5.3-bo'lim: Ko'rib chiqish: xususiy qiymatlar va xos vektorlar
Agar chiziqli algebrani tez ko'rib chiqishdan hech narsa olmagan bo'lsangiz, ushbu bo'limni olishingiz kerak. Ushbu bo'limsiz siz ushbu bobdagi differensial tenglama ishlarini bajara olmaysiz.
Shunday qilib, keling, quyidagilardan boshlaylik. Agar \(n \times n\) matritsasini \(n \times 1\) vektoriga ko'paytirsak, biz yangi \(n \times 1\) vektorini qaytarib olamiz. Boshqacha aytganda,
\[A\,\vec \eta = \vec y\]Biz bilmoqchi bo'lgan narsa, quyidagilar sodir bo'lishi mumkinmi. Ko'paytirishdan yangi vektorni olish o'rniga, quyidagini olish mumkin:
\[\begin{equation}A\,\vec \eta = \lambda \vec \eta \label{eq:eq1} \end{equation} \]Boshqacha qilib aytganda, hech bo'lmaganda ma'lum \(\lambda \) va \(\vec \eta \) uchun matritsalarni ko'paytirish vektorni doimiyga ko'paytirish bilan bir xil bo'lishi mumkinmi? Albatta, agar javob yo'q bo'lsa, biz bu haqda gapirmagan bo'lardik. Shunday qilib, bu sodir bo'lishi mumkin, ammo \(\lambda \) yoki \(\vec \eta \) ning har qanday qiymati uchun bu sodir bo'lmaydi. Agar bizda bu ishlaydigan \(\lambda \) va \(\vec \eta \) bo'lsa (va ular har doim juft bo'ladi), biz \(\lambda\) deb ataymiz. xos qiymat \(A\) va \(\vec \eta \) an xos vektor of \(A\).
Shunday qilib, matritsa uchun xos qiymatlar va xos vektorlarni qanday topish mumkin? E'tibor bering, agar \(\vec \eta = \vec 0\), \(\eqref{eq:eq1}\) har qanday \(\lambda \) qiymati uchun to'g'ri bo'ladi va shuning uchun biz \(\vec \eta \ne \vec 0\) deb taxmin qilamiz. Buning uchun keling, \(\eqref{eq:eq1}\)-ni biroz qayta yozamiz.
\[\begin{align*}A\vec \eta - \lambda \vec \eta & = \vec 0\\ A\vec \eta - \lambda {I_n}\vec \eta & = \vec 0\\ \left( {A - \lambda {I_n}} \right)\vec \eta & = \vec 0\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(\vec \eta \)-ni hisobga olishdan oldin biz mos o'lchamdagi identifikatsiya matritsasiga qo'shdik. Bu narsalarni bittaga ko'paytirishga teng va shuning uchun hech narsaning qiymatini o'zgartirmaydi. Biz buni qilishimiz kerak edi, chunki usiz biz \(A\) matritsa va doimiy \(\lambda \) farqiga ega bo'lardik va buni amalga oshirish mumkin emas. Endi bizda bir xil o'lchamdagi ikkita matritsaning farqi bor, ularni bajarish mumkin.
Shunday qilib, bu qayta yozish bilan biz buni ko'ramiz
\[\begin{equation}\left( {A - \lambda {I_n}} \right)\vec \eta = \vec 0 \label{eq:eq2}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq1}\) ga teng. Matritsaning xos vektorlarini topish uchun bir jinsli tizimni yechishimiz kerak bo'ladi. ni eslang haqiqat oldingi bo'limdan biz bilamizki, bizda aynan bitta yechim (\(\vec \eta = \vec 0\)) yoki cheksiz ko'p nolga teng bo'lmagan yechimlar bo'ladi. Biz \(\vec \eta = \vec 0\) ni xohlamasligimizni allaqachon aytganimiz sababli, bu ikkinchi holatni xohlayotganimizni anglatadi.
Buni bilish bizga matritsa uchun xos qiymatlarni topish imkonini beradi. Shuni esda tutingki, biz ikkinchi holatni faqat tizimdagi matritsa birlik bo'lsagina olamiz. Shuning uchun biz oladigan \(\lambda \) qiymatlarini aniqlashimiz kerak,
\[\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0\]Xususiy qiymatlarga ega bo'lgach, biz orqaga qaytishimiz va har bir o'z qiymat uchun xos vektorlarni aniqlashimiz mumkin. Keling, xususiy qiymatlar va xos vektorlar haqida bir nechta tezkor faktlarni ko'rib chiqaylik.
Xarakteristik polinom
Agar \(A\) \(n \times n\) matritsasi bo'lsa, \(\det \left( {A - \lambda I} \right) = 0\) \(n^{\text{th}}\) darajali polinom hisoblanadi. Bu polinom deyiladi xarakterli polinom.
Matritsaning xos qiymatlarini topish uchun polinomni yechishimiz kifoya. Agar biz \(n\) ni kichik tutsak, bu unchalik yomon emas. Xuddi shunday, bu fakt \(n \times n\) matritsasi \(A\) uchun barcha takrorlangan xos qiymatlarni o'z ichiga olsak, bizda \(n\) xos qiymatlari bo'lishini aytadi.
Oddiy xos qiymatlar va ko'plik
Agar \({\lambda _{\,1}}, {\lambda _{\,2}}, \ldots ,{\lambda _{\,n}}\) \(A\) uchun xos qiymatlarning toʻliq roʻyxati boʻlsa (barcha takrorlangan xos qiymatlarni oʻz ichiga olgan holda), u holda,
- Agar \(\lambda \) ro'yxatda faqat bir marta bo'lsa, biz \(\lambda \) deb nomlaymiz oddiy.
- Agar \(\lambda \) ro'yxatda \(k>1\) marta uchrasa, biz \(\lambda \) ga ega deb aytamiz. ko'plik \(k\).
- Agar \({\lambda _{\,1}},{\lambda _{\,2}}, \ldots ,{\lambda _{\,k}}\) (\(k \le n\)) roʻyxatdagi oddiy xos qiymatlar boʻlsa, tegishli \({\vec \eta ^{\left( 1 \right)}}\), \({\vec \eta ^{\left( 2 \right)}}\), …, \({\vec \eta ^{\left( k \right)}}\) xos vektorlari boʻlsa, u holda xos vektorlarning barchasi chiziqli mustaqildir.
- Agar \(\lambda \) \(k > 1\) ko'plikning xos qiymati bo'lsa, \(\lambda \) 1 dan \(k\) gacha chiziqli mustaqil xos vektorlarga ega bo'ladi.
Bu faktlarning foydaliligi biz differensial tenglamalarga qaytganimizda ayon bo'ladi, chunki bu ishda biz chiziqli mustaqil yechimlarni xohlaymiz.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik, biz aslida xos qiymatlar va o'z vektorlarni qanday topishni ko'ramiz.
Yechim
Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - xususiy qiymatlarni topish. Bu bizga quyidagi matritsa kerakligini anglatadi,
\[A - \lambda I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&7\\{ - 1}&{ - 6}\end{array}} \right) - \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - \lambda }&7\\{ - 1}&{ - 6 - \lambda }\end{array}} \right)\]Xususan, bu matritsaning determinanti qayerda nolga teng ekanligini aniqlashimiz kerak.
\[\det \left( {A - \lambda I} \right) = \left( {2 - \lambda } \right)\left( { - 6 - \lambda } \right) + 7 = {\lambda ^2} + 4\lambda - 5 = \left( {\lambda + 5} \right)\left( {\lambda - 1} \right)\]Shunday qilib, bizda ushbu matritsa uchun ikkita oddiy xos qiymat bo'ladi: \({\lambda _{\,1}} = - 5\) va \({\lambda _{\,2}} = 1\). Endi biz ularning har biri uchun xos vektorlarni topishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi faktga ko'ra, ikkita xos vektor chiziqli mustaqil bo'lishi kerak.
Xususiy vektorlarni topish uchun biz shunchaki har bir xos qiymatni kiritamiz va hal qiling. Shunday qilib, keling, buni qilaylik.
\({\lambda _{\,1}} = - 5\) :
Bunday holda biz quyidagi tizimni hal qilishimiz kerak.
Eslatib o'tamiz, ushbu tizimni rasmiy ravishda hal qilish uchun biz quyidagi kengaytirilgan matritsadan foydalanamiz.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7&7&0\\{ - 1}&{ - 1}&0\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{7}{R_1} + {R_2}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}7&7&0\\0&0&0\end{array}} \right)\]Pastga tushirilganda, biz bitta tenglamani olishimizni ko'ramiz
\[7{\eta _1} + 7{\eta _2} = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\eta _1} = - {\eta _2}\]bu cheksiz ko'p echimlarni beradi. Bu kutilgan xatti-harakatlar. Esda tutingki, biz o'z qiymatlarini tanladik, shunda matritsa yagona bo'ladi va biz cheksiz ko'p echimlarni olamiz.
E'tibor bering, biz buni asl tizimdan aniqlashimiz mumkin edi. Bu har doim ham shunday bo'lmaydi, lekin \(2 \times 2\) holatida biz tizimdan bir qator ikkinchisining ko'paytmali bo'lishini ko'rishimiz mumkin va shuning uchun biz cheksiz echimlarga ega bo'lamiz. Shu vaqtdan boshlab biz bu holatlarda tizimlarni hal qilmaymiz. Biz to'g'ridan-to'g'ri tenglamaga o'tamiz va biz ushbu tenglama uchun ikkita qatordan birini ishlatishimiz mumkin.
Keling, xos vektorga qaytaylik, chunki biz shunga intilgan edik. Umuman olganda, xos vektor quyidagini qondiradigan har qanday vektor bo'ladi:
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\eta _2}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right)\hspace{0.25in},{\eta _2} \ne 0\]Buni olish uchun biz yuqorida topilgan tenglamaning yechimidan foydalandik.
Biz haqiqatan ham umumiy xos vektorni xohlamaymiz, shuning uchun biz ma'lum bir xos vektorni olish uchun \({\eta _{\,2}}\) qiymatini tanlaymiz. Biz har qanday narsani tanlashimiz mumkin (\({\eta _{\,2}} = 0\) dan tashqari), shuning uchun xos vektorni "yaxshi" qiladigan narsani tanlang. Shuni ham yodda tutingki, biz o'z vektor nolga teng emas deb taxmin qilganimiz sababli, biz nol bermaydigan qiymatni tanlashimiz kerak, shuning uchun biz bu holatda \({\eta _{\,2}} = 0\) dan qochishni xohlaymiz. Mana bu xos qiymatning xos vektori.
\[{\vec \eta ^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\mbox{using }}{\eta _2} = 1\]Endi biz buni ikkinchi xos qiymat uchun yana takrorlaymiz.
\({\lambda _{\,2}} = 1\) :
Biz bu qism bilan oldingi qismga qaraganda kamroq ish qilamiz. Biz quyidagi tizimni hal qilishimiz kerak.
Shubhasiz, ikkala qator ham bir-birining ko'paytmalari va shuning uchun biz cheksiz ko'p echimlarni olamiz. Ikkala qator bilan ishlashni tanlashimiz mumkin. Biz birinchisi bilan ishlaymiz, chunki atrofida juda ko'p minus belgilari bo'lmasligi uchun. Bu bizga beradi,
\[{\eta _1} + 7{\eta _2} = 0\hspace{0.25in}{\eta _1} = - 7{\eta _2}\]E'tibor bering, biz buni ikkita o'zgaruvchidan biri uchun hal qila olamiz. Biroq, keyinchalik ular bilan ishlashni ko'zlagan holda, imkon qadar ko'proq fraktsiyalardan qochishga harakat qilaylik. Xususiy vektor u holda,
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7{\eta _2}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right)\hspace{0.25in},{\eta _2} \ne 0\] \[{\vec \eta ^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}\\1\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\mbox{using }}{\eta _2} = 1\]Xulosa qilib aytganda, bizda bor
\[\begin{align*}{\lambda _1} & = - 5 & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 1 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\end{array}} \right)\\{\lambda _2} & = 1 & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 2 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7}\\1\end{array}} \right)\end{align*}\]E'tibor bering, ikkita xos vektor bashorat qilinganidek chiziqli mustaqildir.
Yechim
Ushbu matritsada kasrlar mavjud. Bu hayot, shuning uchun undan hayajonlanmang. Birinchidan, bizga xos qiymatlar kerak.
\[\begin{align*}\det \left( {A - \lambda I} \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \lambda }&{ - 1}\\{\frac{4}{9}}&{ - \frac{1}{3} - \lambda }\end{array}} \right|\\ & = \left( {1 - \lambda } \right)\left( { - \frac{1}{3} - \lambda } \right) + \frac{4}{9}\\ & = {\lambda ^2} - \frac{2}{3}\lambda + \frac{1}{9}\\ & = {\left( {\lambda - \frac{1}{3}} \right)^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\lambda _{1,2}} = \frac{1}{3}\end{align*}\]Demak, bu yerda ko‘plik 2 ning xos qiymati borga o‘xshaydi. Esda tutingki, atamaning kuchi ko'plik bo'ladi.
Keling, xos vektor(lar)ni topamiz. Bu birinchi misoldan biroz farq qiladi. Faqat bitta o'ziga xos qiymat bor, shuning uchun keling, buning uchun ishni qilaylik. Biz quyidagi tizimni hal qilishimiz kerak,
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{3}}&{ - 1}\\{\frac{4}{9}}&{ - \frac{2}{3}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\end{array}} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{R_1} = \frac{3}{2}{R_2}\]Demak, qatorlar bir-birining ko'paytmalari. Xususiy vektorni topish uchun biz ushbu misoldagi birinchi tenglama bilan ishlaymiz.
\[\frac{2}{3}{\eta _1} - {\eta _2} = 0\hspace{0.25in}{\eta _2} = \frac{2}{3}{\eta _1}\]Oxirgi misolda biz ularni imkon qadar "chiroyli" qilishni xohlayotganimizni eslang, shuning uchun agar imkon bo'lsa, kasrlardan qochish kerak. Ba'zan, bu holatda bo'lgani kabi, biz shunchaki qila olmaymiz, shuning uchun u bilan shug'ullanishimiz kerak. Bu holda xos vektor bo'ladi,
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{\frac{2}{3}{\eta _1}}\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _1} \ne 0\] \[{\vec \eta ^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _1} = 3\]E'tibor bering, bu holda o'zgaruvchini ehtiyotkorlik bilan tanlash orqali biz o'zimizdagi kasrdan xalos bo'ldik. Bu, umuman olganda, buni qilish yoki qilmaslik muhim emas. Biroq, biz differentsial tenglamalarga qaytganimizda, kasrlar bo'lmasa, bizga osonroq bo'ladi, shuning uchun biz odatda ushbu bosqichda ularni yo'q qilishga harakat qilamiz.
Bundan tashqari, bu holda biz faqat bitta (chiziqli mustaqil) xos vektorni olamiz. Biz \({\eta _{\,1}}\) ning turli qiymatlarini tanlab, boshqa xos vektorlarni olishimiz mumkin. Biroq, ularning har biri birinchi xos vektorga chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar bunga ishonchingiz komil bo'lmasa, sinab ko'ring. \({\eta _{\,1}}\) uchun ba'zi qiymatlarni tanlang va boshqa vektorni oling va ikkalasining chiziqli bog'liqligini tekshiring.
Yuqoridagi faktdan eslaylikki, \(k\) ko'plikning xos qiymati 1 dan \(k\) gacha chiziqli mustaqil xos vektorlarga ega bo'ladi. Bu holda biz bittasini oldik. Biz ishlayotgan \(2 \times 2\) matritsalarining aksariyati uchun shunday bo'ladi, garchi bunday bo'lishi shart emas. Ba'zida ikkitasini olishimiz mumkin.
Yechim
Shunday qilib, biz o'z qiymatlaridan boshlaymiz.
\[\begin{align*}\det \left( {A - \lambda I} \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4 - \lambda }&{ - 17}\\2&{2 - \lambda }\end{array}} \right|\\ & = \left( { - 4 - \lambda } \right)\left( {2 - \lambda } \right) + 34\\ & = {\lambda ^2} + 2\lambda + 26\end{align*}\]Bu faktor emas, shuning uchun kvadrat formuladan foydalanganda biz erishamiz,
\[{\lambda _{1,2}} = - 1 \pm 5i\]Bunday holda, biz o'z qiymat/o'z vektor muammolari bilan hayot haqiqati bo'lgan murakkab o'z qiymatlarini olamiz, shuning uchun ularga o'rganing.
Murakkab xos qiymatlar uchun xos vektorlarni topish avvalgi ikkita misol bilan bir xil, ammo bu biroz chigalroq bo'ladi. Shunday qilib, keling, buni qilaylik.
\({\lambda _{\,1}} = - 1 + 5\,i\) :
Bu safar biz hal qilishimiz kerak bo'lgan tizim
Endi qatorlar bir-birining ko'pligi aniq emas, lekin ular shunday. Bu holatda bizda,
\[{R_1} = - \frac{1}{2}\left( {3 + 5i} \right){R_2}\]Bu sizni tashvishga soladigan narsa emas, biz shunchaki fikrni aytmoqchi edik. Keyinchalik differensial tenglamalar bilan bajaradigan ish uchun biz hamma narsani to'g'ri bajardik va bizda bir-biriga karrali ikkita qator bor deb hisoblaymiz. Shuning uchun, bu erda qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa qatorlardan birini tanlash va u bilan ishlashdir.
Bu safar biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz.
\[2{\eta _1} + \left( {3 - 5i} \right){\eta _2} = 0\]Endi biz ikkita o'zgaruvchidan birini hal qilishimiz mumkin. Biroq, yana differensial tenglamalarni intiqlik bilan kutar ekanmiz, biz hisoblagichga “\(i\)” kerak bo'ladi, shuning uchun tenglamani shunday hal qiling. Buni qilish,
\[\begin{align*}2{\eta _1} & = - \left( {3 - 5i} \right){\eta _2}\\ {\eta _1} & = - \frac{1}{2}\left( {3 - 5i} \right){\eta _2}\end{align*}\]Demak, bu holda xos vektor
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{2}\left( {3 - 5i} \right){\eta _2}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _2} \ne 0\] \[{\vec \eta ^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + 5i}\\2\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _2} = 2\]Oldingi misolda bo'lgani kabi biz kasrni tozalash uchun o'zgaruvchining qiymatini tanlaymiz.
Endi ikkinchi xos vektor uchun ish deyarli bir xil va shuning uchun biz bu haqda ko'p to'xtalmaymiz.
\({\lambda _{\,2}} = - 1 - 5\,i\) :
Bu erda biz hal qilishimiz kerak bo'lgan tizim
Ikkinchi qator bilan ishlash yana beradi,
\[2{\eta _1} + \left( {3 + 5i} \right){\eta _2} = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\eta _1} = - \frac{1}{2}\left( {3 + 5i} \right){\eta _2}\]Bu holda xos vektor
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{2}\left( {3 + 5i} \right){\eta _2}}\\{{\eta _2}}\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _2} \ne 0\] \[{\vec \eta ^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 - 5i}\\2\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _2} = 2\]Xulosa qilish,
\[\begin{align*}{\lambda _{\,1}} & = - 1 + 5i & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 1 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + 5i}\\2\end{array}} \right)\\ {\lambda _{\,2}} & = - 1 - 5i & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 2 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 - 5i}\\2\end{array}} \right)\end{align*}\]Murakkab xos qiymatlarni olganimizda ishni soddalashtirish uchun foydalanishimiz mumkin bo'lgan yoqimli fakt bor. Biroq, avvalo, bizga biroz terminologiya kerak.
Agar kompleks sondan boshlasak,
\[z = a + bi\]keyin murakkab konjugat of \(z\) is
\[\overline{z} = a - bi\]Kompleks sonning kompleks konjugatini hisoblash uchun “\(i\)” ni o‘z ichiga olgan atamadagi belgini o‘zgartirish kifoya. Vektorning murakkab konjugati bu vektor komponentlarining har birining konjugatidir.
Endi bizda murakkab xos qiymatlar va xos vektorlar haqida quyidagi fakt mavjud.
Murakkab xos qiymatlar konjugat juftlikda keladi
Agar \(A\) faqat haqiqiy raqamlarga ega \(n \times n\) matritsasi bo'lsa va \({\lambda _{\,1}} = a + bi\) \({\vec \eta ^{\left( 1 \right)}}\) xos vektorli xos qiymat bo'lsa. U holda \({\lambda _{\,2}} = \overline {{\lambda _{\,1}}} = a - bi\) ham xos qiymat va uning xos vektori \({\vec \eta ^{\left( 1 \right)}}\) konjugatidir.
Bu fakt siz bizning ishimizda kerak bo'lganda foydalanishingiz mumkin bo'lgan narsadir.
Endi biz bitta yakuniy xususiy qiymat/o'z vektor muammosini hal qilishimiz kerak. Shu paytgacha biz faqat \(2 \times 2\) matritsalari bilan ishladik va hech bo'lmaganda \(2 \times 2\) bo'lmagan bittasini ishlashimiz kerak. Bundan tashqari, biz bir nechta chiziqli mustaqil xos vektorga ega bo'lgan birdan katta ko'paytmaning xos qiymatini oladigan tarzda ishlashimiz kerak.
Yechim
Bu \(3 \times 3\) matritsasi bo'lishiga qaramay, u hali ham biz ishlagan \(2 \times 2\) matritsalari bilan bir xil ishlaydi. Shunday qilib, shaxsiy qiymatlardan boshlang
\[\begin{align*}\det \left( {A - \lambda I} \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \lambda }&1&1\\1&{ - \lambda }&1\\1&1&{ - \lambda }\end{array}} \right|\\ & = - {\lambda ^3} + 3\lambda + 2\\ & = \left( {\lambda - 2} \right){\left( {\lambda + 1} \right)^2}\hspace{0.25in}{\lambda _1} = 2,\,\,\,{\lambda _{2,3}} = - 1\end{align*}\]Shunday qilib, bizda oddiy xos qiymat va ko‘plikning xos qiymati 2 bor. E’tibor bering, biz \(3 \times 3\) matritsasining determinantini hisoblashda avvalgi bobda foydalanganimiz bilan bir xil usuldan foydalanganmiz. Biz shunchaki ishni ko'rsatmadik.
Endi xos vektorlarni olamiz. Biz oddiy xos vektordan boshlaymiz.
\({\lambda _{\,1}} = 2\) :
Bu erda biz hal qilishimiz kerak,
Bu safar, biz ilgari ishlagan \(2 \times 2\) holatlaridan farqli o'laroq, biz tizimni hal qilishimiz kerak. Shunday qilib, keling, buni qilaylik.
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1&1&0\\1&{ - 2}&1&0\\1&1&{ - 2}&0\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} \leftrightarrow {R_2}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}&1&0\\{ - 2}&1&1&0\\1&1&{ - 2}&0\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} + 2{R_1}}\\{{R_3} - {R_1}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}&1&0\\0&{ - 3}&3&0\\0&3&{ - 3}&0\end{array}} \right)\] \[\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{3}{R_2}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}&1&0\\0&1&{ - 1}&0\\0&3&{ - 3}&0\end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}}{{R_3} - 3{R_2}}\\{{R_1} + 2{R_2}}\\ \Rightarrow \end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&{ - 1}&0\\0&1&{ - 1}&0\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]Tenglamalarga qaytsak,
\[\begin{align*}{\eta _1} - {\eta _3} & = 0 & \Rightarrow \hspace{0.25in}{\eta _1} & = {\eta _3}\\ {\eta _2} - {\eta _3} & = 0 & \Rightarrow \hspace{0.25in}{\eta _2} & = {\eta _3}\end{align*}\]Shunday qilib, biz yana xos vektorlar uchun kerak bo'lgan cheksiz ko'p echimlarni olamiz. Xususiy vektor u holda,
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\\{{\eta _3}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _3}}\\{{\eta _3}}\\{{\eta _3}}\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _3} \ne 0\] \[{\vec \eta ^{\left( 1 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\1\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _3} = 1\]Keling, boshqa xos qiymatni qilaylik.
\({\lambda _{\,2}} = - 1\) :
Bu erda biz hal qilishimiz kerak,
Xo'sh, bu holda uchta qator bir xil ekanligi aniq va shuning uchun tizimni hal qilish uchun hech qanday sabab yo'q, chunki biz bir qadamda pastki ikki qatorni barcha nolga o'chirishimiz mumkin. Keyin biz oladigan tenglama,
\[{\eta _1} + {\eta _2} + {\eta _3} = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\eta _1} = - {\eta _2} - {\eta _3}\]Shunday qilib, bu holda biz ikkita qiymatni bepul tanlaymiz va hali ham cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lamiz. Bu holat uchun umumiy xos vektor,
\[\vec \eta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1}}\\{{\eta _2}}\\{{\eta _3}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\eta _2} - {\eta _3}}\\{{\eta _2}}\\{{\eta _3}}\end{array}} \right),\hspace{0.25in}{\eta _2} \ne 0\text{ va }{\eta _3} \ne 0{\mbox{ at the same time}}\]Bu safar cheklovga e'tibor bering. Eslatib o'tamiz, biz faqat xos vektor nol vektor bo'lmasligini talab qilamiz. Bu shuni anglatadiki, biz ikkita o'zgaruvchidan biri yoki boshqasi nolga teng bo'lishiga ruxsat berishimiz mumkin, biz ikkalasini bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishiga ruxsat bera olmaymiz!
Bu biz uchun nimani anglatadi, biz bu safar ikkita chiziqli mustaqil xususiy vektorni olamiz. Mana ular.
\[{\vec \eta ^{\left( 2 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\0\\1\end{array}} \right)\hspace{0.25in}{\eta _2} = 0\text{ va }{\eta _3} = 1\] \[{\vec \eta ^{\left( 3 \right)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right)\hspace{0.25in}{\eta _2} = 1\text{ va }{\eta _3} = 0\]Endi biz oxirgi marta chiziqli mustaqil vektorlar haqida gapirganimizda bo'limi Biz faqat \(n\) vektorlarini har biri \(n\) komponentlariga qaradik. Biroq, bu holatda biz hali ham chiziqli mustaqillik haqida gapirishimiz mumkin. Eslab qoling orqaga Biz funktsiyalar uchun chiziqli mustaqillikni amalga oshirdik, agar ikkita funktsiya chiziqli bog'liq bo'lsa, ular bir-birining ko'paytmalari ekanligini ko'rdik. Xuddi shu narsa vektorlar uchun ham amal qiladi. Ikki vektor bir-birining karrali bo'lsa, chiziqli bog'liq bo'ladi. Bu holda \({\vec \eta ^{\left( 3 \right)}}\) ni doimiyga ko'paytirish orqali \({\vec \eta ^{\left( 2 \right)}}\) ni olishning hech qanday usuli yo'q. Shuning uchun bu ikki vektor chiziqli mustaqil bo'lishi kerak.
Xulosa qilib aytganda, bu matritsa uchun xos qiymatlar va xos vektorlar.
\[\begin{align*}{\lambda _1} & = 2 & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 1 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\1\end{array}} \right)\\ {\lambda _2} & = - 1 & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 2 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\0\\1\end{array}} \right)\\ {\lambda _3} & = - 1 & \hspace{0.25in}{{\vec \eta }^{\left( 3 \right)}} & = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\1\\0\end{array}} \right)\end{align*}\]