OneSidedLimits | MathModel.uz

2.3-bo'lim: Bir tomonlama chegaralar

Oldingi oxirgi ikkita misolda bo'limi biz mavjud bo'lmagan ikkita chegarani ko'rdik. Biroq, har bir chegaraning mavjud emasligining sababi har bir misol uchun boshqacha edi.

Biz buni ko'rdik

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{t}} \right)\]

mavjud emas edi, chunki funksiya bitta qiymatga tushmadi, chunki $t$ $t = 0$ ga yaqinlashdi. $t = 0$ ga qanchalik yaqin bo'lsak, biz funktsiya shunchalik vahshiyona tebranadi va chegara mavjud bo'lishi uchun funksiya bitta qiymatga o'rnatilishi kerak.

Biroq, biz buni ko'rdik

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} H\left( t \right)\hspace{0.25in}{\mbox{where,}}\hspace{0.25in}H\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & {\mbox{if }}t < 0\\ 1 & {\mbox{if }}t \ge 0\end{array} \right.\]

Bu funksiya $t = 0$ tomon o‘tganimizda bitta raqamga o‘rnatilmagani uchun emas, balki $t = 0$ ning qaysi tomonida ekanligimizga qarab u ikki xil raqamga o‘rnatilgani uchun mavjud emas edi.

Bu holda funktsiya birinchi funktsiyadan farqli o'laroq, juda yaxshi ishlagan funksiya edi. Yagona muammo shundaki, biz $t = 0$ ga yaqinlashganimizda, funktsiya har tomondan har xil raqamlar tomon harakatlanardi. Biz bu ikki misolni farqlash usulini xohlaymiz.

Biz buni bilan qilamiz bir tomonlama chegaralar. Nomidan ko'rinib turibdiki, bir tomonlama chegaralar bilan biz ushbu nuqtaning faqat bir tomoniga qaraymiz. Bu erda ikkita bir tomonlama chegaralar uchun ta'riflar mavjud.

O'ng qo'l chegarasi

Biz aytamiz

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = L\]

agar biz $f\left( x \right)$ ni $a$ bo'lishiga yo'l qo'ymasdan, $x > a$ bilan barcha $x$ uchun kerakli darajada $L$ ga yaqinroq qilishimiz mumkin.

Chap qo'l chegarasi

Biz aytamiz

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = L\]

agar biz $x$ ni $a$ bo'lishiga yo'l qo'ymasdan, $x < a$ bilan $a$ ga etarlicha yaqin bo'lgan barcha $x$ uchun $L$ ga xohlagancha yaqin qilishimiz mumkin.

E'tibor bering, yozuvdagi o'zgarishlar juda kichik va agar e'tibor bermasangiz, o'tkazib yuborilishi mumkin. Faqatgina farq chegaraning "lim" qismi ostida joylashgan bitdir. O'ng qo'l chegarasi uchun bizda endi $x \to {a^ + }$ ("+" belgisiga e'tibor bering) mavjud, ya'ni biz faqat $x > a$ ga qarashimizni bilamiz. Xuddi shunday, chap qo'l chegarasi uchun bizda $x \to {a^ - }$ ("-" belgisiga e'tibor bering), ya'ni biz faqat $x < a$ ga qaraymiz.

Shuni ham yodda tutingki, "oddiy" chegarada bo'lgani kabi (i.e. oldingi bo'limdagi chegaralar) chegara mavjud bo'lishi uchun biz hali ham bitta raqamga o'rnatish funktsiyasiga muhtojmiz. Bu safargi yagona farq shundaki, funksiya biz ko‘rib chiqayotgan bir tomonlama chegaraga qarab, faqat $x = a$ o‘ng tomonida yoki $x = a$ chap tomonida bitta raqamga o‘rnatilishi kerak.

Shunday qilib, biz chegaralarni ko'rib chiqayotganda, biz oddiy chegara yoki bir tomonlama chegaralardan birini bajarayotganimizni ko'rishga juda diqqat qilishimiz kerak. Keling, oxirgi qismdagi ba'zi muammolarni ko'rib chiqaylik va oddiy chegara o'rniga bir tomonlama chegaralarni ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi chegaralarning qiymatini hisoblang. \[\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} H\left( t \right)\hspace{0.25in}\,{\rm{and}}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} H\left( t \right)\hspace{0.5in}{\rm{where}}\hspace{0.25in}H\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & {\mbox{if }}t < 0\\ 1 & {\mbox{if }}t \ge 0\end{array} \right.\]

Yechim

Ushbu funktsiya qanday ko'rinishini eslatish uchun bu grafik.

This is the graph of the Heaviside function. It consists of a horizontal line at y=1 to the right of the y-axis and a horizontal line at y=0 to the left of the y-axis. Also included are two arrows following the graph as it goes towards the y-axis.

Shunday qilib, agar biz $t = 0$ ning o'ng tomonida tursak, buni ko'rishimiz mumkin (i.e. $t > 0$) keyin funksiya 1 qiymatiga qarab harakatlanadi, chunki biz $t = 0$ ga yaqinlashamiz, lekin o'ng tomonda qolamiz. Shunday qilib, o'ng qo'l chegarasi, deb aytishimiz mumkin,

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} H\left( t \right) = 1\]

Xuddi shunday, agar biz $t = 0$ ning chap tomonida qolsak (i.e $t < 0$) funksiya 0 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki biz $t = 0$ ga yaqinlashamiz, lekin chap tomonda qolamiz. Shuning uchun, chap qo'l chegarasi,

\[\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} H\left( t \right) = 0\]

Ushbu misolda biz bir tomonlama chegaralarni olamiz, garchi oddiy chegaraning o'zi bo'lmasa ham.

2-misol Quyidagi chegaralarning qiymatini hisoblang. \[\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{t}} \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} \,\,\cos \left( {\frac{\pi }{t}} \right)\]

Yechim

Quyida ko'rsatilgan ushbu funktsiya grafigidan,

$This is the graph of $\cos \left( \frac{\pi }{t} \right)$ and is a wave whose wavelength gets increasingly smaller as the graph approaches the y-axis. The wavelength is so short near the y-axis that the graph starts to appear as just a solid bar instead of an actual line/curve that one would expect from a curve. It is graphed on $-1 < t < 1$.$

biz bir tomonlama chegaralarning ikkalasi ham avvalgi bo'limda odatdagi chegara bilan bir xil muammoga duch kelganini ko'rishimiz mumkin. Funktsiya $t = 0$ ning ikkala tomonida bitta raqamga o'rnatilmaydi. Shuning uchun, bu holatda na chap qo'l, na o'ng qo'l chegarasi mavjud bo'lmaydi.

Shunday qilib, oddiy chegaralar mavjudligi kafolatlanmaganidek, bir tomonlama chegaralar mavjud bo'lishi shart emas.

Oldingidan yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol Quyidagi chegaralarning qiymatini hisoblang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{where}}\hspace{0.25in}g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} & {\mbox{if }}x \ne 2\\ 6 & {\mbox{if }}x = 2\end{array} \right.\]

Yechim

Shunday qilib, oldingi ikkita misol bilan qilganimizdek, keling, ushbu funktsiyaning grafigini eslatib o'tamiz.

$This is the graph of $g\left(x\right)$. It is a vaguely upwards cupped curve that starts at approximately (0.8.10) and decreases until reaching approximately (4,3). There is an open dot at the point (2,4) indicated that the curve itself does not exist there. There is also a closed dot at (2,6) indicating the actual function value at x=2. There are also arrows that flow along the graph and go towards (2,4) from both sides and set of dashed lines that go from (2,4) towards the x and y axis to make the coordinates of the point clear.$

Bu holda, biz $x = 2$ funksiyasining qaysi tomonida bo'lishimizdan qat'i nazar, har doim 4 qiymatiga yaqinlashadi va shuning uchun biz shunday olamiz:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right) = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right) = 4\]

E'tibor bering, bir tomonlama chegaralar oddiy chegaralardan ko'ra ko'proq nuqtada nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaydi. Ular hali ham faqat nuqta atrofida nima bo'layotgani bilan bog'liq. Bir tomonlama chegaralar va oddiy chegaralar o'rtasidagi yagona haqiqiy farq bu chegara qiymatini aniqlashda biz ko'rib chiqadigan $x$ diapazoni.

Keling, bir tomonlama chegaralar va normal chegaralar o'rtasidagi munosabatlar haqida juda yoqimli fakt olish uchun ushbu bo'limdagi birinchi va oxirgi misolni ko'rib chiqaylik. Oxirgi misolda bir tomonlama chegaralar, shuningdek, normal chegara mavjud edi va uchtasi ham 4 qiymatiga ega edi. Birinchi misolda ikkita bir tomonlama chegaralar ikkalasi ham mavjud edi, lekin bir xil qiymatga ega emas edi va normal chegara mavjud emas edi.

Bir tomonlama chegaralar va normal chegaralar o'rtasidagi munosabatni quyidagi fakt bilan umumlashtirish mumkin.

Bir tomonlama va normal chegaralar o'rtasidagi munosabat

Funktsiya berilgan f(x) if,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = L\]

keyin normal chegara mavjud bo'ladi va

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\]

Xuddi shunday, agar

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\]

keyin,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = L\]

Bu haqiqatni aylanib o'tish mumkinki, agar ikkita bir tomonlama chegaralar turli qiymatlarga ega bo'lsa, i.e.,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right)\]

keyin normal chegara mavjud bo'lmaydi.

Bu qandaydir ma'noga ega bo'lishi kerak. Agar normal chegara mavjud bo'lsa, unda ikkita bir tomonlama chegara mavjud bo'lishi va yuqoridagi faktga ko'ra bir xil qiymatga ega bo'lishi kerak edi. Shunday qilib, agar ikkita bir tomonlama chegaralar turli qiymatlarga ega bo'lsa (yoki hatto mavjud bo'lmasa), normal chegara mavjud bo'lishi mumkin emas.

Oxirgi ikki bo'limda biz ko'rib chiqqan cheklovlar haqidagi barcha g'oyalarga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol Quyidagi grafikni hisobga olgan holda,

$This is the graph of some unknown function and has two distinct pieces. The first piece is on the range $-6<x<1$ and is vaguely cupped downwards. It starts at (-6,1) has an open dot at (-4,2) and ends at (1,4) with a closed dot. The second piece starts at (1,-2) with an open dot decreases for a little bit, then increases through (6,5) which is an open dot and finally decreases until it hits (8,2). There is also a closed dot at (6,2).$

Quyidagilarning har birini hisoblang.

$f( - 4)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} f\left( x \right)$

$f\left( 1 \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

$f\left( 6 \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} f\left( x \right)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} f\left( x \right)$

Yechim

a$f( - 4)$ mavjud emas. $x$ ning bu qiymati uchun yopiq nuqta yo‘q, shuning uchun funksiya hozirda mavjud emas.

b$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} f\left( x \right) = 2$ funksiya 2 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ chapdan -4 tomon harakatlanadi.

c$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} f\left( x \right) = 2$ Funktsiya 2 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ o'ngdan -4 tomon harakatlanadi.

d$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} f\left( x \right) = 2$ Biz buni ikki yo'ldan birida qilishimiz mumkin. Yoki biz bu erda faktdan foydalanishimiz mumkin va ikkita bir tomonlama chegaralar bir xil ekanligini payqashimiz mumkin va shuning uchun normal chegara mavjud bo'lishi va bir tomonlama chegaralar bilan bir xil qiymatga ega bo'lishi kerak yoki shunchaki grafikdan javob olamiz.

Shuni ham yodda tutingki, funktsiya shu nuqtada mavjud bo'lmasa ham, bir nuqtada chegara mavjud bo'lishi mumkin.

e$f\left( 1 \right) = 4$. Funktsiya yopiq nuqta bo'lgan joyda $y$ qiymatini oladi.

f$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 4$ Funktsiya 4 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ chapdan 1 ga o'tadi.

g$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - 2$ Funktsiya -2 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ o'ngdan 1 ga o'tadi. Esda tutingki, chegara funktsiyaning nuqtada nima qilayotgani haqida EMAS, faqat funktsiya nuqta atrofida nima qilayotgani haqida qayg'uradi. Bunday holda, har doim $x = 1$ ning o'ng tomonida joylashgan holda, funktsiya -2 qiymatiga yaqinlashadi va shuning uchun chegara -2 ga teng. Cheklov 4 emas, chunki bu nuqtadagi funktsiyaning qiymati va yana chegara bunga ahamiyat bermaydi!

h$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ mavjud emas. Ikkala bir tomonlama chegaralar ham mavjud, ammo ular boshqacha va shuning uchun oddiy chegara mavjud emas.

i$f\left( 6 \right) = 2$. Funktsiya yopiq nuqta bo'lgan joyda $y$ qiymatini oladi.

j$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x \right) = 5$ funksiya 5 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ chapdan 6 ga o‘tadi.

k$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} f\left( x \right) = 5$ Funktsiya 5 qiymatiga yaqinlashmoqda, chunki $x$ o'ngdan 6 ga o'tadi.

l$\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} f\left( x \right) = 5$ Shunga qaramay, buni olish uchun biz grafik yoki faktdan foydalanishimiz mumkin. Bundan tashqari, yana bir bor esda tutingki, chegara nuqtada nima sodir bo'layotganiga ahamiyat bermaydi va shuning uchun chegara nuqtadagi funktsiyadan farqli qiymatga ega bo'lishi mumkin. Cheklovlar bilan shug'ullanayotganda, biz har doim esda tutishimiz kerakki, chegaralar ushbu nuqtada funksiya nima qilayotganiga ahamiyat bermaydi. Limitlar faqat funktsiya nuqta atrofida nima qilayotgani bilan bog'liq.

Umid qilamanki, so'nggi bir necha bo'limda siz cheklovlar qanday ishlashi va ular bizga funktsiyalar haqida nima aytib berishi mumkinligi haqida tasavvurga ega bo'ldingiz. Ushbu g'oyalarning ba'zilari keyingi bo'limlarda muhim bo'ladi, shuning uchun siz ularni yaxshi tushunishingiz muhimdir.