16.2-bo'lim: Chiziqli integrallar - I qism
Ushbu bo'limda biz endi integralning yangi turini kiritamiz. Biroq, buni qilishdan oldin shuni ta'kidlash kerakki, siz tenglamalarni qanday parametrlashtirishni eslab qolishingiz yoki boshqa yo'l bilan qo'yishingiz kerak, siz berilgan egri chiziq uchun parametrik tenglamalar to'plamini yozishingiz kerak bo'ladi. Siz bularning bir qismini Calculus II kursida ko'rgan bo'lishingiz kerak edi. Agar sizga ko'rib chiqish kerak bo'lsa, orqaga qaytishingiz kerak va ko'rib chiqish parametrik tenglamalar va egri chiziqlarning ba'zi asoslari.
Bu erda biz qanday qilishni bilishimiz kerak bo'lgan asosiy egri chiziqlar va agar kerak bo'lsa, parametr cheklovlari mavjud.
| Egri chiziq | Parametrik tenglamalar |
|---|---|
| \(\begin{array}{c} \displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \\ \mbox{(Ellipse)}\end{array}\) | \(\begin{array}{c} \begin{array}{c}\mbox{Counter-Clockwise} \\x = a\cos \left( t \right)\\ y = b\sin \left( t \right)\\ 0 \le t \le 2\pi \end{array}& \begin{array}{c} \mbox{Clockwise} \\x = a\cos \left( t \right)\\ y = - b\sin \left( t \right)\\ 0 \le t \le 2\pi \end{array} \end{array}\) |
| \(\begin{array}{c}{x^2} + {y^2} = {r^2} \\ \mbox{(Circle)}\end{array}\) | \(\begin{array}{c} \begin{array}{c}\mbox{Counter-Clockwise} \\ x = r\cos \left( t \right)\\ y = r\sin \left( t \right)\\ 0 \le t \le 2\pi \end{array} & \begin{array}{c} \mbox{Clockwise} \\ x = r\cos \left( t \right)\\ y = - r\sin \left( t \right)\\ 0 \le t \le 2\pi \end{array} \end{array}\) |
| \(y = f\left( x \right)\) | \(\begin{align*}x & = t\\ y & = f\left( t \right)\end{align*}\) |
| \(x = g\left( y \right)\) | \(\begin{align*}x & = g\left( t \right)\\ y & = t\end{align*}\) |
| \(\begin{array}{l}\mbox{Line Segment From} \\ \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) \mbox{ to} \\ \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right) \end{array}\) | \(\begin{array}{c} \vec r\left( t \right) = \left( {1 - t} \right)\left\langle {{x_0},{y_0},{z_0}} \right\rangle + t\left\langle {{x_1},{y_1},{z_1}} \right\rangle \,\,\,,\,\,0 \le t \le 1 \\ \mbox{or} \\ \begin{array}{l} \begin{aligned} x & = \left( {1 - t} \right){x_0} + t\,{x_1}\\ y & = \left( {1 - t} \right){y_0} + t\,{y_1}\\ z & = \left( {1 - t} \right){z_0} + t\,{z_1} \end{aligned} & , \,\,\,\,\,\, 0 \le t \le 1 \end{array} \end{array}\) |
Yakuniysi bilan biz tenglamaning vektor shaklini ham, parametrik shaklini ham berdik va agar bizga ikki o'lchovli versiya kerak bo'lsa, biz faqat \(z\) komponentlarini tashlab qo'yamiz. Aslida, biz ushbu bo'limda uning ikki o'lchovli versiyasidan foydalanamiz.
Ellips va aylana uchun biz ikkita parametr berdik, biri egri chiziqni soat yo'nalishi bo'yicha, ikkinchisi esa soat miliga teskari yo'nalishda. Oxir-oqibat, egri chiziq chizilgan yo'nalishni ko'rib turganimizdek, ba'zida javobni o'zgartirishi mumkin. Bundan tashqari, ikkalasi ham \(t = 0\) da ijobiy \(x\) o'qida "boshlanadi".
Endi chiziqli integrallarga o'tamiz. Calculus I da biz \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida bitta o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgan \(f\left( x \right)\) ni birlashtirdik. Bu holda biz \(x\) ni \(a\) dan boshlab \(b\) da tugaydigan ushbu intervaldagi barcha qiymatlarni olish deb o'ylagan edik. Chiziqli integrallar bilan biz ikkita o'zgaruvchidan iborat bo'lgan \(f\left( {x,y} \right)\) funktsiyasini integrallashdan boshlaymiz va biz ishlatmoqchi bo'lgan \(x\) va \(y\) qiymatlari \(C\) egri chizig'ida joylashgan \(\left( {x,y} \right)\) nuqtalari bo'ladi. E'tibor bering, bu biz oldingi bobda ishlagan qo'sh integrallardan farq qiladi, bu erda nuqtalar qandaydir ikki o'lchovli mintaqadan chiqdi.
Nuqtalar kelib chiqadigan \(C\) egri chizig'idan boshlaylik. Biz egri chiziq deb faraz qilamiz silliq (qisqacha aniqlangan) va parametrik tenglamalar bilan berilgan,
\[x = h\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0.25in}\,\,\,\,a \le t \le b\]Biz ko'pincha egri chiziqning parametrlanishini vektor funksiya sifatida yozishni xohlaymiz. Bu holda egri chiziq quyidagicha ifodalanadi:
\[\vec r\left( t \right) = h\left( t \right)\,\vec i + g\left( t \right)\vec j\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}a \le t \le b\]Egri chiziq deyiladi silliq agar \(\vec r'\left( t \right)\) uzluksiz va \(\vec r'\left( t \right) \ne 0\) barcha \(t\) uchun.
Yoy uzunligiga nisbatan chiziqli integrali
chiziqli integrali \(C\) bo'ylab \(f\left( {x,y} \right)\) quyidagi bilan belgilanadi:
\[\int\limits_{C}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}}\]Bu yerda biz \(x\) o'qi (\(dx\) bilan belgilanadi) yoki \(y\) o'qi (\(dy\) bilan belgilanadi) o'rniga \(C\) egri chiziq bo'ylab harakatlanayotganimizni tan olish uchun \(ds\) dan foydalanamiz. \(ds\) tufayli bu ba'zan deyiladi yoy uzunligiga nisbatan \(f\) chiziqli integrali.
Biz ilgari \(ds\) yozuvini ko'rganmiz. Agar biz ko'rib chiqqanimizda Calculus II ni eslasangiz yoy uzunligi parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqdan biz topdik,
\[L = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{ds}}\,\,,\hspace{0.25in}{\mbox{where }}ds = \sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} \,dt\]Bu ikkala muammo uchun biz \(ds\) dan foydalanishimiz tasodif emas. \(ds\) yoy uzunligi integrali uchun ham, chiziqli integrali uchun ham bir xil.
Shunday qilib, chiziqli integralni hisoblash uchun biz hamma narsani parametrik tenglamalarga aylantiramiz. U holda chiziqli integrali,
Parametrik yozuvdagi chiziqli integrali (2D)
Funksiyaga parametrik tenglamalarni ham kiritishni unutmang.
Agar biz parametrlashning vektor shaklidan foydalansak, shuni ta'kidlab, yozuvni biroz soddalashtirishimiz mumkin,
\[\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} = \left\| {\,\vec r'\left( t \right)} \right\|\]bu erda \(\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\|\) kattalik yoki \(\vec r'\left( t \right)\) normasi. Ushbu belgidan foydalanib, chiziqli integralga aylanadi,
Vektor funksiya yozuvidagi chiziqli integrali (2D)
E'tibor bering, \(C\) egri chizig'ining parametrizatsiyasi aniq bir marta kuzatilsa, \(t\) \(a\) dan \(b\) ga oshgani sayin, chiziqli integralning qiymati egri chiziqning parametrizatsiyasidan mustaqil bo'ladi.
Keling, chiziqli integral misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda doirani parametrlashtirish kerak. Bu tomonidan berilgan,
\[x = 4\cos t\hspace{0.25in}y = 4\sin t\]Endi bizga doiraning o'ng yarmini beradigan \(t\) diapazoni kerak. Quyidagi \(t\) diapazoni buni amalga oshiradi.
\[ - \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}\]Endi bizga parametrik tenglamalarning hosilalari kerak va keling, \(ds\) ni hisoblaymiz.
\[\begin{align*}\frac{{dx}}{{dt}} & = - 4\sin t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{{dy}}{{dt}} = 4\cos t\\ ds & = \sqrt {16{{\sin }^2}t + 16{{\cos }^2}t} \,dt = 4\,dt\end{align*}\]U holda chiziqli integrali,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{x{y^4}\,ds}} & = \int_{{\, - {\pi }/{2}\;}}^{{\,{\pi }/{2}\;}}{{4\cos t{{\left( {4\sin t} \right)}^4}\left( 4 \right)dt}}\\ & = 4096\int_{{\, - {\pi }/{2}\;}}^{{\,{\pi }/{2}\;}}{{\cos t\,\,{{\sin }^4}t\,dt}}\\ & = \left. {\frac{{4096}}{5}{{\sin }^5}t} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & = \frac{{8192}}{5}\end{align*}\]Keyinchalik chiziqli integrallar haqida gapirishimiz kerak bo'lak-bo'lak silliq egri chiziqlar. Bo'laklarga bo'lingan silliq egri - bu cheklangan miqdordagi silliq egri chiziqlarning birlashuvi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan har qanday egri, \({C_1}\),…, \({C_n}\), bu erda \({C_i}\) ning yakuniy nuqtasi \({C_{i + 1}}\) ning boshlang'ich nuqtasidir. Quyida bo'lak-bo'lak silliq egri chiziqning tasviri keltirilgan.
Bo'lak-bo'lak silliq egri chiziqlar bo'yicha chiziqli integrallarni baholash nisbatan oddiy ishdir. Biz qiladigan narsa - har bir bo'lak ustidagi chiziqli integralni baholash va keyin ularni qo'shish. Yuqoridagi qismli egri chiziq ustidagi ba'zi funksiyalar uchun chiziqli integrali quyidagicha bo'ladi:
\[\int\limits_{C}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}} = \int\limits_{{{C_1}}}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}} + \int\limits_{{{C_2}}}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}} + \int\limits_{{{C_3}}}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}} + \int\limits_{{{C_4}}}{{f\left( {x,y} \right)\,ds}}\]Buning bir misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, avval biz har bir egri chiziqni parametrlashimiz kerak.
\[\begin{align*}& {C_1}\,\,\,:\,\,\,\,x = t,\,\,y = - 1\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \le t \le 0\\ & {C_2}\,\,:\,\,\,\,\,x = t,\,\,y = {t^3} - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 1\\ & {C_3}\,\,:\,\,\,\,\,x = 1,\,\,\,y = t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 2\end{align*}\]Endi bu egri chiziqlarning har biriga chiziqli integralini bajaramiz.
\[\int\limits_{{{C_1}}}{{4{x^3}\,ds}} = \int_{{\, - 2}}^{{\,0}}{{4{t^3}\sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( 0 \right)}^2}} \,dt}} = \int_{{\, - 2}}^{{\,0}}{{4{t^3}\,dt}} = \left. {{t^4}} \right|_{ - 2}^0 = - 16\] \[\begin{align*}\int\limits_{{{C_2}}}{{4{x^3}\,ds}} & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4{t^3}\sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( {3{t^2}} \right)}^2}} \,dt}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4{t^3}\sqrt {1 + 9{t^4}} \,dt}}\\ & = \left. {\frac{1}{9}\left( {\frac{2}{3}} \right){{\left( {1 + 9{t^4}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 = \frac{2}{{27}}\left( {{{10}^{\frac{3}{2}}} - 1} \right) = 2.268\end{align*}\] \[\int\limits_{{{C_3}}}{{4{x^3}\,ds}} = \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{4{{\left( 1 \right)}^3}\sqrt {{{\left( 0 \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} \,dt}} = \int_{{\,0}}^{{\,2}}{{4\,dt}} = 8\]Nihoyat, bizdan hisoblashimiz so'ralgan chiziqli integrali,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{4{x^3}\,ds}} & = \int\limits_{{{C_1}}}{{4{x^3}\,ds}} + \int\limits_{{{C_2}}}{{4{x^3}\,ds}} + \int\limits_{{{C_3}}}{{4{x^3}\,ds}}\\ & = - 16 + 2.268 + 8\\ & = - 5.732\end{align*}\]Yuqoridagi misolda egri chiziqqa yo'nalish o'qlarini qo'yganimizga e'tibor bering. Egri chiziq bo'ylab harakat yo'nalishi mumkin keyingi bo'limda ko'rib turganimizdek chiziqli integralining qiymatini o'zgartiring. Shuni ham yodda tutingki, egri chiziq bizni \(\left( { - 2, - 1} \right)\) nuqtasidan \(\left( {1,2} \right)\) nuqtasiga olib boradigan egri chiziq haqida o'ylash mumkin. Keling, birinchi navbatda, agar biz ushbu ikki nuqta orasidagi yo'lni o'zgartirsak, chiziq integrali bilan nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu bo'limning boshidagi parametrlash formulalaridan bilamizki, \(\left( { - 2, - 1} \right)\) da boshlanib, \(\left( {1,2} \right)\) da tugaydigan chiziq segmenti quyidagicha berilgan:
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \left( {1 - t} \right)\left\langle { - 2, - 1} \right\rangle + t\left\langle {1,2} \right\rangle \\ & = \left\langle { - 2 + 3t, - 1 + 3t} \right\rangle \end{align*}\]\(0 \le t \le 1\) uchun. Bu shuni anglatadiki, individual parametrik tenglamalar,
\[x = - 2 + 3t\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = - 1 + 3t\]Ushbu yo'ldan foydalangan holda chiziqli integrali,
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{4{x^3}\,ds}} & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4{{\left( { - 2 + 3t} \right)}^3}\sqrt {9 + 9} \,dt}}\\ & = 12\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{12}}} \right)\left. {{{\left( { - 2 + 3t} \right)}^4}} \right|_0^1\\ & = 12\sqrt 2 \left( { - \frac{5}{4}} \right)\\ & = - 15\sqrt 2 = - 21.213\end{align*}\]Ushbu integrallarni bajarayotganda, atamani qisqartirish kabi ishlarni qilmaslik uchun oddiy Calc I almashtirishni unutmang. Uni yo'q qilish unchalik qiyin emas, lekin bu oddiy almashtirishdan ko'ra ko'proq ish.
Shunday qilib, oldingi ikkita misol shuni ko'rsatadiki, agar biz ikkita nuqta orasidagi yo'lni o'zgartirsak, chiziq integralining qiymati (yoy uzunligi bo'yicha) o'zgaradi. Bu juda tez-tez sodir bo'ladigan bo'lsa-da, biz bu har doim sodir bo'ladi deb taxmin qila olmaymiz. Keyingida biz ushbu fikrni batafsilroq ko'rib chiqamiz.
Keyinchalik, agar yo'lning yo'nalishini o'zgartirsak nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.
Yechim
Bu avvalgi misoldan unchalik farq qilmaydi. Bu erda egri chiziqning parametrizatsiyasi.
\[\begin{align*}\vec r\left( t \right) & = \left( {1 - t} \right)\left\langle {1,2} \right\rangle + t\left\langle { - 2, - 1} \right\rangle \\ & = \left\langle {1 - 3t,2 - 3t} \right\rangle \end{align*}\]\(0 \le t \le 1\) uchun. Esda tutingki, biz egri chiziqning yo'nalishini o'zgartirmoqdamiz va bu parametrlashtirishni ham o'zgartiradi, shuning uchun biz to'g'ri nuqtada boshlash/tugashimizga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
Mana chiziqli integrali.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{4{x^3}\,ds}} & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4{{\left( {1 - 3t} \right)}^3}\sqrt {9 + 9} \,dt}}\\ & = 12\sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{12}}} \right)\left. {{{\left( {1 - 3t} \right)}^4}} \right|_0^1\\ & = 12\sqrt 2 \left( { - \frac{5}{4}} \right)\\ & = - 15\sqrt 2 = - 21.213\end{align*}\]Shunday qilib, egri chiziq yo'nalishini o'zgartirganimizda chiziq integrali (yoy uzunligi bo'yicha) o'zgarmasga o'xshaydi. Bu shunday chiziqli integrallar uchun har doim to'g'ri bo'ladi. Biroq, chiziqli integrallarning boshqa turlari mavjud bo'lib, ularda bunday bo'lmaydi. Biz buning ko'proq misollarini keyingi bo'limlarda ko'ramiz, shuning uchun yo'nalishni o'zgartirish chiziq integralining qiymatini hech qachon o'zgartirmasligini xayolingizga keltirmang.
Boshqa misol bilan ishlashdan oldin, keling, ushbu fikrni biroz rasmiylashtiraylik. Faraz qilaylik, \(C\) egri chizig'i \(x = h\left( t \right)\), \(y = g\left( t \right)\) parametrlariga ega. Keling, egri chiziqdagi boshlang'ich nuqta \(A\) va egri chiziqdagi oxirgi nuqta \(B\) deb faraz qilaylik. Keyin \(x = h\left( t \right)\), \(y = g\left( t \right)\) parametrlari aniqlanadi orientatsiya ijobiy yo'nalish \(t\) oshgani sayin aniqlangan yo'nalish bo'lgan egri chiziq uchun. Nihoyat, \( - C\) \(C\) bilan bir xil nuqtalarga ega bo'lgan egri chiziq bo'lsin, ammo bu holda egri chiziq boshlang'ich nuqta sifatida \(B\) va yakuniy nuqta sifatida \(A\) ga ega, biz bu egri chiziqni kesib o'tganimizda yana \(t\) ortib bormoqda. Boshqacha qilib aytganda, \(C\) egri chizig'i berilgan bo'lsa, \( - C\) egri chizig'i \(C\) bilan bir xil egri chiziq bo'ladi, bundan tashqari yo'nalish teskari.
Keyin yoy uzunligiga nisbatan chiziqli integrallar haqida quyidagi faktga ega bo'lamiz.
Egri chiziq yo'nalishini teskari aylantirish
Shunday qilib, yoy uzunligiga nisbatan chiziqli integrali uchun biz egri chiziqning yo'nalishini o'zgartirishimiz mumkin va integralning qiymatini o'zgartirmasligimiz mumkin. Buni eslash foydali faktdir, chunki ba'zi chiziqli integrallar bir yo'nalishda boshqasiga qaraganda osonroq bo'ladi.
Endi boshqa misol bilan ishlaylik
- \({C_1}:y = {x^2},\,\,\, - 1 \le x \le 1\)
- \({C_2}\): \(\left( { - 1,1} \right)\) dan \(\left( {1,1} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti.
- \({C_3}\): \(\left( {1,1} \right)\) dan \(\left( { - 1,1} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti.
Munozarani ko'rsatish
Ushbu chiziqli integrallarning birortasini ishlashdan oldin, ushbu egri chiziqlarning barchasi \(\left( { - 1,1} \right)\) va \(\left( {1,1} \right)\) nuqtalarini bog'laydigan yo'llar ekanligini bilib olaylik. Bundan tashqari, \({C_3} = - {C_2}\) va shunga o'xshash yuqoridagi faktga ko'ra, bu ikkalasi bir xil javob berishi kerakligiga e'tibor bering.
Mana uchta egri chiziqning eskizi va \({C_2}\) va \({C_3}\) ni aks ettiruvchi egri chiziqlar bir xil chiziq bo'lsa ham, ular qaysidir ma'noda alohida egri chiziqlar ekanligini ko'rsatish uchun biroz ajratilganligiga e'tibor bering.
a \({C_1}:y = {x^2},\,\,\, - 1 \le x \le 1\) Yechim
Mana bu egri chiziq uchun parametrlash.
\[{C_1}:x = t,\,\,y = {t^2},\,\,\, - 1 \le t \le 1\]Mana chiziqli integrali.
\[\int\limits_{{{C_1}}}{{x\,ds}} = \int_{{\, - 1}}^{{\,1}}{{t\sqrt {1 + 4{t^2}} \,dt}} = \left. {\frac{1}{{12}}{{\left( {1 + 4{t^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{ - 1}^1 = 0\]b \({C_2}\): \(\left( { - 1,1} \right)\) dan \(\left( {1,1} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti. Yechim
Bu egri chiziq uchun ikkita parametrlashdan foydalanishimiz mumkin. Birinchisi, oldingi ikkita misolda ishlatgan formuladan foydalanish. Bu parametrlash,
\[\begin{align*}{C_2}:\vec r\left( t \right) & = \left( {1 - t} \right)\left\langle { - 1,1} \right\rangle + t\left\langle {1,1} \right\rangle \\ & \hspace{0.25in}\,\,{\kern 1pt} = \left\langle {2t - 1,1} \right\rangle \end{align*}\]\(0 \le t \le 1\) uchun.
Ba'zan bizda ushbu parametrlashdan foydalanishdan boshqa ilojimiz yo'q. Biroq, bu holda ikkinchi (ehtimol) osonroq parametrlash mavjud. Ikkinchisi, biz haqiqatan ham \(y = 1\) chizig'ining bir qismini chizayotganimizdan foydalanadi. Buning yordamida parametrlash,
\[{C_2}:x = t,\,\,y = 1,\,\,\, - 1 \le t \le 1\]Bu ishlatish uchun ancha oson parametrlash bo'ladi, shuning uchun biz bundan foydalanamiz. Mana bu egri chiziq uchun integrali.
\[\int\limits_{{{C_2}}}{{x\,ds}} = \int_{{\, - 1}}^{{\,1}}{{t\sqrt {1 + 0} \,dt}} = \left. {\frac{1}{2}{t^2}} \right|_{ - 1}^1 = 0\]E'tibor bering, bu safar biz 2, 3 va 4-misollarda ishlagan chiziqli integraldan farqli o'laroq, yo'l boshqacha bo'lishiga qaramay, biz integral uchun bir xil qiymatga ega bo'ldik. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi. Bundan tashqari, ushbu integral ushbu ikki nuqta orasidagi barcha yo'llar uchun bir xil bo'lishini kutmasligimiz kerak. Shu nuqtada biz bilamizki, bu ikki yo'l uchun chiziqli integrali bir xil qiymatga ega bo'ladi. Bu ikki nuqta o'rtasida chiziqli integralga boshqa qiymat beradigan boshqa yo'l bo'lishi mutlaqo mumkin.
c \({C_3}\): \(\left( {1,1} \right)\) dan \(\left( { - 1,1} \right)\) gacha bo'lgan chiziq segmenti. Yechim
Endi, yuqoridagi faktimizga ko'ra, biz bu erda hech narsa qilishimiz shart emas, chunki biz \({C_3} = - {C_2}\) ekanligini bilamiz. Haqiqat shuni ko'rsatadiki, bu chiziqli integrali ikkinchi qism bilan bir xil bo'lishi kerak (i.e. nol). Biroq, keling, buni tekshirib ko'raylik, bundan tashqari, bu erda parametrlash haqida gapirishimiz kerak bo'lgan nuqta bor.
Mana bu egri chiziq uchun parametrlash.
\[\begin{align*}{C_3}:\vec r\left( t \right) & = \left( {1 - t} \right)\left\langle {1,1} \right\rangle + t\left\langle { - 1,1} \right\rangle \\ & \hspace{0.25in}\,\,{\kern 1pt} = \left\langle {1 - 2t,1} \right\rangle \end{align*}\]\(0 \le t \le 1\) uchun.
E'tibor bering, bu safar biz (b) qismida qo'llagan ikkinchi parametrlashdan foydalana olmaymiz, chunki parametr oshgani sayin o'ngdan chapga o'tishimiz kerak va oldingi qismda ishlatilgan ikkinchi parametrlash teskari yo'nalishda harakat qiladi.
Mana bu egri chiziq uchun integrali.
\[\int\limits_{{{C_3}}}{{x\,ds}} = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left( {1 - 2t} \right)\sqrt {4 + 0} \,dt}} = \left. {2\left( {t - {t^2}} \right)} \right|_0^1 = 0\]Albatta, biz ikkinchi qism bilan bir xil javob oldik.
Ushbu bo'limda biz faqat ikki o'lchovli egri chiziq ustidagi chiziqli integrallarni ko'rib chiqdik. Biroq, o'zimizni bunday cheklash uchun hech qanday sabab yo'q. Biz chiziqli integrallarni uch o'lchovli egri chiziqlar ustida ham bajarishimiz mumkin.
Faraz qilaylik, uch o'lchovli egri \(C\) parametrlash orqali berilgan,
\[x = x\left( t \right),\,\hspace{0.25in}y = y\left( t \right)\hspace{0.25in}z = z\left( t \right)\hspace{0.25in}a \le t \le b\]u holda chiziqli integrali quyidagicha ifodalanadi:
Parametrik yozuvdagi chiziqli integrali (3D)
E'tibor bering, ko'pincha uch o'lchovli fazo bilan ishlashda parametrlash vektor funktsiyasi sifatida beriladi.
\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right\rangle \]E'tibor bering, biz parametrlash uchun belgini biroz o'zgartirdik. Funktsiya nomlarini kamdan-kam ishlatganimiz uchun biz \(x\), \(y\) va \(z\) ni saqlab qoldik va ular parametr funksiyasi bo'lishi mumkinligini ko'rsatish uchun \(\left( t \right)\) qismiga qo'shdik.
Shuningdek, e'tibor bering, ikki o'lchovli egri chiziqlarda bo'lgani kabi, bizda ham bor:
\[\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)}^2}} = \left\| {\,\vec r'\left( t \right)} \right\|\]va chiziqli integrali yana quyidagicha yozish mumkin:
Vektor funksiya yozuvidagi chiziqli integrali (3D)
Shunday qilib, uchinchi parametrik tenglama chizig'ini qo'shishdan tashqari, uch o'lchovli fazoda integrallar ikki o'lchovli fazodagi kabi ishlaydi. Tez misol bilan ishlaylik.
Yechim
E'tibor bering, biz birinchi bo'lib spiral uchun vektor tenglamasini ko'rdik Vektor funktsiyalari bo'limi. Bu erda spiralning qisqacha eskizi.
Mana chiziqli integrali.
\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{xyz\,ds}} = \int_{{\,0}}^{{\,4\pi }}{{3t\cos \left( t \right)\sin \left( t \right)\sqrt {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t + 9} \,dt}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,4\pi }}{{3t\left( {\frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)} \right)\sqrt {1 + 9} \,dt}}\\ & = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\int_{{\,0}}^{{\,4\pi }}{{t\sin \left( {2t} \right)\,dt}}\\ & = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\left. {\left( {\frac{1}{4}\sin \left( {2t} \right) - \frac{t}{2}\cos \left( {2t} \right)} \right)} \right|_0^{4\pi }\\ & = - 3\sqrt {10} \,\pi \end{align*}\]Siz bu integralni qila oldingiz, to'g'rimi? Bu talab qildi qismlar bo'yicha integratsiya.
Shunday qilib, biz ko'rib turganimizdek, ikki va uch o'lchovli chiziqli integrallar o'rtasida unchalik katta farq yo'q.