9-bob: Qisman differentsial tenglamalar
Ushbu bobda biz oddiy qisman differensial tenglamalarni yechishning keng tarqalgan usullaridan birini juda qisqacha ko'rib chiqamiz. Biz ko'rib chiqadigan usul - bu o'zgaruvchilarni ajratish.
Ushbu bobni boshlashdan oldin, biz faqat qisman differensial tenglamalarni emas, balki o'zgaruvchilarni ajratish usulini ham zo'rg'a chizishdan boshqa hech narsa qilmasligimizni aniq aytishimiz kerak. Qisman differensial tenglamalarni echishning asosiy usullarining ko'pini qamrab olish uchun bir nechta darslar kerak bo'ladi. Ushbu bobning maqsadi sizga mavzuni his qilishdan boshqa hech narsa qilmaslikdir va agar siz qisman differentsial tenglamalar bo'yicha ko'proq ma'lumot olishni istasangiz, keyingi qadamingiz bo'lishi mumkin.
Shuni ham yodda tutingki, bir nechta bo'limlarda biz oldingi bobdagi ba'zi natijalardan ko'p foydalanamiz. Bu, aslida, biz u erda qilgan ba'zi misollarni qilishning maqsadi edi. Ularni bajarish, ba'zi hollarda, biz ushbu bobda ishlaydigan ba'zi misollarda talab qilinadigan ish hajmini sezilarli darajada kamaytiradi. Agar biz oldingi natijadan foydalansak, natija qayerdan kelganini aniq ko'rsatamiz.
Quyida ushbu bobda ko'rib chiqilgan mavzularning qisqacha ro'yxati keltirilgan.
Issiqlik tenglamasi – Ushbu bo'limda biz L uzunlikdagi bir o'lchovli chiziqdagi haroratni berish uchun echilishi mumkin bo'lgan issiqlik tenglamasining qisman chiqarilishini qilamiz. Bundan tashqari, biz ushbu vaziyatda ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta mumkin bo'lgan chegara shartlarini beramiz. Shuningdek, biz ushbu bo'limda Laplacianni aniqlaymiz va ikki yoki uch o'lchovli vaziyatlar uchun issiqlik tenglamasining versiyasini beramiz.
To'lqin tenglamasi - Ushbu bo'limda biz tebranish chizig'ining bir o'lchovli siljishini topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan to'lqin tenglamasining qisman hosilasini qilamiz. Bundan tashqari, biz to'lqin tenglamasining ikki va uch o'lchovli versiyasini ham beramiz.
Terminologiya - Ushbu bo'limda biz ushbu bobning qolgan qismida foydalanadigan ba'zi atamalarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Xususan, chiziqli operator, chiziqli qisman differentsial tenglama va bir jinsli qisman differentsial tenglamani aniqlaymiz. Shuningdek, biz Superpozitsiya printsipi haqida tez eslatib o'tamiz.
O'zgaruvchilarni ajratish - Ushbu bo'limda qisman differentsial tenglamani ikkita oddiy differensial tenglamaga qisqartirish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usulini qanday qo'llash mumkinligini ko'rsating. Usulni bir nechta qisman differentsial tenglamalarga qo'llaymiz. Biroq, biz qisman differensial tenglamalarni hal qilish jarayonida uzoqqa bormaymiz. Bu keyingi bo'limlarda amalga oshiriladi. Ushbu bo'limning maqsadi faqat usul qanday ishlashini ko'rsatishdir.
Issiqlik tenglamasini yechish - Ushbu bo'limda biz o'zgaruvchilarni to'liq ajratish jarayonini, shu jumladan jarayon tomonidan yaratilgan ikkita oddiy differensial tenglamani echishni o'rganamiz. Buni issiqlik tenglamasini uch xil chegara shartlari to'plami bilan yechish orqali qilamiz. Uzunligi \(L\) bo'lgan novda, lekin uning o'rniga yupqa dumaloq halqada issiqlik tenglamasini yechish misoli kiritilgan.
Nol bo'lmagan harorat chegaralari bilan issiqlik tenglamasi – Ushbu bo'limda biz chegara shartlari o'zgarmas, nolga teng bo'lmagan harorat bo'lgan issiqlik tenglamasini echishni tez ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, bu avvalgi bo'limdan farqli o'laroq, biz odatda chegara shartlari ham qat'iy, ham nol bo'lishini talab qildik.
Laplas tenglamasi - Ushbu bo'limda biz Laplas tenglamasini echishni muhokama qilamiz. Ko'rib turganimizdek, agar biz manbalarsiz ikki o'lchovli issiqlik tenglamasi uchun muvozanat yechimini (ya'ni, vaqtdan mustaqil) topmoqchi bo'lsak, aynan shu tenglamani yechishimiz kerak bo'ladi. Shuningdek, biz Laplas tenglamasini qutb koordinatalariga aylantiramiz va uni \(a\) radiusli diskda yechamiz.
Vibratsiyali ip - Ushbu bo'limda biz tebranish ipining siljishini olish uchun bir o'lchovli to'lqin tenglamasini echamiz.
O‘zgaruvchilarni ajratish bo‘yicha xulosa - Ushbu yakuniy bo'limda biz qisman differentsial tenglamalarni echish uchun o'zgaruvchilarni ajratish usuli haqida qisqacha ma'lumot beramiz.