2.6-bo'lim: Kvadrat tenglamalar - II qism
Kvadrat tenglamalarni yechish mavzusi buni Internetda ko'rayotganlar uchun ikki qismga bo'lingan. Bitta bo'lim sifatida sahifani yuklash vaqti ancha uzoq bo'lar edi. Bu kvadrat tenglamalarni yechishning ikkinchi bo'limi.
Oldingida biz kvadrat tenglamalarni yechish uchun faktoring va kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanishni ko'rib chiqdik. Muammo shundaki, bu ikkala yechim usuli har doim ham ishlamaydi. Har bir kvadrat faktorli emas va har bir kvadratik kvadrat ildiz xususiyati uchun zarur bo'lgan shaklda emas.
Endi barcha kvadrat tenglamalar uchun ishlaydigan usullarni izlashni boshlash vaqti keldi. Shunday qilib, ushbu bo'limda biz kvadrat tenglamani yechish uchun kvadrat va kvadrat formulani to'ldirishni ko'rib chiqamiz,
\[a{x^2} + bx + c = 0\hspace{0.25in}a \ne 0\]Kvadratni yakunlash
Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan birinchi usul kvadratni to'ldirishdir. Bu shunday deyiladi, chunki u hal qilish jarayonida kvadratni to'ldirish deb ataladigan jarayondan foydalanadi. Shunday qilib, biz birinchi navbatda kvadratni to'ldirish nima ekanligini aniqlashimiz kerak.
dan boshlaylik
\[{x^2} + bx\]va e'tibor bering x2 bir koeffitsientga ega. Buni amalga oshirish uchun bu talab qilinadi. Keling, bunga \({\left( {\frac{b}{2}} \right)^2}\) qo'shamiz. Buni amalga oshirish quyidagilarni beradi faktorli kvadrat tenglama.
\[{x^2} + bx + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{b}{2}} \right)^2}\]Bu jarayon deyiladi kvadratni to'ldirish va agar biz barcha arifmetikani to'g'ri bajarsak, kvadratikning mukammal kvadrat bo'lishini kafolatlashimiz mumkin.
Kvadrat tenglamalarni yechishda undan qanday foydalanishimizni ko'rib chiqishdan oldin kvadratni to'ldirish uchun bir nechta misol keltiraylik.
- \({x^2} - 16x\)
- \({y^2} + 7y\)
a \({x^2} - 16x\) Yechim
Mana biz tenglamaga qo'shadigan raqam.
\[\require{color}{\left( {\frac{{ - 16}}{2}} \right)^2} = {\left( {\color{ProcessBlue} - 8} \right)^2} = 64\]E'tibor bering, biz bu erda minus belgisini saqlab qoldik, garchi u hamma narsani kvadratga aylantirgandan so'ng har doim o'chib ketadi. Buning sababi bir soniya ichida ma'lum bo'ladi. Endi kvadratni to'ldiramiz.
\[\require{color}{x^2} - 16x\, {\color{Red}+ 64} = {\left( {x {\color{ProcessBlue}- 8}} \right)^2}\]Endi, bu kvadratik bo'lib, umid qilamanki, siz juda tez faktorlar olasiz. Biroq, e'tibor bering, u har doim \(x\) va biz yuqorida hisoblagan qavs ichidagi ko'k raqamni hisobga oladi (bizning holatda bu -8). Bu minus belgisini qoldirishning sababi. Bu faktoring jarayonida xato qilmasligimizga ishonch hosil qiladi.
b \({y^2} + 7y\) Yechim
Mana bu safar bizga kerak bo'ladigan raqam.
\[\require{color}{\left( {\color{ProcessBlue}\frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{{49}}{4}\]Bu qisman va bu juda tez-tez sodir bo'ladi, shuning uchun bundan hayajonlanmang. Bundan tashqari, uni kasr sifatida qoldiring. Kasrga aylantirmang. Endi kvadratni to'ldiring.
\[\require{color}{y^2} + 7y \,{\color{Red}+ \frac{{49}}{4}} = {\left( {y \color{ProcessBlue}{+ \frac{7}{2}}} \right)^2}\]Buni hisobga olish unchalik oson emas. Ammo, agar siz yana bir bor eslasangiz, bu DOIMA \(y\) va yuqoridagi ko'k raqam sifatida omil bo'ladi, biz faktoring jarayoni haqida tashvishlanishimiz shart emas.
Endi kvadrat tenglamani echish uchun kvadratni to'ldirishdan qanday foydalanishimizni ko'rish vaqti keldi. Jarayon eng yaxshi misol sifatida ishlaganimizda ko'rinadi, shuning uchun buni qilaylik.
- \({x^2} - 6x + 1 = 0\)
- \(2{x^2} + 6x + 7 = 0\)
- \(3{x^2} - 2x - 1 = 0\)
Munozarani ko'rsatish
Biz har bir qadamni aniq ko'rsatib, birinchi muammoni batafsil bajaramiz. Qolgan muammolarda biz shunchaki tushuntirishsiz ishni bajaramiz.
a \({x^2} - 6x + 1 = 0\) Yechim
Shunday qilib, keling, boshlaylik.
1-qadam : Tenglamani koeffitsientiga bo'ling x2 muddat. Eslatib o'tamiz, kvadratni to'ldirish uchun bu muddatda bitta koeffitsient kerak edi va bu biz buni olishimizni kafolatlaydi. Biroq, bu tenglama uchun buni qilishimiz shart emas.
2-qadam : Tenglamani shunday o'rnating, shunda \(x\) ning chap tomonida va doimiysi o'ng tomonda bo'ladi.
\[{x^2} - 6x = - 1\]3-qadam : Chap tarafdagi kvadratni to'ldiring. Biroq, bu safar biz raqamni faqat chap tomon o'rniga tenglik belgisining ikkala tomoniga qo'shishimiz kerak bo'ladi. Buning sababi shundaki, biz tenglamaning bir tomoniga nima qilsak, tenglamaning boshqa tomoniga qilishimiz kerak degan qoidani esga olishimiz kerak.
Birinchidan, bu erda biz ikkala tomonga qo'shadigan raqam.
\[{\left( {\frac{{ - 6}}{2}} \right)^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\]Endi kvadratni to'ldiring.
\[\require{color} \begin{align*}{x^2} - 6x\,{\color{Red} + 9} & = - 1 \,{\color{Red} + 9}\\ {\left( {x - 3} \right)^2} & = 8\end{align*}\]4-qadam : Endi, ushbu nuqtada biz ushbu tenglamada kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanishimiz mumkinligiga e'tibor bering. Dastlabki uchta qadamning maqsadi shu edi. Buni qilish bizga tenglamaning yechimini beradi.
\[x - 3 = \pm \sqrt 8 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 3 \pm \sqrt 8 \]Va bu jarayon. Endi qolgan qismlarni bajaramiz.
b \(2{x^2} + 6x + 7 = 0\) Yechim
Biz bu safar qadamlarni aniq ko'rsatmaymiz va bu tenglama uchun ko'p tushuntirishlarni bermaymiz. Aytgancha, bu safar birinchi qadamni qilishimiz kerakligiga e'tibor bering. Bizda bitta koeffitsient yo'q x2 atama va shuning uchun biz birinchi navbatda tenglamani unga bo'lishimiz kerak.
Mana bu tenglama uchun ish.
\[\begin{align*}{x^2} + 3x + \frac{7}{2} & = 0\\ {x^2} + 3x & = - \frac{7}{2}\hspace{0.75in}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\\ {x^2} + 3x + \frac{9}{4} & = - \frac{7}{2} + \frac{9}{4}\\ {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} & = - \frac{5}{4}\\ x + \frac{3}{2} &= \pm \sqrt { - \frac{5}{4}} \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = - \frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}i\end{align*}\]Salbiy sonlarning kvadrat ildizlarini murakkab sonlarga aylantirishni unutmang!
c \(3{x^2} - 2x - 1 = 0\) Yechim
Shunga qaramay, biz bu muammo uchun ko'p izoh bermaymiz.
\[\begin{align*}{x^2} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} & = 0\\ {x^2} - \frac{2}{3}x & = \frac{1}{3}\end{align*}\]Ushbu nuqtada kvadratni to'ldirish uchun raqamni hisoblashda ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki \(b\) endi birinchi marta kasrdir.
\[{\left( {\frac{{ - \frac{2}{3}}}{2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\]Endi muammoni tugating.
\[\begin{align*}{x^2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\\ {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} & = \frac{4}{9}\\ x - \frac{1}{3} & = \pm \sqrt {\frac{4}{9}} \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{1}{3} \pm \frac{2}{3}\end{align*}\]Bunday holda, ikkita butun va/yoki kasrli echimlarni olish uchun bu erda arifmetikani amalga oshirishimiz mumkinligiga e'tibor bering. Bizning yechimimizda faqat butun sonlar va/yoki kasrlar mavjud bo'lganda, biz buni har doim qilishimiz kerak. Mana ikkita yechim.
\[x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}\]Oldingi misolda biz hal qilgan oxirgi tenglama haqida qisqacha izoh berish kerak. Yechim sifatida biz butun son va kasrlarni olganimiz sababli, kvadratni to‘ldirishdan ko‘ra, bu tenglamani boshidan faktorlarga ajratishimiz mumkin edi. Bunday hollarda biz ikkala usuldan ham foydalanishimiz mumkin va biz bir xil natijaga erishamiz.
Endi haqiqat shundaki, kvadratni yakunlash juda uzoq jarayon va xato qilish oson. Shunday qilib, biz uni tenglamalarni echish uchun kamdan-kam ishlatamiz. Bu jarayonni bilish muhim emas degani emas. Biz undan keyingi boblarda bir nechta bo'limlarda foydalanamiz va ko'pincha boshqa sinflarda qo'llaniladi.
Kvadrat formula
Bu kvadrat tenglamalarni yechishning oxirgi usuli va har doim ishlaydi. Nafaqat bu, balki formulani eslab qolsangiz, bu juda oddiy jarayon.
Umumiy kvadrat formuladagi kvadratni standart shaklda to'ldirib, kvadrat formulani olishimiz mumkin. Keling, buni qilaylik va barcha qadamlar aniq ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz buni sekinlashtiramiz.
Birinchidan, biz yuqorida aytib o'tilganidek, standart shaklda kvadrat tenglamaga ega bo'lishimiz kerak. Keyinchalik, bitta koeffitsientni olish uchun ikkala tomonni \(a\) ga bo'lishimiz kerak x2 muddat.
\[\begin{align*}a{x^2} + bx + c & = 0\\ {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} & = 0\end{align*}\]Keyinchalik, doimiyni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazing.
\[{x^2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\]Endi biz kvadratni to'ldirishimiz kerak bo'lgan sonni hisoblashimiz kerak. Shunga qaramay, bu \(x\) koeffitsientining yarmi, kvadrat.
\[{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\]Endi buni ikkala tomonga qo'shing, kvadratni to'ldiring va narsalarni biroz soddalashtirish uchun o'ng tomonda umumiy maxrajlarni oling.
\[\begin{align*}{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} & = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}\\ {\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} & = \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\end{align*}\]Endi buning uchun kvadrat ildiz xususiyatidan foydalanishimiz mumkin.
\[x + \frac{b}{{2a}} = \pm \sqrt {\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \]\(x\) ni hal qiling va biz kvadrat ildizni ham biroz soddalashtiramiz.
\[x = - \frac{b}{{2a}} \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]Oxirgi qadam sifatida biz ikkita atama bo'yicha umumiy maxrajlar borligini ko'ramiz va shuning uchun ularni qo'shamiz. Buni qilish,
\[x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]Xulosa qilib aytganda, standart shaklda boshlasak,
\[a{x^2} + bx + c = 0\]va bu juda muhim, u holda har qanday kvadrat tenglamaning yechimi,
\[x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]Keling, bir nechta misollar bilan ishlaylik.
- \({x^2} + 2x = 7\)
- \(3{q^2} + 11 = 5q\)
- \(7{t^2} = 6 - 19t\)
- \(\frac{3}{{y - 2}} = \frac{1}{y} + 1\)
- \(16x - {x^2} = 0\)
Munozarani ko'rsatish
Bu erda eng muhimi, kvadrat formuladan foydalanishni boshlashdan oldin, biz tenglamani standart shaklda olishimizga ishonch hosil qilishdir.
a \({x^2} + 2x = 7\) Yechim
Shunday qilib, bu erda qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa tenglamani standart shaklga keltirishdir.
\[{x^2} + 2x - 7 = 0\]Ushbu nuqtada kvadrat formulada foydalanish uchun qiymatlarni aniqlashimiz mumkin. Ushbu tenglama uchun bizda mavjud.
\[a = 1\hspace{0.25in}b = 2\hspace{0.25in}c = - 7\]\(c\) bilan "-" belgisiga e'tibor bering. Har qanday minus belgilarini doimiylar bilan birga olib yurishimizga ishonch hosil qilish muhimdir.
Bu vaqtda formulaga ulanishdan boshqa qiladigan ish yo'q.
\[\begin{align*}x & = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 7} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}}\\ & = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {32} }}{2}\end{align*}\]Bu tenglamaning ikkita yechimi mavjud. Bundan tashqari, biz qila oladigan ba'zi soddalashtirishlar mavjud. Biroq, biz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu nuqtadagi eng katta xatolardan biri bu hisob va maxrajdagi ikkita 2 ni "bekor qilish". Esda tutingki, hisob yoki maxrajdan biror narsani bekor qilish uchun uni butun hisob yoki maxrajga ko'paytirish kerak. Numeratordagi 2 butun maxrajga ko'paytirilmagani uchun uni bekor qilib bo'lmaydi.
Bu erda har qanday soddalashtirish uchun biz birinchi navbatda kvadrat ildizni kamaytirishimiz kerak. O'sha paytda biz biroz bekor qilishimiz mumkin.
\[x = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {\left( {16} \right)2} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 4\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\left( { - 1 \pm 2\sqrt 2 } \right)}}{2} = - 1 \pm 2\sqrt 2 \]Bu juda yaxshi javob, shuning uchun biz deyarli har doim bunday soddalashtirishni amalga oshiramiz.
b \(3{q^2} + 11 = 5q\) Yechim
Endi, bu holda o'zgaruvchi \(x\) emasligidan hayajonlanmang. O'zgaruvchi uchun ishlatiladigan harfdan qat'iy nazar hamma narsa bir xil ishlaydi. Shunday qilib, avval tenglamani standart shaklga keltiramiz.
\[3{q^2} + 11 - 5q = 0\]Endi bu odatiy standart shaklda emas. Biroq, ko'pchilik o'quvchilar kvadrat formulani birinchi marta o'rganayotganda juda keng tarqalgan xatoga yo'l qo'ymaslik uchun bu erda bir fikrni aytishimiz kerak.
Ko'pgina talabalar biz bu erda qilganimizdek hamma narsani bir tomondan oladi va keyin pozitsiyaga qarab \(a\), \(b\) va \(c\) qiymatlarini oladi. Boshqacha qilib aytganda, talabalar ko'pincha \(a\) ro'yxatdagi birinchi raqam, \(b\) ikkinchi raqam bo'lishi va keyin \(c\) ro'yxatdagi yakuniy raqam bo'lishiga ruxsat berishadi. Biroq, bu to'g'ri emas. Kvadrat formula uchun \(a\) kvadratik a'zoning koeffitsienti, \(b\) - faqat o'zgaruvchisi (kvadrat emas) bo'lgan atama koeffitsienti va \(c\) - doimiy haddir. Shunday qilib, bu xatoga yo'l qo'ymaslik uchun biz har doim kvadrat tenglamani rasmiy standart shaklga qo'yishimiz kerak.
\[3{q^2} - 5q + 11 = 0\]Endi biz \(a\), \(b\) va \(c\) qiymatini aniqlashimiz mumkin.
\[a = 3\hspace{0.25in}b = - 5\hspace{0.25in}c = 11\]Shunga qaramay, minus belgilar bilan ehtiyot bo'ling. Ular qadriyatlar bilan birga bo'lishlari kerak.
Nihoyat, yechimni olish uchun kvadrat formulaga ulang.
\[\begin{align*}q & = \frac{{ - \left( { - 5} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 4\left( 3 \right)\left( {11} \right)} }}{{2\left( 3 \right)}}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt {25 - 132} }}{6}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt { - 107} }}{6}\\ & = \frac{{5 \pm \sqrt {107} \,\,i}}{6}\end{align*}\]Kvadrat tenglamalarni echishda biz ko'rib chiqqan barcha boshqa usullarda bo'lgani kabi, manfiy sonlarning kvadrat ildizlarini kompleks sonlarga aylantirishni unutmang. Bundan tashqari, \(b\) salbiy bo'lsa, almashtirishda juda ehtiyot bo'ling. Bu, ayniqsa, radikal ostidagi kvadrat qism uchun to'g'ri keladi. Yodingizda bo'lsin, agar siz salbiy sonni kvadratga aylantirsangiz, u ijobiy bo'ladi. Bu yerda tez-tez uchraydigan xatolardan biri shoshilish va \(b\) kvadratidan keyin minus belgisini tushirishni unutishdir, shuning uchun ehtiyot bo'ling.
c \(7{t^2} = 6 - 19t\) Yechim
Biz birinchi ikkitasida qilganimiz haqida batafsil ma'lumot bermaymiz. Mana bu tenglamaning standart shakli.
\[7{t^2} + 19t - 6 = 0\]Bu erda kvadrat formulaning qiymatlari va kvadrat formulaning o'zi.
\[a = 7\hspace{0.25in}b = 19\hspace{0.25in}c = - 6\] \[\begin{align*}t & = \frac{{ - 19 \pm \sqrt {{{\left( {19} \right)}^2} - 4\left( 7 \right)\left( { - 6} \right)} }}{{2\left( 7 \right)}}\\ & = \frac{{ - 19 \pm \sqrt {361 + 168} }}{{14}}\\ & = \frac{{ - 19 \pm \sqrt {529} }}{{14}}\\ & = \frac{{ - 19 \pm 23}}{{14}}\end{align*}\]Endi eslaylikki, biz shunga o'xshash echimlarni olganimizda, biz qo'shimcha bosqichga o'tishimiz va aslida butun va/yoki kasr yechimlarni aniqlashimiz kerak. Bu holda ular,
\[t = \frac{{ - 19 + 23}}{{14}} = \frac{2}{7}\hspace{0.25in}t = \frac{{ - 19 - 23}}{{14}} = - 3\]Endi, kvadratni to'ldirishda bo'lgani kabi, bizda butun son va/yoki kasr yechimlari olinganligi, biz bu kvadrat tenglamani ham faktorlarga ajratishimiz mumkinligini anglatadi.
d \(\frac{3}{{y - 2}} = \frac{1}{y} + 1\) Yechim
Shunday qilib, unda kasrlar bo'lgan tenglama. Birinchi qadam LCD displeyni aniqlashdir.
\[{\mbox{LCD : }}y\left( {y - 2} \right)\]Shunday qilib, biz nolga bo'linmaslik uchun javoblarimizda \(y = 0\) yoki \(y = 2\) yo'qligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Ikkala tomonni LCD bilan ko'paytiring va natijani standart shaklga qo'ying.
\[\begin{align*}\left( y \right)\left( {y - 2} \right)\left( {\frac{3}{{y - 2}}} \right) & = \left( {\frac{1}{y} + 1} \right)\left( y \right)\left( {y - 2} \right)\\ 3y & = y - 2 + y\left( {y - 2} \right)\\ 3y & = y - 2 + {y^2} - 2y\\ 0 & = {y^2} - 4y - 2\end{align*}\]OK, biz kvadrat formula uchun quyidagi qiymatlarni oldik.
\[a = 1\hspace{0.25in}b = - 4\hspace{0.25in}c = - 2\]Kvadrat formulaga ulanganda,
\[\begin{align*}y & = \frac{{ - \left( { - 4} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4\left( 1 \right)\left( { - 2} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}}\\ & = \frac{{4 \pm \sqrt {24} }}{2}\\ & = \frac{{4 \pm 2\sqrt 6 }}{2}\\ & = 2 \pm \sqrt 6 \end{align*}\]E'tibor bering, bu ikkalasi ham yechim bo'ladi, chunki ularning hech biri biz qochishimiz kerak bo'lgan qadriyatlar emas.
e \(16x - {x^2} = 0\) Yechim
Biz faktoring tenglamalarini ko'rib chiqayotganimizda oldingi bo'limda shunga o'xshash tenglamani ko'rdik va buni faktoring orqali yechish, albatta, osonroq bo'lar edi. Biroq, biz baribir bir nechta fikrlarni yaratish uchun kvadrat formuladan foydalanamiz.
Birinchidan, standart shaklga o'xshash bo'lishi uchun tartibni biroz o'zgartiramiz.
\[ - {x^2} + 16x = 0\]Kvadrat formulada foydalanish uchun konstantalar.
\[a = - 1\hspace{0.25in}b = 16\hspace{0.25in}c = 0\]Ushbu qadriyatlar haqida ikkita narsaga e'tibor berish kerak. Birinchidan, bizda birinchi marta salbiy \(a\) bor. Bu unchalik katta emas, lekin biz buni birinchi marta ko'rmoqdamiz. Ikkinchidan, va bundan ham muhimi, qiymatlardan biri nolga teng. Bu yaxshi. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi va aslida nol qiymatlardan biriga ega bo'lish ishni ancha soddalashtiradi.
Mana bu tenglamaning kvadrat formulasi.
\[\begin{align*}x & = \frac{{ - 16 \pm \sqrt {{{\left( {16} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( 0 \right)} }}{{2\left( { - 1} \right)}}\\ & = \frac{{ - 16 \pm \sqrt {256} }}{{ - 2}}\\ & = \frac{{ - 16 \pm 16}}{{ - 2}}\end{align*}\]Bularni butun sonlar/kasrlarga qisqartirish,
\[x = \frac{{ - 16 + 16}}{{ - 2}} = \frac{0}{-2} = 0\hspace{0.25in}x = \frac{{ - 16 - 16}}{{ - 2}} = \frac{{ - 32}}{{ - 2}} = 16\]Shunday qilib, biz \(x = 0\) va \(x = 16\) ikkita yechimni olamiz. Aynan shu yechimlar tenglamani faktorlarga ajratish orqali erishgan bo'lardik.
Shu nuqtaga qadar ushbu bo'limda ham, oldingi bo'limda ham biz faqat butun sonli koeffitsientli tenglamalarni ko'rib chiqdik. Biroq, bu shunday bo'lishi shart emas. Biz kasr yoki o'nlik koeffitsientga ega bo'lishimiz mumkin. Shunday qilib, biz ham shunga o'xshash narsani ko'rgan deb aytishimiz uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \frac{1}{2}{x^2} + x - \frac{1}{{10}} = 0\)
- \(0.04{x^2} - 0.23x + 0.09 = 0\)
a \(\displaystyle \frac{1}{2}{x^2} + x - \frac{1}{{10}} = 0\) Yechim
Bu bilan ishlashning ikki yo'li mavjud. Biz kasrlarni qoldirishimiz yoki LCD displeyga ko'paytirishimiz mumkin (bu holda 10) va bu tenglamani echishimiz mumkin. Ikkala yo'l ham bir xil javob beradi. Biz bu erda faqat kasr holatini qilamiz, chunki bu muammoning mohiyati. Xuddi shu yechimga ega ekanligingizni tekshirish uchun boshqa yo'lni sinab ko'rishingiz kerak.
Bunday holda, bu erda kvadrat formula uchun qiymatlar, shuningdek, bu tenglama uchun kvadrat formula ish.
\[a = \frac{1}{2}\hspace{0.25in}b = 1\hspace{0.25in}c = - \frac{1}{{10}}\] \[x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {{{\left( 1 \right)}^2} - 4\left( {\frac{1}{2}} \right)\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)} }}{{2\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 + \frac{1}{5}} }}{1} = - 1 \pm \sqrt {\frac{6}{5}} \]Bunday hollarda biz odatda maxrajdan kvadrat ildizni olib tashlashning qo'shimcha bosqichiga o'tamiz, shuning uchun buni ham qilaylik,
\[x = - 1 \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\,\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} = - 1 \pm \frac{{\sqrt {\left( 6 \right)\left( 5 \right)} }}{5} = - 1 \pm \frac{{\sqrt {30} }}{5}\]Agar siz kasrlarni tozalab, kvadrat formuladan o'tsangiz, xuddi shunday natijaga erishasiz. Amaliyot uchun siz buni haqiqatan ham sinab ko'rishingiz kerak.
b \(0.04{x^2} - 0.23x + 0.09 = 0\) Yechim
Bunday holda, o'nli kasrlar haqida hayajonlanmang. Kvadrat formula ham xuddi shunday ishlaydi. Mana bu muammo uchun qiymatlar va kvadrat formulalar ishlaydi.
\[a = 0.04\hspace{0.25in}b = - 0.23\hspace{0.25in}c = 0.09\] \[\begin{align*}x & = \frac{{ - \left( { - 0.23} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 0.23} \right)}^2} - 4\left( {0.04} \right)\left( {0.09} \right)} }}{{2\left( {0.04} \right)}}\\ & = \frac{{0.23 \pm \sqrt {0.0529 - 0.0144} }}{{0.08}}\\ & = \frac{{0.23 \pm \sqrt {0.0385} }}{{0.08}}\end{align*}\]Endi bu muammolar bilan butun yoki kasr koeffitsientlari o'rtasidagi yagona farq bo'ladi. Bizda o'nlik koeffitsientlar mavjud bo'lganda, biz odatda oldinga boramiz va ikkita alohida raqamni hisoblaymiz. Shunday qilib, keling, buni qilaylik,
\[x = \frac{{0.23 \pm \sqrt {0.0385} }}{{0.08}} = \frac{{0.23 \pm 0.19621}}{{0.08}}\] \[\begin{align*}x = \frac{{0.23 + 0.19621}}{{0.08}}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = \frac{{0.23 - 0.19621}}{{0.08}}\\ & \,\,\,\, = 5.327625\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\,\,\,\, = 0.422375\end{align*}\]E'tibor bering, biz kvadrat ildizda yaxlitlashdan foydalanganmiz.
So'nggi ikki bo'lim davomida biz juda ko'p hal qildik. Ushbu bo'limlarda qilgan ishlarning barchasini bo'lmasa ham, ko'pini tushunishingiz muhim, chunki keyingi bo'limlarda sizdan bunday ishni bajarish so'raladi.