Asosiy tarkibga o'tish

5.7-bo'lim: Aniq integrallarni hisoblash

Ushbu bo'limda biz aniq integrallarni amalda qanday baholashimizga e'tibor qaratamiz. Buning uchun bizga Hisobning asosiy teoremasi, II qism kerak bo'ladi.

Hisoblashning asosiy teoremasi, II qism

Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz funksiya bo‘lib, shuningdek, \(F\left( x \right)\) \(f\left( x \right)\) uchun har qanday anti-hosil bo‘lsin deb faraz qilaylik. Keyin,

\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)dx}} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

Buning isbotini ko'rish uchun qarang Har xil integral xossalarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.

Eslatib o'tamiz, funktsiya uchun anti-hosil haqida gapirganda, biz haqiqatan ham funktsiya uchun noaniq integral haqida gapiramiz. Shunday qilib, aniq integralni baholash uchun biz qiladigan birinchi narsa funksiya uchun noaniq integralni baholashdir. Bu noaniq va aniq integrallar uchun yozuvlardagi o'xshashlikni tushuntirishi kerak.

Shuningdek, biz funktsiyani integratsiya oralig'ida uzluksiz bo'lishini talab qilishimizga e'tibor bering. Bu aniq integralni belgilashda ham talab edi. Oxirgi bo'limda biz bu haqda katta ish qilmadik. Biroq, ushbu bo'limda biz baholashlarimizni amalga oshirayotganda ushbu shartni yodda tutishimiz kerak.

Keling, baholashda \(f\left( x \right)\) ning har qanday anti-hosilasidan foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Keling, quyidagi integralni yakuniy ko'rib chiqaylik.

\[\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}}\]

Quyidagi ikkalasi ham integrandning anti-hosilasidir.

\[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\hspace{0.5in}\text{va}\hspace{0.5in}F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x - \frac{{18}}{{31}}\]

Ushbu integralni birinchi antiderivativlar bilan baholash uchun hisoblashning asosiy teoremasidan foydalanish,

\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} & = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_{\,0}^{\,2}\\ & = \frac{1}{3}{\left( 2 \right)^3} + 2 - \left( {\frac{1}{3}{{\left( 0 \right)}^3} + 0} \right)\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]

dan ancha oson ta'rifdan foydalanish shunday emasmidi? Endi bu aniq integralni baholash uchun ikkinchi anti-hosildan foydalanamiz.

\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{{x^2} + 1\,dx}} & = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + x - \frac{{18}}{{31}}} \right)} \right|_{\,0}^{\,2}\\ & = \frac{1}{3}{\left( 2 \right)^3} + 2 - \frac{{18}}{{31}} - \left( {\frac{1}{3}{{\left( 0 \right)}^3} + 0 - \frac{{18}}{{31}}} \right)\\ & = \frac{{14}}{3} - \frac{{18}}{{31}} + \frac{{18}}{{31}}\\ & = \frac{{14}}{3}\end{align*}\]

Biz ikkinchi anti-derivativga yopishgan konstanta baholash bosqichida bekor qilindi. Shunday qilib, baholash jarayonida foydalanish uchun anti-derivativni tanlashda hayotingizni osonlashtiring va doimiy bilan bezovta qilmang, chunki u uzoq muddatda bekor qilinadi.

Shuni ham yodda tutingki, biz bu muammolar bilan minus belgilari va qavslar bilan juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Shoshilinch va ularni chalkashtirib yuborish juda oson.

Keling, misollarimizni juda muhim bo'lgan bir nechta tezkor fikrlarni yaratish uchun mo'ljallangan quyidagi to'plamdan boshlaylik.

1-misol Quyidagilarning har birini baholang.
  1. \( \displaystyle \int{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\)
  2. \( \displaystyle \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\)
  3. \( \displaystyle \int_{{\, - 1}}^{{\,2}}{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\)
a \( \displaystyle \int{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\) Yechim

Bu ushbu bo'limdagi yagona noaniq integraldir va hozircha biz bu bilan juda yaxshi ish qilishimiz kerak, shuning uchun biz bu qismga ko'p vaqt sarflamaymiz. Bu faqat noaniq va aniq integral o'rtasidagi farqni tushunishimizga ishonch hosil qilish uchun. Integral bu,

\[\int{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}} = \frac{1}{3}{y^3} - {y^{ - 1}} + c\]

b \( \displaystyle \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\) Yechim

Yuqoridagi birinchi misolimizdan shuni eslaylikki, bu erda bizga kerak bo'lgan narsa - integrandning har qanday anti-hosilasi. Biz birinchi qismda eng umumiy anti-derivativni hisoblab chiqdik, shuning uchun agar xohlasak, undan foydalanishimiz mumkin. Ammo, esda tutingki, yuqorida aytib o'tganimizdek, biz amal qiladigan har qanday konstantalar uzoq muddatda bekor bo'ladi va shuning uchun biz (a) javobidan "+\(c\)"siz foydalanamiz.

Mana integral,

\[\begin{align*}\int_{{\,1}}^{{\,2}}{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}} & = \left. {\left( {\frac{1}{3}{y^3} - \frac{1}{y}} \right)} \right|_1^2\\ & = \frac{1}{3}{\left( 2 \right)^3} - \frac{1}{2} - \left( {\frac{1}{3}{{\left( 1 \right)}^3} - \frac{1}{1}} \right)\\ & = \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1\\ & = \frac{{17}}{6}\end{align*}\]

Esda tutingki, baholash har doim yuqori chegaradagi baholash tartibida, pastki chegaradagi baholashdan tashqari amalga oshiriladi. Bundan tashqari, minus belgilari va qavslar bilan juda ehtiyot bo'ling. Ularni unutish yoki noto'g'ri munosabatda bo'lish va noto'g'ri javob olish juda oson.

E'tibor bering, baholashda yordam berish uchun biz noaniq integralni biroz qayta yozdik. Xususan, biz ikkinchi hadda salbiy ko'rsatkichdan xalos bo'ldik. Odatda atamani ijobiy ko'rsatkichlar bilan baholash osonroq.


c \( \displaystyle \int_{{\, - 1}}^{{\,2}}{{{y^2} + {y^{ - 2}}\,dy}}\) Yechim

Bu integral bir fikrni bildirish uchun. Eslatib o'tamiz, biz integral qilishimiz uchun integral chegaralar oralig'ida uzluksiz bo'lishi kerak. Bunday holda, ikkinchi a'zo \(y = 0\) da nolga bo'linadi va \(y = 0\) integratsiya oralig'ida bo'lgani uchun, i.e. u pastki va yuqori chegara o'rtasida, bu integral integratsiya oralig'ida uzluksiz emas va shuning uchun biz bu integralni bajara olmaymiz.

E'tibor bering, bu muammo (b) dagi integralni bajarishimizga to'sqinlik qilmaydi, chunki \(y = 0\) integratsiya oralig'ida emas.

Xo'sh, biz ushbu misoldan nimani o'rgandik?

Birinchidan, aniq integral qilish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa noaniq integraldir. Shunday qilib, biz noaniq integrallarni bajarishdan qochib qutula olmaymiz, ular ushbu kursning qolgan qismida bajaradigan har bir integralda bo'ladi, shuning uchun ularni hisoblashda yaxshi ekanligingizga ishonch hosil qiling.

Ikkinchidan, biz integratsiya chegaralari orasidagi hech qanday nuqtada uzluksiz bo'lmagan funktsiyalarni izlashimiz kerak. Shuni ham ta'kidlash kerakki, agar uzilish nuqtalari integratsiya chegaralari o'rtasida yoki chegaralarning o'zida sodir bo'lsa, bu muammo bo'ladi. Agar uzilish nuqtasi integratsiya chegaralaridan tashqarida sodir bo'lsa, integralni hali ham baholash mumkin.

Quyidagi misollar to'plamida biz uzluksizlik muammolari yoki uzluksizlik muammolarining yo'qligi bilan bog'liq muammoni juda ko'p hal qilmaymiz, agar bu integralni baholashga ta'sir qilmasa. Bu sizni bu fikr haqida tashvishlanishingizga hojat yo'qligiga ishontirishiga yo'l qo'ymang. Bu tez-tez paydo bo'ladi, agar siz bunga e'tibor bermasangiz, u haqiqiy muammolarni keltirib chiqarishi mumkin.

Va nihoyat, noaniq va aniq integrallar o'rtasidagi farqga e'tibor bering. Noaniq integrallar funksiyalar, aniq integrallar esa sonlar.

Keling, yana bir nechta misollar bilan ishlaylik.

2-misol Quyidagilarning har birini baholang.
  1. \( \displaystyle \int_{{ - 3}}^{1}{{6{x^2} - 5x + 2\,dx}}\)
  2. \( \displaystyle \int_{{\,4}}^{{\,0}}{{\sqrt t \left( {t - 2} \right)\,dt}}\)
  3. \( \displaystyle \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\frac{{2{w^5} - w + 3}}{{{w^2}}}\,dw}}\)
  4. \( \displaystyle \int_{{\,25}}^{{\, - 10}}{{dR}}\)
a \( \displaystyle \int_{{ - 3}}^{1}{{6{x^2} - 5x + 2\,dx}}\) Yechim

Bu oddiy ishni bajarishdan boshqa ko'p narsa yo'q.

\[\begin{align*}\int_{{ - 3}}^{1}{{6{x^2} - 5x + 2\,dx}} & = \left. {\left( {2{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 3}^1\\ & = \left( {2 - \frac{5}{2} + 2} \right) - \left( { - 54 - \frac{{45}}{2} - 6} \right)\\ & = 84\end{align*}\]

b \( \displaystyle \int_{{\,4}}^{{\,0}}{{\sqrt t \left( {t - 2} \right)\,dt}}\) Yechim

Esda tutingki, biz mahsulotlarni integrallarning ko'paytmasi sifatida integrallay olmaymiz va shuning uchun biz noaniq integral holatida bo'lgani kabi, integrallashdan oldin integralni ko'paytirishimiz kerak.

\[\begin{align*}\int_{{\,4}}^{{\,0}}{{\sqrt t \left( {t - 2} \right)\,dt}} & = \int_{{\,4}}^{{\,0}}{{{t^{\frac{3}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}\,dt}}\\ & = \left. {\left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{4}{3}{t^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_4^0\\ & = 0 - \left( {\frac{2}{5}{{\left( 4 \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{4}{3}{{\left( 4 \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)\\ & = - \frac{{32}}{{15}}\end{align*}\]

Baholash jarayonida esda tutingki,

\[{\left( 4 \right)^{\frac{5}{2}}} = {\left( {{{\left( 4 \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^5} = {\left( 2 \right)^5} = 32\] \[{\left( 4 \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{{\left( 4 \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} = {\left( 2 \right)^3} = 8\]

Bundan tashqari, integratsiyaning pastki chegarasi integratsiyaning yuqori chegarasidan kattaroq ekanligi haqida hayajonlanmang. Bu ba'zida sodir bo'ladi va buning hech qanday yomon joyi yo'q.


c \( \displaystyle \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\frac{{2{w^5} - w + 3}}{{{w^2}}}\,dw}}\) Yechim

Birinchidan, \(w = 0\)-da bizda nolga bo'linish bo'lishiga e'tibor bering, ammo bu integratsiya oralig'ida bo'lmagani uchun biz bu haqda tashvishlanishga hojat yo'q.

Keyin yana bir bor eslatib o'tamizki, biz bo'limlarni integrallar qismi sifatida birlashtira olmaymiz va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi qadam funktsiyani integrallashimiz uchun qismni ajratishdir.

\[\begin{align*}\int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\frac{{2{w^5} - w + 3}}{{{w^2}}}\,dw}} & = \int_{{\,1}}^{{\,2}}{{\,2{w^3} - \frac{1}{w} + 3{w^{ - 2}}dw}}\\ & = \left. {\left( {\frac{1}{2}{w^4} - \ln \left| w \right| - \frac{3}{w}} \right)} \right|_1^2\\ & = \left( {8 - \ln 2 - \frac{3}{2}} \right) - \left( {\frac{1}{2} - \ln 1 - 3} \right)\\ & = 9 - \ln 2\end{align*}\]

Oddiy butun son yoki kasrga tushmaydigan javoblardan hayajonlanmang. Ko'pincha ular buni qilmaydi. Bundan tashqari, \(\ln \left( 1 \right) = 0\) ni unutmang.


d \( \displaystyle \int_{{\,25}}^{{\, - 10}}{{dR}}\) Yechim

Bu aslida juda oson. Eslatib o'tamiz, biz faqat 1 ni birlashtirmoqdamiz.

\[\begin{align*}\int_{{\,25}}^{{\, - 10}}{{dR}} & = \left. R \right|_{25}^{ - 10}\\ & = - 10 - 25\\ & = - 35\end{align*}\]

Oxirgi misollar to'plami faqat \(x\) ning integratsiya kuchlari bilan bog'liq. Keling, boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olgan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

3-misol Quyidagilarning har birini baholang.
  1. \( \displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\,dx}}\)
  2. \( \displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{3}}}{{2\sin \theta - 5\cos \theta \,d\theta }}\)
  3. \( \displaystyle \int_{{\,{\pi }/{6}\;}}^{{\,{\pi }/{4}\;}}{{5 - 2\sec z\tan z\,dz}}\)
  4. \( \displaystyle \int_{{\, - 20}}^{{\, - 1}}{{\frac{3}{{{{\bf{e}}^{ - z}}}} - \frac{1}{{3z}}\,dz}}\)
  5. \( \displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{5{t^6} - 10t + \frac{1}{t}\;dt}}\)
a \( \displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\,dx}}\) Yechim

Bu asosan keyingi misoldan farqli o'laroq bu erda.

\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4x - 6\sqrt[3]{{{x^2}}}\,dx}} & = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{4x - 6{x^{\frac{2}{3}}}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{18}}{5}{x^{\frac{5}{3}}}} \right)} \right|_0^1\\ & = 2 - \frac{{18}}{5} - \left( 0 \right)\\ & = - \frac{8}{5}\end{align*}\]

b \( \displaystyle \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{3}}}{{2\sin \theta - 5\cos \theta \,d\theta }}\) Yechim

Bu belgilar bilan ehtiyot bo'ling. Noaniq integral bo'limlardan sinus va kosinusni integratsiyalashganda belgilarni chalkashtirib yuborish oson ekanligini eslang.

\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{3}}}{{2\sin \theta - 5\cos \theta \,d\theta }} & = \left. {\left( { - 2\cos \theta - 5\sin \theta } \right)} \right|_0^{{\pi }/{3}\;}\\ & = - 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) - 5\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - 2\cos 0 - 5\sin 0} \right)\\ & = - 1 - \frac{{5\sqrt 3 }}{2} + 2\\ & = 1 - \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Bu javobni oldingi javob bilan solishtiring, ayniqsa nolga teng baho. Funktsiyani nolga teng baholaganda shunchaki nolni yozish odatiga aylanish juda oson. Bu, ayniqsa, biz birlashtirgan ko'pgina funktsiyalar faqat musbat sonlarga ko'tarilgan \(x\)-ni o'z ichiga olganida muammodir; bular albatta nolga baholanadi. Ushbu turdagi aniq integrallarning ko'pini baholagandan so'ng, siz nolga baholaganingizda shunchaki nolni yozish odatiga aylanishingiz oson. Biroq, u erda nolga teng bo'lmagan ko'plab funktsiyalar mavjud, shuning uchun ehtiyot bo'ling.


c \( \displaystyle \int_{{\,{\pi }/{6}\;}}^{{\,{\pi }/{4}\;}}{{5 - 2\sec z\tan z\,dz}}\) Yechim

Integralni bajarishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.

\[\begin{align*}\int_{{\,{\pi }/{6}\;}}^{{\,{\pi }/{4}\;}}{{5 - 2\sec z\tan z\,dz}} & = \left. {\left( {5z - 2\sec z} \right)} \right|_{\,{\pi }/{6}\;}^{\,{\pi }/{4}\;}\\ & = 5\left( {\frac{\pi }{4}} \right) - 2\sec \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - \left( {5\left( {\frac{\pi }{6}} \right) - 2\sec \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \right)\\ & = \frac{{5\pi }}{{12}} - 2\sqrt 2 + \frac{4}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]

Baholash uchun buni eslang

\[\sec z = \frac{1}{{\cos z}}\]

va shuning uchun agar biz bu burchaklardagi kosinusni baholay olsak, bu burchaklardagi sekantni baholashimiz mumkin.


d \( \displaystyle \int_{{\, - 20}}^{{\, - 1}}{{\frac{3}{{{{\bf{e}}^{ - z}}}} - \frac{1}{{3z}}\,dz}}\) Yechim

Buni amalga oshirish uchun integraldagi ikkala atamani ham quyidagicha biroz qayta yozish kerak bo'ladi:

\[\int_{{\, - 20}}^{{\, - 1}}{{\frac{3}{{{{\bf{e}}^{ - z}}}} - \frac{1}{{3z}}\,dz}} = \int_{{\, - 20}}^{{\, - 1}}{{3{{\bf{e}}^z} - \frac{1}{3}\frac{1}{z}\,dz}}\]

Birinchi muddatni eslab qolish uchun biz ko'rsatkichlar haqida quyidagi faktdan foydalandik.

\[{x^{ - a}} = \frac{1}{{{x^a}}}\hspace{0.5in}\frac{1}{{{x^{ - a}}}} = {x^a}\]

Ikkinchi muddatda maxrajdan 3 ni olish bu atamani birlashtirishni osonlashtiradi.

Endi integral.

\[\begin{align*}\int_{{\, - 20}}^{{\, - 1}}{{\frac{3}{{{{\bf{e}}^{ - z}}}} - \frac{1}{{3z}}\,dz}} & = \left. {\left( {3{{\bf{e}}^z} - \frac{1}{3}\ln \left| z \right|} \right)} \right|_{ - 20}^{ - 1}\\ & = 3{{\bf{e}}^{ - 1}} - \frac{1}{3}\ln \left| { - 1} \right| - \left( {3{{\bf{e}}^{ - 20}} - \frac{1}{3}\ln \left| { - 20} \right|} \right)\\ & = 3{{\bf{e}}^{ - 1}} - 3{{\bf{e}}^{ - 20}} + \frac{1}{3}\ln \left| {20} \right|\end{align*}\]

Javobni shunday qoldiring. Bu tartibsiz, lekin u ham aniq.

Bu erda logarifmdagi mutlaq qiymat satrlari talab qilinishini unutmang. Ularsiz biz baholashni amalga oshira olmasdik.


e \( \displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{5{t^6} - 10t + \frac{1}{t}\;dt}}\) Yechim

Bu integralni bajarib bo'lmaydi. \(t = 0\) da uchinchi muddatda nolga bo'linish mavjud va \(t = 0\) integratsiya oralig'ida yotadi. Birinchi ikkita atama birlashtirilishi mumkinligi muhim emas. Agar integraldagi bitta hadni ham integrallash mumkin bo'lmasa, butun integralni bajarib bo'lmaydi.

Shunday qilib, biz ushbu nuqtada juda ko'p aniq integrallarni hisoblab chiqdik. Esda tutingki, ularni hisoblashdagi ishlarning katta qismi birinchi navbatda noaniq integralni topishdir. Qachonki, qolganlari faqat bir nechta sonlar ekanligini aniqladik.

Bir nechta juda murakkab aniq integrallar mavjud, biz ularni keyingi ko'rib chiqishimiz kerak. Aslida, ularni qanday qilishni ko'rmaguningizcha, ular juda qiyin, shuning uchun ular haqida juda hayajonlanmang. Birinchisi, qismli funktsiyani integratsiyalashni o'z ichiga oladi.

4-misol berilgan, \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}6&{{\mbox{if }}x > 1}\\{3{x^2}}&{{\mbox{if }}x \le 1}\end{array}} \right.\]

Quyidagi integrallarning har birini baholang.

  1. \(\displaystyle \int_{{\,10}}^{{\,22}}{{f\left( x \right)\,dx}}\)
  2. \(\displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}}\)
Munozarani ko'rsatish

Avval ushbu funktsiyaning grafigi bilan boshlaylik.

This is the graph of function from the problem statement. In the domain x< 1 it is the graph of $3x^{2}$ and in the domain x>1 it is a horizontal line at y=6.

Grafik muammoni ko'rsatadi. Bu funksiya \(x = 1\) da uzluksiz emas va biz bunga e'tibor qaratishimiz kerak.


a \(\displaystyle \int_{{\,10}}^{{\,22}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) Yechim

Ushbu integral eslatma uchun \(x = 1\) integratsiya oralig'ida emas va shuning uchun biz bu qismda tashvishlanishimizga hojat yo'q.

Shuningdek, integralning chegaralari birinchi funktsiya oralig'ida to'liq yotadi. Bu biz uchun shuni anglatadiki, biz integralni bajarganimizda, birinchi funktsiyani integralga ulashimiz kerak.

Mana integral.

\[\begin{align*}\int_{{\,10}}^{{\,22}}{{f\left( x \right)\,dx}} & = \int_{{\,10}}^{{\,22}}{{6\,dx}}\\ & = \left. {6x} \right|_{10}^{22}\\ & = 132 - 60\\ & = 72\end{align*}\]

b \(\displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) Yechim

Ushbu qismda \(x = 1\) integratsiya chegaralari orasida joylashgan. Bu shuni anglatadiki, integral integratsiya oralig'ida endi uzluksiz emas va bu biz uchun to'xtatuvchidir. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, biz integratsiya oralig'ida uzluksiz bo'lmagan funktsiyalarni oddiygina birlashtira olmaymiz.

Bundan tashqari, agar funktsiya \(x = 1\) da uzluksiz bo'lsa ham, biz integratsiya oralig'ida joylashgan joyimizga qarab, funktsiya aslida ikki xil tenglama ekanligi muammosiga duch kelamiz.

Keling, avval \(x = 1\) da uzluksiz bo'lmagan funksiya muammosini hal qilaylik. Ko'rib turganimizdek, bu holda, agar biz ushbu muammoni hal qilish yo'lini topsak, ikkinchi muammo ham bir vaqtning o'zida hal qilinadi.

Oldingi misollarda bizda uzluksiz bo'lmagan funktsiyalar mavjud bo'lsa, biz nolga bo'lindik va biz qanchalik harakat qilmasin, bu muammodan xalos bo'lolmaymiz. Nolga bo'linish haqiqiy muammo va biz undan qochib qutula olmaymiz. Bunday holda, uzilish \(x = 1\) da mavjud bo'lmagan funksiya bilan bog'liq muammolardan kelib chiqmaydi. Buning o'rniga funktsiya uzluksiz emas, chunki u \(x = 1\) ning har ikki tomonida turli qiymatlarni oladi. Biz bu muammoni eslash orqali "olib tashlashimiz" mumkin Mulk 5 oldingi bo'limdan. Bu xususiyat bizga qila olishimizni aytadi integralni quyidagicha yozing,

\[\int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\, - 2}}^{{\,1}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,1}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]

Bu intervallarning har birida funksiya uzluksizdir. Aslida, biz ko'proq narsani aytishimiz mumkin. Birinchi integralda bizda \(x\) -2 va 1 oralig'ida bo'ladi va bu biz \(f\left( x \right)\) uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi va ikkinchi integral uchun \(x\) 1 va 3 orasida bo'ladi va shuning uchun biz \(f\left( x \right)\) uchun birinchi funktsiyadan foydalanishimiz mumkin. Bu holda integral, u holda,

\[\begin{align*}\int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}} & = \int_{{\, - 2}}^{{\,1}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,1}}^{{\,3}}{{f\left( x \right)\,dx}}\\ & = \int_{{\, - 2}}^{{\,1}}{{3{x^2}\,dx}} + \int_{{\,1}}^{{\,3}}{{6\,dx}}\\ & = \left. {{x^3}} \right|_{ - 2}^1 + \left. {6x} \right|_1^3\\ & = 1 - \left( { - 8} \right) + \left( {18 - 6} \right)\\ & = 21\end{align*}\]

Shunday qilib, qismli funktsiyani integrallash uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni integratsiya oralig'ida sodir bo'ladigan uzilish nuqtasi(lar)ida parchalash va keyin har bir bo'lakni integrallashdir.

Keyinchalik, mutlaq qiymat funksiyasini qanday integrallashni ko'rib chiqishimiz kerak.

5-misol Quyidagi integralni baholang. \[\int_{0}^{3}{{\left| {3t - 5} \right|\,dt}}\]
Yechim

Eslatib o'tamiz, noma'lum integratsiya ortidagi nuqta (bu muammoni hal qilishda biz buni qilishimiz kerak) integralni olish uchun qanday funktsiyani farqlaganimizni aniqlashdir. Shu nuqtaga qadar biz mutlaq qiymatni olish uchun farqlanadigan funktsiyani ko'rmadik yoki mutlaq qiymatni olish uchun farqlanadigan funktsiyani hech qachon ko'rmadik.

Bu muammoni hal qilishning yagona yo'li mutlaq qiymatdan xalos bo'lishdir. Buning uchun mutlaq qiymat ta'rifini esga olishimiz kerak.

\[\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\mbox{if }}x \ge 0}\\{ - x}&{{\mbox{if }}x < 0}\end{array}} \right.\]

Mutlaq qiymatni bo'lak-bo'lak funktsiya sifatida belgilashimiz mumkinligini esga olsak, biz 4-misoldagi ishni ushbu integralni bajarish uchun qo'llanma sifatida ishlatishimiz mumkin.

Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, mutlaq qiymat chiziqlarining ichki qismidagi miqdor qayerda salbiy va qayerda ijobiy ekanligini aniqlashdir. Agar \(t > \frac{5}{3}\) mutlaq qiymat ichidagi miqdor ijobiy bo'lsa va \(t < \frac{5}{3}\) mutlaq qiymat ichidagi miqdor salbiy bo'lsa kabi ko'rinadi.

Keyinchalik, \(t = \frac{5}{3}\) integratsiya oralig'ida ekanligiga e'tibor bering va shuning uchun agar biz ushbu nuqtada integralni buzsak, biz olamiz,

\[\int_{{\,0}}^{{\,3}}{{\left| {3t - 5} \right|\,dt}} = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{3}}}{{\left| {3t - 5} \right|\,dt}} + \int_{{\,\frac{5}{3}}}^{{\,3}}{{\left| {3t - 5} \right|\,dt}}\]

Endi, birinchi integralda bizda \(t < \frac{5}{3}\) va shu integratsiya oralig'ida \(3t - 5 < 0\) mavjud. Bu shuni anglatadiki, agar biz minus belgisini qo'ysak, mutlaq qiymat chiziqlarini tashlab yuborishimiz mumkin. Xuddi shunday, ikkinchi integralda bizda \(t > \frac{5}{3}\) mavjud, ya'ni bu integratsiya oralig'ida bizda \(3t - 5 > 0\) mavjud va shuning uchun biz ushbu integraldagi mutlaq qiymat satrlarini tushirishimiz mumkin.

Har bir integraldagi mutlaq qiymat satrlaridan qutulganimizdan so'ng biz har bir integralni bajarishimiz mumkin. Shunday qilib, integratsiyani amalga oshirish,

\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,3}}{{\left| {3t - 5} \right|\,dt}} & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{3}}}{{ - \left( {3t - 5} \right)\,dt}} + \int_{{\,\frac{5}{3}}}^{{\,3}}{{3t - 5\,dt}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{3}}}{{ - 3t + 5\,dt}} + \int_{{\,\frac{5}{3}}}^{{\,3}}{{3t - 5\,dt}}\\ & = \left. {\left( { - \frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^{\frac{5}{3}} + \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} - 5t} \right)} \right|_{\frac{5}{3}}^3\\ & = - \frac{3}{2}{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} + 5\left( {\frac{5}{3}} \right) - \left( 0 \right) + \left( {\frac{3}{2}{{\left( 3 \right)}^2} - 5\left( 3 \right) - \left( {\frac{3}{2}{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2} - 5\left( {\frac{5}{3}} \right)} \right)} \right)\\ & = \frac{{25}}{6} + \frac{8}{3}\\ & = \frac{{41}}{6}\end{align*}\]

Mutlaq qiymat funktsiyalarini integratsiya qilish juda yomon emas. Bu "standart" aniq integraldan ko'ra bir oz ko'proq ish, lekin bu aslida unchalik ko'p ish emas. Birinchidan, mutlaq qiymat satrlari ichidagi miqdor qayerda manfiy, qayerda ijobiy ekanligini aniqlang. Ushbu nuqtani aniqlaganimizda, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa integralni sindirishdir, shunda har bir chegara oralig'ida mutlaq qiymatlar qatorlari ichidagi miqdor har doim ijobiy yoki har doim salbiy bo'ladi. Bu bajarilgandan so'ng, biz mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin (miqdori manfiy bo'lganda salbiy belgilar qo'shamiz) va keyin biz har doimgidek integralni bajarishimiz mumkin.

Juft va toq funksiyalar

Bu biz ushbu bo'limda muhokama qilishimiz kerak bo'lgan oxirgi mavzu.

Birinchidan, esda tutingki, juft funktsiya bu har qanday funktsiyani qanoatlantiradi,

\[f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\]

Juft funksiyalarning tipik misollari:

\[f\left( x \right) = {x^2}\hspace{0.5in}f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\]

Toq funksiya - bu qanoatlantiradigan har qanday funktsiya,

\[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\]

G'alati funktsiyalarga odatiy misollar:

\[f\left( x \right) = {x^3}\hspace{0.5in}f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\]

\(\left[ { - a,a} \right]\) oralig'ida juft va toq funktsiyalarni birlashtirish haqida bir nechta yoqimli faktlar mavjud. Agar \(f\left( x \right)\) teng funksiya bo'lsa,

\[\int_{{\, - a}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}} = 2\int_{{\,0}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]

Xuddi shunday, agar \(f\left( x \right)\) g'alati funktsiya bo'lsa,

\[\int_{{\, - a}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}} = 0\]

E'tibor bering, ushbu faktlardan foydalanish uchun integratsiya chegarasi bir xil sonda bo'lishi kerak, ammo qarama-qarshi belgilar!

6-misol Quyidagilarning har birini birlashtiring.
  1. \( \displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{4{x^4} - {x^2} + 1\,dx}}\)
  2. \( \displaystyle \int_{{\, - 10}}^{{\,10}}{{{x^5} + \sin \left( x \right)\,dx}}\)

Bularning hech biri juda qiyin integrallar emas, lekin baribir ulardagi faktlardan foydalanishimiz mumkin.

a \( \displaystyle \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{4{x^4} - {x^2} + 1\,dx}}\) Yechim

Bu holda integratsiya juft va interval to'g'ri, shuning uchun,

\[\begin{align*}\int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{4{x^4} - {x^2} + 1\,dx}} & = 2\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{4{x^4} - {x^2} + 1\,dx}}\\ & = \left. {2\left( {\frac{4}{5}{x^5} - \frac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^2\\ & = \frac{{748}}{{15}}\end{align*}\]

Shunday qilib, faktdan foydalanib, baholashni yarmiga qisqartiring (mohiyatida yangi chegaralardan biri nolga teng edi).


b \( \displaystyle \int_{{\, - 10}}^{{\,10}}{{{x^5} + \sin \left( x \right)\,dx}}\) Yechim

Bu holda integral g'alati va oraliq to'g'ri shaklda va shuning uchun biz hatto integrallashimiz shart emas. Faqat haqiqatdan foydalaning.

\[\int_{{\, - 10}}^{{\,10}}{{{x^5} + \sin \left( x \right)\,dx}} = 0\]

Bu erda integratsiya chegaralari muhim ekanligini unutmang. Misol tariqasida oxirgi integralni oling. Chegaralarni kichik o'zgartirish bizga nolni bermaydi.

\[\int_{{\, - 10}}^{{\,9}}{{{x^5} + \sin \left( x \right)\,dx}} = \cos \left( {10} \right) - \cos \left( 9 \right) - \frac{{468559}}{6} = - 78093.09461\]

Bu erda axloq - ehtiyot bo'lish va bu faktlarni suiiste'mol qilmaslikdir.