12.13-bo'lim: Sferik koordinatalar
Ushbu bo'limda biz sferik koordinatalar bilan tanishamiz. Sferik koordinatalarga ko'nikish biroz vaqt olishi mumkin. Ishni eskiz bilan boshlash eng osondir.
Sferik koordinatalar quyidagi uchta kattalikdan iborat.
Birinchidan, \(\rho \) mavjud. Bu boshlang'ich nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa va bizga \(\rho \ge 0\) kerak bo'ladi.
Keyinchalik \(\theta \) mavjud. Bu biz qutb/silindrik koordinatalarda ko'rgan burchak. Bu musbat \(x\) o'qi va yuqoridagi \(r\) bilan belgilangan chiziq orasidagi burchak (bu ham qutb/silindr koordinatalarida bo'lgani kabi bir xil \(r\)). \(\theta \)-da hech qanday cheklovlar yo'q.
Va nihoyat, \(\varphi \) mavjud. Bu musbat \(z\)-o'qi va boshlang'ichdan nuqtagacha bo'lgan chiziq orasidagi burchak. Bizga \(0 \le \varphi \le \pi \) kerak bo'ladi.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, \(\rho \) - boshlang'ich nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa, \(\varphi \) - musbat burchakdan pastga aylantirishimiz kerak bo'lgan burchak. z- nuqtaga erishish uchun o'q va \(\theta \) - bu nuqtaga borish uchun \(z\) o'qi atrofida qancha aylanishimiz kerak.
Avval ba'zi konvertatsiya formulalarini olishimiz kerak. Keling, avval sferik koordinatadagi nuqtadan boshlaymiz va nuqtaning silindrsimon koordinatalari nima ekanligini so'raymiz. Shunday qilib, biz \(\left( {\rho ,\theta ,\varphi } \right)\) ni bilamiz va \(\left( {r,\theta ,z} \right)\) ni topmoqchimiz. Albatta, biz faqat \(r\) va \(z\) ni topishimiz kerak, chunki \(\theta \) ikkala koordinata tizimida bir xil.
Agar yuqoridagi eskizga to'g'ridan-to'g'ri uchburchak oldida qarasak, biz quyidagi eskizni olamiz:
Biz \(z\) o'qi va \(\rho \) orasidagi burchak \(\varphi \) ekanligini bilamiz va ozgina geometriya bilan \(\rho \) va o'ng uchburchakning vertikal tomoni orasidagi burchak ham \(\varphi \) ekanligini bilamiz.
Keyin, bir oz to'g'ri burchakli uchburchak bilan biz olamiz,
\[\begin{align*}z & = \rho \cos \varphi \\ r & = \rho \sin \varphi \end{align*}\]va bu biz qidirgan formulalar. Shunday qilib, sferik koordinatalarda nuqta berilgan bo'lsa, nuqtaning silindrsimon koordinatalari quyidagicha bo'ladi:
Sferikdan silindrga aylantirish formulalari
Shuningdek, Pifagor teoremasidan biz ham olamiz,
Silindrsimon koordinatalar nuqtai nazaridan \(\rho \)
Keyinchalik, xuddi shu nuqtaning Dekart koordinatalarini topamiz. Buni amalga oshirish uchun biz silindrsimon konvertatsiya formulalaridan boshlaymiz oldingi bo'lim.
\[\begin{align*}x & = r\cos \theta \\ y & = r\sin \theta \\ z & = z\end{align*}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - yuqorida keltirilgan \(r\) va \(z\) formulalarini olish uchun,
Dekartdan sferikga aylantirish formulalari
Shuni ham yodda tutingki, biz \({r^2} = {x^2} + {y^2}\) ni olishimizni bilganimiz uchun,
\(\rho \) Dekart koordinatalari nuqtai nazaridan
Dekart yoki silindrsimon koordinatalardan nuqtalarni sferik koordinatalarga aylantirish odatda bir xil konvertatsiya formulalari bilan amalga oshiriladi. Bu qanday amalga oshirilganligini ko'rish uchun keling, har biriga misol keltiramiz.
- \(\displaystyle \left( {\sqrt 6 ,\frac{\pi }{4},\sqrt 2 } \right)\) nuqtasini silindrsimon koordinatadan sferik koordinataga aylantiring.
- \(\left( { - 1,1, - \sqrt 2 } \right)\) nuqtasini dekartdan sferik koordinatalarga aylantiring.
a \(\displaystyle \left( {\sqrt 6 ,\frac{\pi }{4},\sqrt 2 } \right)\) nuqtasini silindrsimon koordinatadan sferik koordinataga aylantiring. Yechim
Biz \(\theta \) ikkala koordinata tizimida bir xil ekanligini tan olishdan boshlaymiz va shuning uchun biz bu bilan hech narsa qilishimiz shart emas.
Keyin \(\rho \) ni topamiz.
\[\rho = \sqrt {{r^2} + {z^2}} = \sqrt {6 + 2} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \]Va nihoyat, \(\varphi \) ni olamiz. Buning uchun biz \(r\) yoki \(z\) konvertatsiyasidan foydalanishimiz mumkin. Biz \(z\) uchun konversiyadan foydalanamiz.
\[z = \rho \cos \varphi \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\cos \varphi = \frac{z}{\rho } = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\varphi = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{3}\]E'tibor bering, \(\varphi \) ning \(\cos \varphi = \frac{1}{2}\) ni beradigan ko'plab mumkin bo'lgan qiymatlari mavjud, ammo biz \(\varphi \) ni \(0 \le \varphi \le \pi \) diapazoniga cheklab qo'ydik va shuning uchun bu diapazondagi yagona mumkin bo'lgan qiymatdir.
Shunday qilib, bu nuqtaning sferik koordinatalari \(\left( {2\sqrt 2 ,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}} \right)\) bo'ladi.
b \(\left( { - 1,1, - \sqrt 2 } \right)\) nuqtasini dekartdan sferik koordinatalarga aylantiring. Yechim
Bu erda qiladigan birinchi narsa \(\rho \) ni topishdir.
\[\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = \sqrt {1 + 1 + 2} = 2\]Endi biz \(\varphi \) ni topishimiz kerak. Buni \(z\) konvertatsiyasi yordamida amalga oshirishimiz mumkin.
\[z = \rho \cos \varphi \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\cos \varphi = \frac{z}{\rho } = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\varphi = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4}\]Oxirgi qismlarda bo'lgani kabi, bu ruxsat etilgan diapazondagi yagona mumkin bo'lgan \(\varphi \) bo'ladi.
Nihoyat, \(\theta \) ni topamiz. Buning uchun biz \(x\) yoki \(y\) konvertatsiyasidan foydalanishimiz mumkin. Bu holda biz \(y\) uchun konversiyadan foydalanamiz.
\[\sin \theta = \frac{y}{{\rho \sin \varphi }} = \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\theta = \frac{\pi }{4}\,\,\text{yoki}\,\,\theta = \frac{{3\pi }}{4}\]Endi bizda \(\theta \) uchun ko‘proq imkoniyatlar mavjud, biroq ularning barchasi yuqoridagi ikkita burchakdan biriga qisqaradi, chunki ular birlik doirasi atrofida bir yoki bir nechta to‘liq aylanish qo‘shilgan bu ikki burchakdan faqat bittasi bo‘ladi.
Biroq, qaysi burchak to'g'ri ekanligini hal qilishimiz kerak, chunki faqat bittasi bo'ladi. Buni amalga oshirish uchun keling, ikki o'lchovda \(x = - 1\) va \(y = 1\) koordinatali nuqta ikkinchi kvadrantda yotadi. Bu shuni anglatadiki, \(\theta \) nuqtani ikkinchi kvadrantga qo'yadigan burchak bo'lishi kerak. Shuning uchun, ikkinchi burchak, \(\theta = \frac{{3\pi }}{4}\), to'g'ri bo'lishi kerak.
Bu nuqtaning sferik koordinatalari \(\left( {2,\frac{{3\pi }}{4},\frac{{3\pi }}{4}} \right)\).
Keling, ba'zi tenglamalarni ko'rib chiqamiz va ular ifodalovchi sirtlarni aniqlaymiz.
- \(\rho = 5\)
- \(\displaystyle \varphi = \frac{\pi }{3}\)
- \(\displaystyle \theta = \frac{{2\pi }}{3}\)
- \(\rho \sin \varphi = 2\)
a \(\rho = 5\) Yechim
Bu haqda o'ylashning bir necha yo'li bor.
Birinchidan, bu tenglama nimani bildirayotganini o'ylab ko'ring. Bu tenglamada aytilishicha, \(\theta \) va \(\varphi \) nima bo'lishidan qat'i nazar, koordinata boshigacha bo'lgan masofa 5 bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz \(z\) o'qidan uzoqroqqa va \(z\) o'qi atrofida xohlagancha aylana olamiz, lekin biz har doim boshlang'ichdan belgilangan masofada turishimiz kerak. Sfera aynan shu narsa. Demak, bu koordinatali radiusi 5 bo'lgan shar bo'lib, uning markazida joylashgan.
Bu haqda o'ylashning yana bir yo'li - shunchaki Dekart koordinatalariga aylantirish.
\[\begin{align*}\rho & = 5\\ {\rho ^2} & = 25\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} & = 25\end{align*}\]Albatta, radiusi 5 bo'lgan sfera boshlang'ich nuqtasida joylashgan.
b \(\displaystyle \varphi = \frac{\pi }{3}\) Yechim
Bunday holda, kartezian koordinatalariga aylantirishning oson yo'li yo'q, shuning uchun biz bu haqda biroz o'ylab ko'rishimiz kerak. Bu tenglama shuni ko'rsatadiki, biz boshlang'ichdan qanchalik uzoqda bo'lishimizdan va \(z\) o'qi atrofida qanchalik aylanmasligimizdan qat'iy nazar, nuqta doimo \(z\) o'qidan \(\frac{\pi }{3}\) burchak ostida bo'lishi kerak.
Konusda aynan shunday bo'ladi. Konusdagi barcha nuqtalar \(z\) o'qidan qattiq burchakdir. Shunday qilib, bizda barcha nuqtalari \(z\) o'qidan \(\frac{\pi }{3}\) burchak ostida joylashgan konus mavjud.
c \(\displaystyle \theta = \frac{{2\pi }}{3}\) Yechim
Oxirgi qismda bo'lgani kabi, biz bu erda dekart koordinatalarini osongina o'zgartira olmaymiz. Bunday holda, biz boshlang'ichdan qanchalik uzoqda bo'lishimizdan yoki musbat \(z\) o'qidan qanchalik pastga aylanmasligimizdan qat'i nazar, nuqtalar doimo \(x\) o'qi bilan \(\frac{{2\pi }}{3}\) burchak hosil qilishi kerak.
Vertikal tekislikdagi nuqtalar buni amalga oshiradi. Shunday qilib, bizda musbat \(x\) o'qi bilan \(\frac{{2\pi }}{3}\) burchagini tashkil etuvchi vertikal tekislik mavjud.
d \(\rho \sin \varphi = 2\) Yechim
Bu holda biz Kartezian koordinatalariga o'zgartirishimiz mumkin, shuning uchun buni qilaylik. Ushbu konvertatsiya qilishning aslida ikkita usuli mavjud. Biz ikkalasini ham ko'rib chiqamiz, chunki ikkalasi ham vaqti-vaqti bilan ishlatiladi.
Yechim 1
Ushbu yechim usulida biz to'g'ridan-to'g'ri Dekart koordinatalariga aylantiramiz. Buning uchun birinchi navbatda tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solishimiz kerak.
Endi hech qanday sababsiz \({\rho ^2}{\cos ^2}\varphi \) ni ikkala tomonga qo'shing.
\[\begin{align*}{\rho ^2}{\sin ^2}\varphi + {\rho ^2}{\cos ^2}\varphi & = 4 + {\rho ^2}{\cos ^2}\varphi \\ {\rho ^2}\left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right) & = 4 + {\rho ^2}{\cos ^2}\varphi \\ {\rho ^2} & = 4 + {\left( {\rho \cos \varphi } \right)^2}\end{align*}\]Endi biz kartezian koordinatalariga o'tishimiz mumkin.
\[\begin{align*}{x^2} + {y^2} + {z^2} & = 4 + {z^2}\\ {x^2} + {y^2} & = 4\end{align*}\]Shunday qilib, bizda \(z\) o'qida joylashgan 2 radiusli silindr mavjud.
Ushbu yechim usuli unchalik yomon emas edi, lekin uni bajarish uchun unchalik aniq bo'lmagan qadamlar kerak edi.
Yechim 2
Bu usul ancha qisqaroq, lekin siz birinchi marta ko'rmasligingiz mumkin bo'lgan narsalarni ham o'z ichiga oladi. Bunday holda, to'g'ridan-to'g'ri Dekart koordinatalariga o'tish o'rniga, biz avval silindrsimon koordinatalarga o'tamiz.
Bu har doim ham ishlamaydi, lekin bu holda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(r = \rho \sin \varphi \) ekanligini tan olish va biz tanib oladigan narsani olamiz. Buning yordamida biz olamiz,
\[\begin{align*}\rho \sin \varphi & = 2\\ r & = 2\end{align*}\]Ayni paytda biz bu silindr ekanligini bilamiz (esda tutingki, biz uch o'lchamdamiz va shuning uchun bu aylana emas!). Biroq, keling, konvertatsiya jarayonini davom ettiramiz.
\[\begin{align*}{r^2} & = 4\\ {x^2} + {y^2} & = 4\end{align*}\]Shunday qilib, oldingi misolning oxirgi qismida ko'rganimizdek, shunday bo'ladi ba'zan sferik koordinatalardagi tenglamalarni dekart koordinatalariga aylantirishdan oldin silindrsimon koordinatalarga aylantirish osonroq bo'ladi. Bu har doim ham oson bo'lmaydi, lekin ba'zi konvertatsiyalarni tezroq va osonlashtirishi mumkin.
Ushbu bo'limda biz qilmoqchi bo'lgan oxirgi narsa - oldingi misolning dastlabki uch qismini umumlashtirish.
\[\begin{align*}\rho & = a\hspace{0.5in}{\mbox{sphere of radius }}a{\mbox{ centered at the origin}}\\ \varphi & = \alpha \hspace{0.5in}{\mbox{cone that makes an angle of }}\alpha {\mbox{ with the positive }}z - {\mbox{axis}}\\ \theta & = \beta \hspace{0.5in}{\mbox{vertical plane that makes an angle of }}\beta {\mbox{ with the positive }}x - {\mbox{axis}}\end{align*}\]