MathModel.uz platformasiga xush kelibsiz! Bu yerda Oliy algebra, Calculus (Calculus I, II va III) hamda Differensial tenglamalar kurslari bo'yicha to'liq, tizimli va bepul onlayn o'quv qo'llanmalari, batafsil yechimlarga ega amaliy mashqlar hamda qo'shimcha foydali materiallar to'plami jamlangan.
Ushbu o'quv materiallari oliy matematikani mustaqil va chuqur o'rganishni istagan har bir talaba, muhandis hamda o'rganuvchi uchun imkon qadar sodda, ravon va mantiqiy ketma-ketlikda yozilgan. Har bir kurs standart dastlabki tayyorgarlik poydevoriga tayanadi: masalan, Calculus I darslaridan unumli foydalanish uchun Oliy algebra va Trigonometriyani bilish, Calculus II ni o'qishdan oldin esa Calculus I ni o'zlashtirgan bo'lish ko'zda tutilgan. Har bir kurs uchun zarur bo'lgan dastlabki bilimlar quyidagi tavsiflarda batafsil bayon etilgan.
Platformada hozirda Oliy algebra, Calculus I, Calculus II, Calculus III hamda Differensial tenglamalar kurslari to'liq qamrab olingan. Shuningdek, talabalar uchun Oliy algebra va Trigonometriyani takrorlash, Kompleks sonlar kursi, Matematikadagi keng tarqalgan xatolar hamda Matematikani samarali o'rganish bo'yicha maxsus qo'llanmalar joylashtirilgan.
Oliy algebra va barcha Calculus kurslarida bosqichma-bosqich, qadamma-qadam tushuntirilgan amaliy mashqlar yechimlari taqdim etilgan. Har bir bo'limda nazariyani chuqur anglashga yordam beruvchi misollar tahlil qilingan. Amaliy mashqlarga o'tish uchun mavzu sahifasidagi Amaliy mashqlar tugmasini bosing.
Differensial tenglamalar kursi uchun ham amaliy mashqlar va ularning batafsil yechimlari muntazam boyitib borilmoqda. Shuningdek, o'qituvchilar va mustaqil bilimini sinovchilar uchun yechimlari ko'rsatilmagan Vazifa topshiriqlari ham mavjud.
Platformadagi barcha materiallar qulay navigatsiya, formulalarning toza va sifatli ifodalanishi hamda o'qish uchun maksimal qulaylik yaratish maqsadida optimallashtirilgan.
Quyida platformada mavjud bo'lgan barcha fanlar ro'yxati va ularning batafsil mazmuni keltirilgan.
Kurs mavzulari
Oliy algebra (Algebra)
Oliy algebra kursi sizning algebra asoslaridan xabardor ekanligingizni nazarda tutadi. Xususan, darajalar va ko'paytuvchilarga ajratish bo'limlari siz uchun asosiy poydevorni mustahkamlash vazifasini o'taydi. Shuningdek, tenglamalar grafigini chizishning asoslari bilan tanish ekanligingiz ko'zda tutilgan. Turli xil tenglamalarning grafiklarini chizish darslikda batafsil yoritilgan bo'lib, tekislikdagi to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasini bilishingiz kifoya qiladi.
- Boshlang'ich tushunchalar - Daraja xossalari, Ratsional darajalar, Manfiy darajalar, Radikallar (ildizlar), Ko'phadlar, Ko'paytuvchilarga ajratish, Ratsional ifodalar, Kompleks sonlar
- Tenglama va tengsizliklarni yechish - Chiziqli tenglamalar, Kvadrat tenglamalar, To'la kvadratga ajratish, Kvadrat tenglama formulasi, Chiziqli va kvadrat tenglamalarning amaliy tatbiqlari, Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar, Ildizli tenglamalar, Chiziqli tengsizliklar, Ko'phad va ratsional tengsizliklar, Modulli tenglama va tengsizliklar.
- Grafiklar va funksiyalar - To'g'ri chiziq, aylana va bo'lakli funksiyalar grafiklari, Funksiya ta'rifi, Funksiya belgilanishi, Murakkab funksiya (funksiyalar kompozitsiyasi), Teskari funksiyalar.
- Keng tarqalgan grafiklar - Parabolalar, Ellipslar, Giperbolalar, Modul funksiyasi, Kvadrat ildiz funksiyasi, O'zgarmas funksiya, Ratsional funksiyalar, Grafikni parallel ko'chirish, simmetrik akslantirish.
- Ko'phad funksiyalar - Ko'phadlarni bo'lish, Ko'phad nollari (ildizlari), Ko'phad nollarini topish usullari, Ko'phadlar grafigi, Qisqa kasrlarga ajratish.
- Ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalar - Ko'rsatkichli funksiyalar, Logarifmik funksiyalar, Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish, Logarifmik tenglamalarni yechish, Amaliy tatbiqlar.
- Tenglamalar sistemalari - O'rniga qo'yish usuli, Qo'shish (algebraik yo'qotish) usuli, Kengaytirilgan matritsa usuli, Nochiziqli tenglamalar sistemalari.
Calculus I
Calculus I kursi Oliy algebra va Trigonometriyadan yetarli amaliy bilimga ega ekanligingizni nazarda tutadi. Dastlabki bo'limlarda algebra va trigonometriyaning ayrim muhim mavzulari qisqacha takrorlanadi, biroq talabadan mustahkam matematik baza talab qilinadi. Ushbu kurs Calculus bo'yicha oldindan maxsus bilimlarni talab qilmaydi va tushunchalar noldan tushuntiriladi.
- Algebra va Trigonometriyani takrorlash - Trigonometrik funksiyalar va tenglamalar, Ko'rsatkichli funksiyalar va tenglamalar, Logarifmik funksiyalar va tenglamalar.
- Limitlar - Limit tushunchasi, Qat'iy ta'rif, Limitlarni hisoblash, Bir tomonlama limitlar, Funksiya uzluksizligi, Cheksizlik qatnashgan limitlar, Lopital qoidasi.
- Hosilalar - Hosila ta'rifi, Hosilaning geometrik va fizik ma'nosi, Differensiallash formulalari, Daraja qoidasi, Ko'paytma qoidasi, Bo'linma qoidasi, Zanjir qoidasi (murakkab funksiya hosilasi), Yuqori tartibli hosilalar, Oshkormas funksiya hosilasi, Logarifmik differensiallash, Trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik, teskari trigonometrik va giperbolik funksiyalar hosilalari.
- Hosilaning tatbiqlari - Bog'liq tezliklar (Related Rates), Kritik nuqtalar, Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari, O'suvchi va kamayuvchi funksiyalar, Burilish nuqtalari, Qavariqlik va botiqlik, Optimallashtirish masalalari.
- Integrallash - Boshlang'ich funksiya va aniqmas integral, Aniq integral, O'rniga qo'yish qoidasi, Aniq integrallarni hisoblash, Nyu-ton-Leybnits formulasi (Calculusning asosiy teoremasi).
- Integrallarning tatbiqlari - Funksiyaning o'rtacha qiymati, Egri chiziqlar orasidagi yuza, Aylanish jismlari hajmi, Fizikada bajarilgan ish.
Calculus II
Calculus II kursi Calculus I kursini (limitlar, hosilalar va asosiy integrallash qoidalarini) to'liq o'zlashtirganingizni nazarda tutadi. Shuningdek, trigonometriyani puxta bilish juda muhim, chunki ko'plab integrallash usullari va almashtirishlar trigonometrik ifodalarga asoslanadi.
- Integrallash usullari - Bo'laklab integrallash, Trigonometrik funksiyalar qatnashgan integrallar, Trigonometrik almashtirishlar, Qisqa kasrlar yordamida integrallash, Ildiz qatnashgan integrallar, Kvadrat uchhadli integrallar, Integrallash strategiyasi, Xosmas integrallar, Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari, Aniq integrallarni taqribiy hisoblash.
- Integrallarning tatbiqlari - Yoy uzunligi, Aylanish sirtining yuzi, Og'irlik markazi (sentroid), Gidrostatik bosim va kuch, Ehtimollik nazariyasi tatbiqlari.
- Parametrik tenglamalar va qutb koordinatalari - Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar, Parametrik koordinatalarda analiz (urinmalar, yuzalar, yoy uzunligi), Qutb koordinatalari sistemasi, Qutb koordinatalarida analiz (urinmalar, yuzalar, yoy uzunligi).
- Ketma-ketliklar va qatorlar - Sonli ketma-ketliklar, Sonli qatorlar, Qatorlarning yaqinlashuvchanligi va uzoqlashuvchanligi, Absolyut yaqinlashish, Integral alomati, Taqqoslash alomati, Limitli taqqoslash alomati, Leybnits alomati (ishorasi almashinuvchi qatorlar), Dalamber alomati, Koshi alomati, Qator qoldig'ini baholash, Darajali qatorlar, Teylor va Makloren qatorlari, Binomial qator.
- Vektorlar - Vektorlar asoslari, Vektor moduli, Birlik vektor, Vektor arifmetikasi, Skalyar ko'paytma, Vektor ko'paytma, Proyeksiyalar.
- Uch o'lchovli koordinatalar tizimi - Fazoda to'g'ri chiziq tenglamalari, Tekislik tenglamalari, Ikkinchi tartibli sirtlar, Ko'p o'zgaruvchili funksiyalar, Vektor-funksiyalar, Vektor-funksiyalarning limiti, hosilasi va integrali, Urinma, normal va binormal vektorlar, Egri chiziq egriligi, Silindrik koordinatalar, Sferik koordinatalar.
Calculus III
Calculus III kursi bir o'zgaruvchili Calculus I hamda vektorlar, parametrik tenglamalar va uch o'lchovli fazo geometriyasini (Calculus II) chuqur bilishni talab qiladi. Kurs ko'p o'zgaruvchili funksiyalar tahlili va maydonlar nazariyasiga bag'ishlangan.
- Uch o'lchovli koordinatalar tizimi - Fazodagi to'g'ri chiziq va tekislik tenglamalari, Ikkinchi tartibli sirtlar, Vektor-funksiyalar va ularning tahlili, Silindrik va sferik koordinatalar.
- Xususiy hosilalar - Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning limiti, Xususiy hosilalar, Yuqori tartibli xususiy hosilalar, To'liq differensial, Murakkab funksiyani differensiallash, Yo'nalish bo'yicha hosila, Gradient vektori.
- Xususiy hosilalarning tatbiqlari - Urinma tekislik va sirtga normal to'g'ri chiziq, Nisbiy va absolyut ekstremumlar, Optimallashtirish masalalari, Lagranj ko'paytuvchilari usuli.
- Karrali integrallar - Takroriy integrallar, Ikki karrali integrallar, Qutb koordinatalarida ikki karrali integral, Uch karrali integrallar, Silindrik va sferik koordinatalarda uch karrali integral, O'zgaruvchilarni almashtirish (Yakobian), Sirt yuzi.
- Egri chiziqli integrallar - Vektor maydonlar, Yoy uzunligi bo'yicha egri chiziqli integral, Koordinatalar bo'yicha egri chiziqli integral, Vektor maydonning egri chiziqli integrali, Egri chiziqli integrallarning asosiy teoremasi, Potensialli (konservativ) vektor maydonlar, Grin formulasi, Vektor maydon rotori (curl) va divergentsiyasi.
- Sirt integrallari - Parametrik sirtlar, Birinchi tur sirt integrallari, Vektor maydonning ikkinchi tur sirt integrallari (oqim), Stoks teoremasi, Gauss-Ostrogradskiy (divergentsiya) teoremasi.
Differensial tenglamalar (Differential Equations)
Ushbu darslar differensial tenglamalar bo'yicha dastlabki bilimlarni talab qilmaydi. Biroq Calculusdan (differensiallash va integrallash usullaridan) mustahkam tushunchaga ega bo'lish zarur.
- Birinchi tartibli differensial tenglamalar - Chiziqli tenglamalar, O'zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar, To'liq differensialli tenglamalar, Muvozanatli yechimlar va fazaviy to'g'ri chiziq, Matematik modellashtirish masalalari.
- Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar - Bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglamalar, Yechimlarning fundamental sistemasi, Noma'lum koeffitsiyentlar usuli, O'zgarmaslarni variatsiyalash usuli, Mexanik tebranishlar.
- Laplas almashtirishi - Ta'rif, Teskari Laplas almashtirishi, Birlik pog'ona (Heaviside) funksiyasi, Dirak delta-funksiyasi, Boshlang'ich qiymat (Koshi) masalalarini yechish, Bir jinsli bo'lmagan masalalar, Buralish (konvolyutsiya) integrali.
- Differensial tenglamalar sistemalari - Matritsa ko'rinishi, Xos qiymatlar va xos vektorlar, Fazaviy tekislik, Bir jinsli bo'lmagan sistemalar, Laplas almashtirishi yordamida sistemalarni yechish.
- Qatorlar yordamida yechish - Darajali qatorlar yordamida differensial tenglamalarni yechish, Eyler differensial tenglamalari.
- Yuqori tartibli differensial tenglamalar - n-tartibli differensial tenglamalar, Noma'lum koeffitsiyentlar va variatsiya usullari, 3x3 differensial tenglamalar sistemalari.
- Chegaraviy masalalar va Furye qatorlari - Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari, Xos qiymatlar va xos funksiyalar, Ortogonal funksiyalar, Furyening sinus va kosinus qatorlari, To'liq Furye qatorlari.
- Xususiy hosilali differensial tenglamalar (Matematik fizika tenglamalari) - Issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi, To'lqin tenglamasi, Laplas tenglamasi, O'zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli.
Shpargalkalar va Jadvallar
Oliy algebraning eng ko'p qo'llaniladigan qoidalari, formulalari, xossalari va funksiyalari to'plami. Shuningdek, algebrada keng tarqalgan xatolar va ularning oldini olish usullari jamlangan.
Asosiy trigonometrik ayniyatlar, xossalar, keltirish formulalari va to'liq to'ldirilgan birlik trigonometrik aylana jadvali.
Calculus I kursi va Calculus II ning asosiy mavzularini qamrab oluvchi shpargalkalar turkumi: Limitlar, Hosilalar va Integrallar bo'yicha alohida qulay jadvallar.
Calculusda eng ko'p uchraydigan hosila va integrallar jadvallari hamda asosiy integrallash usullari bo'yicha qisqacha eslatmalar.
Differensial tenglamalar kursi uchun eng ko'p ishlatiladigan Laplas almashtirishlari va ularning asosiy xossalari keltirilgan amaliy jadval.
Takrorlash va Qo'shimchalar
Calculus kursiga tayyorgarlik ko'ruvchi talabalar uchun maxsus tuzilgan takrorlash kursi. Unda funksiyalar, trigonometriya, ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni tahlil qilish masalalari batafsil yechimlari bilan keltirilgan.
Kompleks sonlar nazariyasining asosiy g'oyalari bilan tanishtiruvchi qisqacha qo'llanma: kompleks sonlar arifmetikasi, qo'shma kompleks son, modul, trigonometrik va ko'rsatkichli shakl hamda darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish (Muavr formulasi).
Algebra, trigonometriya va calculusda talabalar tomonidan eng ko'p yo'l qo'yiladigan tipik xatolar tahlili va ularni to'g'ri ishlash usullari.
Matematika fanini samarali o'rganish, qoidalarni tushunish va imtihonlarga to'g'ri tayyorlanish bo'yicha amaliy maslahatlar to'plami.