiga e'tibor bering.

Calculus kursida biz ko'pincha faqat ma'lum bir oraliqda tushadigan trig tenglamaning echimlari bilan qiziqamiz. Bunday muammoning birinchi bosqichi barcha mumkin bo'lgan echimlarni topishdir. Biz buni oldingi misolda qildik.

\[\begin{gather*}\frac{\pi }{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end{gather*}\]

Endi biz oraliqda yechimlarni topish uchun \(n\) qiymatlarini tanlashni boshlashimiz, ularni ulashimiz va bizga berilgan intervalga to‘g‘ri keladigan yechimlarni olishimiz kerak.

\(n=0\). \[\begin{align*}& \frac{\pi }{6} + 2\pi \,\left( 0 \right)\, = \frac{\pi }{6} < 2\pi \\ &\frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,\left( 0 \right) = \frac{{11\pi }}{6} < 2\pi \end{align*}\]

Endi e'tibor bering, agar biz \(n\) ning har qanday ijobiy qiymatini olsak, \(2\pi \) ning musbat karralarini musbat miqdorga qo'shamiz va bu bizni intervalimizning yuqori chegarasidan o'tib ketadi, shuning uchun \(n\) ning ijobiy qiymatini olishimiz shart emas.

Biroq, biz \(n\) ning ijobiy qiymatini qabul qilmasligimiz, \(n\) ning salbiy qiymatlariga ham qaramasligimiz kerak degani emas.

\(n=-1\). \[\begin{align*}& \frac{\pi }{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right)\, = - \frac{{11\pi }}{6} > - 2\pi \\ & \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,\left( { - 1} \right) = - \frac{\pi }{6} > - 2\pi \end{align*}\]

Ularning ikkalasi ham \( - 2\pi \) dan katta va yechimlar ham shunday, lekin agar boshqa \(2\pi \) ni olib tashlasak (i.e \(n = - 2\) dan foydalaning) biz yana intervaldan tashqarida bo'lamiz, shuning uchun biz \([ - 2\pi ,2\pi ]\) oralig'ida joylashgan barcha mumkin bo'lgan echimlarni topdik.

Shunday qilib, echimlar: \(\frac{\pi }{6},\;\frac{{11\pi }}{6},\; - \frac{\pi }{6},\; - \frac{{11\pi }}{6}\).

Bu muammo juda muhim farq bilan ushbu bo'limdagi boshqa muammolarga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni birinchi misolda bo'lgani kabi boshlaymiz. Shunday qilib, birinchi navbatda sinusni bir tomondan o'z-o'zidan oling.

\[\begin{align*}2\sin (5x) & = - \sqrt 3 \\ \sin (5x) & = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Biz \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ni sinus funktsiyasidan chiqaradigan burchaklarni qidirmoqdamiz. Keling, yana ishonchli birlik doiramizga boraylik.

Endi, birinchi kvadrantda sinusi \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'lgan burchaklar yo'q. Biroq, birlik doirasining pastki yarmida ikkita burchak mavjud bo'lib, ular uchun sinus \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) qiymatiga ega bo'ladi. Xo'sh, bu burchaklar nima?

E'tibor bering, \(\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Buni hisobga olsak, uchinchi kvadrantdagi burchak \(\frac{\pi }{3}\) ostida bo'lishini endi bilamiz salbiy \(x\) o'qi yoki \(\pi + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3}\). Buni eslab qolishning oson usuli - biz \(x\) musbat o'qidan yarim inqilobga aylantirib, salbiy \(x\) o'qiga o'tishimizni va biz izlayotgan burchakka erishish uchun \(\frac{\pi }{3}\) ni qo'shishimizni payqashdir.

Xuddi shunday, to'rtinchi kvadrantdagi burchak \(\frac{\pi }{3}\) ostida bo'ladi ijobiy \(x\) o'qi. Shunday qilib, biz \( - \frac{\pi }{3}\) yoki \(2\pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{3}\) dan foydalanishimiz mumkin. Esda tutingki, biz odatda 0 va \(2\pi \) orasidagi ijobiy burchaklarni qidiramiz, shuning uchun biz ijobiy burchakdan foydalanamiz. Bu erda ijobiy burchakni qanday eslab qolishning oson yo'li - ijobiy \(x\) o'qidan bir to'liq inqilobni aylantirishdir (i.e. \(2\pi \)) va keyin o'chirish (i.e. ayirish) \(\frac{\pi }{3}\).

Endi biz ushbu muammo va ushbu bo'limdagi oldingi muammolar o'rtasidagi juda muhim farqga keldik. Yechim shunday EMAS

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Bu yechimlar to'plami emas, chunki biz \(\sin \left( x \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) uchun \(x\) qiymatlarini qidirmayapmiz, aksincha biz \(\sin \left( {5x} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) uchun \(x\) qiymatlarini qidirmoqdamiz. Sinus funksiyasining argumentlaridagi farqga e'tibor bering! Ulardan biri \(x\), ikkinchisi esa \(5x\). Bu yechim topishda dunyodagi barcha farqlarni keltirib chiqaradi! Shuning uchun, yechimlar to'plami

\[\begin{align*}5x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 5x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Xo'sh, aslida, bu to'liq yechim emas. Biz \(x\) qiymatlarini qidirmoqdamiz, shuning uchun olish uchun hamma narsani 5 ga bo'ling.

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

E'tibor bering, biz \(2\pi n\) ni ham 5 ga bo'ldik! Bu muhim! Agar biz buni qilmasak BO'LADI yechimlarni o'tkazib yuborish. Masalan, \(n = 1\) ni oling.

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{10\pi }}{{15}} = \frac{{2\pi }}{3} & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.5in}\sin \left( {5\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{{10\pi }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{11\pi }}{{15}} & \hspace{0.25in} & \Rightarrow \hspace{0.5in}\sin \left( {5\left( {\frac{{11\pi }}{{15}}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{{11\pi }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Ular yechim ekanligini ko‘rsatgan ishimizni tekshirishni sizga qoldiramiz. Biroq, bu fikrni keltirib chiqaradi. Agar siz \(2\pi n\) ni 5 ga bo'lmasangiz, bu echimlarni o'tkazib yuborgan bo'lar edingiz!

OK, endi biz barcha mumkin bo'lgan echimlarni oldik, endi berilgan oraliqda echimlarni topish vaqti keldi. Biz buni avvalgi masalada qilganimizdek qilamiz. \(n\) qiymatlarini tanlang va yechimlarni oling.

\(n = 0\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 0 \right)}}{5} = \frac{{4\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 0 \right)}}{5} = \frac{\pi }{3} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 1\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 1 \right)}}{5} = \frac{{2\pi }}{3} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 1 \right)}}{5} = \frac{{11\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 2\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 2 \right)}}{5} = \frac{{16\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 2 \right)}}{5} = \frac{{17\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 3\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 3 \right)}}{5} = \frac{{22\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 3 \right)}}{5} = \frac{{23\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 4\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 4 \right)}}{5} = \frac{{28\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 4 \right)}}{5} = \frac{{29\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 5\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 5 \right)}}{5} = \frac{{34\pi }}{{15}} > 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 5 \right)}}{5} = \frac{{35\pi }}{{15}} > 2\pi \end{align*}\]

Xo'sh, biz nihoyat intervalimizning to'g'ri yakuniy nuqtasidan o'tdik, shuning uchun bizga boshqa ijobiy narsalar kerak emas n. Keling, salbiy \(n\) ni ko'rib chiqaylik va bizda nima borligini bilib olaylik.

\(n = ­­–1 \). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { - 1} \right)}}{5} = - \frac{{2\pi }}{{15}} > - \pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( { - 1} \right)}}{5} = - \frac{\pi }{{15}} > - \pi \end{align*}\] \(n = ­­–2\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { - 2} \right)}}{5} = - \frac{{8\pi }}{{15}} > - \pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( { - 2} \right)}}{5} = - \frac{{7\pi }}{{15}} > - \pi \end{align*}\] \(n = ­­–3\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { - 3} \right)}}{5} = - \frac{{14\pi }}{{15}} > - \pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( { - 3} \right)}}{5} = - \frac{{13\pi }}{{15}} > - \pi \end{align*}\] \(n = ­­–4\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { - 4} \right)}}{5} = - \frac{{4\pi }}{3} < - \pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( { - 4} \right)}}{5} = - \frac{{19\pi }}{{15}} < - \pi \end{align*}\]

Va endi biz intervalning chap chegarasidan o'tdik. Ba'zan, bu misolda bo'lgani kabi, ko'plab echimlar bo'ladi. Bularning barchasini jamlash berilgan oraliqda joylashgan quyidagi yechimlar to‘plamini beradi.

\[\begin{align*} & \frac{{4\pi }}{{15}},\frac{\pi }{3},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{11\pi }}{{15}},\frac{{16\pi }}{{15}},\frac{{17\pi }}{{15}},\frac{{22\pi }}{{15}},\frac{{23\pi }}{{15}},\frac{{28\pi }}{{15}},\frac{{29\pi }}{{15}}\\ & - \frac{\pi }{{15}}, - \frac{{2\pi }}{{15}}, - \frac{{7\pi }}{{15}}, - \frac{{8\pi }}{{15}}, - \frac{{13\pi }}{{15}}, - \frac{{14\pi }}{{15}}\end{align*}\]

Bu muammo avvalgilaridan bir oz farq qiladi. Birinchidan, biz biroz qayta tartibga solish va soddalashtirishimiz kerak.

\[\begin{align*}\sin (2x) & = - \cos (2x)\\ \frac{{\sin (2x)}}{{\cos (2x)}} & = - 1\\ \tan \left( {2x} \right) & = - 1\end{align*}\]

Demak, \(\sin (2x) = - \cos (2x)\) ni yechish \(\tan (2x) = - 1\) ni yechish bilan bir xil. Umid qilamizki, siz eslaysiz, u -1 ga teng bo'lgan eng kichik musbat burchak \(\frac{{3\pi }}{4}\) va bu burchak 2 ga teng.^nd kvadrant.

Tangensi -1 bo'ladigan ikkinchi burchak ham bor va biz bu ikkinchi burchakni tasvirlash uchun birlik aylanasidan foydalanishimiz mumkin. Keling, quyidagi birlik doirasini ko'rib chiqaylik.

Ushbu birlik doirada ko'rsatilganidek, agar biz birinchi burchakka \(\pi \) ni qo'shsak, biz \(\frac{{3\pi }}{4} + \pi = \frac{{7\pi }}{4}\) ni olamiz va biz to'rtinchi kvadrantda joylashgan va qarama-qarshi belgilardan tashqari bir xil koordinatalarga ega bo'lgan burchakka ega bo'lamiz. Bu shuni anglatadiki, bu erda tangens ham -1 qiymatiga ega bo'ladi va ikkinchi burchak ham.

Bu tangens tenglamalarni yechishda doimo to'g'ri bo'ladi. Tenglamani yechish uchun bitta burchakka ega bo'lganimizdan keyin ikkinchi burchak har doim \(\pi \) va birinchi burchak bo'ladi.

Shunday qilib, barcha mumkin bo'lgan burchaklar,

\[\begin{align*}2x & = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 2x & = \frac{{7\pi }}{4} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Yoki 2 ga bo'linganda biz barcha mumkin bo'lgan echimlarni olamiz.

\[\begin{align*}x & = \frac{{3\pi }}{8} + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{7\pi }}{8} + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Endi berilgan oraliqda yotgan yechimlarni aniqlaymiz.

\(n = 0\). \[\begin{align*}x & = \frac{{3\pi }}{8} + \pi \left( 0 \right) = \frac{{3\pi }}{8} < \frac{{3\pi }}{2}\\ x & = \frac{{7\pi }}{8} + \pi \left( 0 \right) = \frac{{7\pi }}{8} < \frac{{3\pi }}{2}\end{align*}\] \(n = 1\). \[\begin{align*}x & = \frac{{3\pi }}{8} + \pi \left( 1 \right) = \frac{{11\pi }}{8} < \frac{{3\pi }}{2}\\ x & = \frac{{7\pi }}{8} + \pi \left( 1 \right) = \frac{{15\pi }}{8} > \frac{{3\pi }}{2}\end{align*}\]

Oldingi misoldan farqli o'laroq, ulardan faqat bittasi intervalda bo'ladi. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, shuning uchun har doim ma'lum bir \(n\) dan ikkala javob ham ishlashini kutmang. Bundan tashqari, biz \(n=2\)-ni birinchi bo'lib uning intervalda yoki tashqarida bo'lishini tekshirishimiz kerak. Bu oraliqdan tashqarida ekanligini tekshirishni sizga qoldiraman.

Keling, salbiy \(n\) ni tekshiramiz.

\(n = ­­–1\). \[\begin{align*}x & = \frac{{3\pi }}{8} + \pi \left( { - 1} \right) = - \frac{{5\pi }}{8} > - \frac{{3\pi }}{2}\\ x & = \frac{{7\pi }}{8} + \pi \left( { - 1} \right) = - \frac{\pi }{8} > - \frac{{3\pi }}{2}\end{align*}\] \(n = ­­–2\). \[\begin{align*}x & = \frac{{3\pi }}{8} + \pi \left( { - 2} \right) = - \frac{{13\pi }}{8} < - \frac{{3\pi }}{2}\\ x & = \frac{{7\pi }}{8} + \pi \left( { - 2} \right) = - \frac{{9\pi }}{8} > - \frac{{3\pi }}{2}\end{align*}\]

Shunga qaramay, bu erda faqat bittasi ishlaydi. \(n = ­­–3\) oraliqdan tashqari ikkita javob berishini tekshirish uchun buni sizga qoldiraman.

Yechimlarning to'liq ro'yxati keyin,

\[ - \frac{{9\pi }}{8}, - \frac{{5\pi }}{8}, - \frac{\pi }{8},\frac{{3\pi }}{8},\frac{{7\pi }}{8},\frac{{11\pi }}{8}\]

Ushbu misol sinus va kosinusning ba'zi xususiyatlarini eslatish uchun mo'ljallangan. Eslatib o'tamiz, \( - 1 \le \cos \left( \theta \right) \le 1\) va \( - 1 \le \sin \left( \theta \right) \le 1\). Shuning uchun, kosinus hech qachon 1 dan katta bo'lmagani uchun u 2 bo'lishi mumkin emas HECH YERIMLARI YO‘Q bu tenglamaga!

Shuni yodda tutish kerakki, barcha trig tenglamalar yechimga ega emas.