Ilova A.7: Infinity turlari
Ko'pgina talabalar hisob darsidan oldin bir vaqtning o'zida cheksizlikni bosib o'tishgan. Biroq, ular buni ko'rib chiqishganida, bu haqiqatan ham, haqiqatan ham katta musbat yoki haqiqatan ham, juda katta salbiy sonni ifodalash uchun ishlatiladigan belgi edi va bu uning hajmi edi. Hisoblash sinfiga kirgandan so'ng, talabalardan cheksiz algebrani bajarish so'raladi va bu erda ular muammoga duch kelishadi. Cheksizlik bu raqam emas va ko'pincha raqam kabi harakat qilmaydi. Biroq, shunga qaramay, biz ushbu bo'limda cheksizlikni haqiqatan ham, haqiqatan ham, juda katta raqam deb hisoblaymiz, undan kattaroq boshqa raqam yo'q. Bu, albatta, to'g'ri emas, lekin ushbu bo'limda muhokama qilishda yordam berishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu bo'limda muhokama qiladigan barcha narsalar faqat haqiqiy raqamlarga tegishli. Misol uchun, agar siz kompleks sonlarga o'tsangiz, narsalar o'zgarishi va o'zgarishi mumkin.
Shunday qilib, keling, cheksizlik bilan qo'shish haqida o'ylashni boshlaylik. Ikki nolga teng bo'lmagan raqamni qo'shsangiz, siz yangi raqam olasiz. Masalan, \(4 + 7 = 11\). Cheksizlik bilan bu to'g'ri emas. Cheksizlik bilan sizda quyidagilar mavjud.
\[\begin{align*}\infty + a & = \infty \hspace{0.25in}{\mbox{where }}a \ne - \infty \\ \infty + \infty & = \infty \end{align*}\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, haqiqatan ham katta musbat raqam (\(\infty \)) va hajmidan qat'i nazar, har qanday ijobiy raqam hali ham haqiqatan ham juda katta ijobiy raqamdir. Xuddi shunday, siz salbiy raqam qo'shishingiz mumkin (i.e. \(a < 0\)) haqiqatan ham, haqiqatan ham katta ijobiy raqamga va haqiqatan ham, haqiqatan ham katta va ijobiy bo'lib qoladi. Shunday qilib, agar siz ehtiyot bo'lsangiz, cheksizlik bilan bog'liq qo'shimchani intuitiv tarzda hal qilish mumkin. Shuni ham yodda tutingki, \(a\) manfiy cheksizlik bo'lmasligi kerak. Agar shunday bo'lsa, biz birozdan keyin ko'rib turganimizdek, hal qilishimiz kerak bo'lgan jiddiy muammolar mavjud.
Salbiy cheksizlik bilan olib tashlash ham ko'p hollarda intuitiv tarzda hal qilinishi mumkin. Haqiqatan ham katta manfiy son, uning kattaligidan qat'i nazar, har qanday musbat sonni olib tashlagan holda, baribir haqiqatdan ham katta manfiy sondir. Salbiy sonni ayirish (i.e. \(a < 0\)) chindan ham katta manfiy son hali ham haqiqatan ham katta manfiy son bo'ladi. Yoki,
\[\begin{align*} - \infty - a & = - \infty \hspace{0.25in}{\mbox{where }}a \ne - \infty \\ - \infty - \infty & = - \infty \end{align*}\]Shunga qaramay, \(a\) ba'zi potentsial jiddiy qiyinchiliklardan qochish uchun salbiy cheksizlik bo'lmasligi kerak.
Ko'paytirishni ham intuitiv tarzda hal qilish mumkin. Haqiqatan ham katta son (ijobiy yoki manfiy) har qanday sonning kattaligidan qat'i nazar, baribir haqiqatan ham juda katta raqam bo'lib, biz faqat belgilar bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ko'paytirish holatida bizda mavjud
\[\begin{array}{c}\left( a \right)\left( \infty \right) = \infty \hspace{0.25in}{\mbox{if }}a > 0\hspace{0.75in}\left( a \right)\left( \infty \right) = - \infty \hspace{0.25in}{\mbox{if }}a < 0\\ \\ \left( \infty \right)\left( \infty \right) = \infty \hspace{0.5in}\left( { - \infty } \right)\left( { - \infty } \right) = \infty \hspace{0.75in}\left( { - \infty } \right)\left( \infty \right) = - \infty \end{array}\]Ijobiy va manfiy sonlarning ko'paytmalari haqida bilganlaringiz bu erda hamon to'g'ri.
Bo'linishning ba'zi shakllarini intuitiv tarzda ham hal qilish mumkin. Haqiqatan ham juda katta son unchalik katta bo'lmagan songa bo'linib, haqiqatan ham juda katta raqam.
\[\begin{align*}\frac{\infty }{a} & = \infty & \hspace{0.25in} & {\mbox{if }}a > 0,a \ne \infty & \hspace{0.75in}\frac{\infty }{a} & = - \infty & \hspace{0.25in}{\mbox{if }}a < 0,a \ne - \infty \\ \frac{{ - \infty }}{a} & = - \infty & \hspace{0.25in} & {\mbox{ if }}a > 0,a \ne \infty & \hspace{0.75in}\frac{{ - \infty }}{a} & = \infty & \hspace{0.25in}{\mbox{ if }}a < 0,a \ne - \infty \end{align*}\]Raqamni cheksizlikka bo'lish biroz intuitiv, ammo siz bilishingiz kerak bo'lgan bir nechta nozikliklar mavjud. Cheksizlikka bo'linish haqida gapirganda, biz cheklovchi jarayon haqida gapiramiz, unda maxraj cheksizlikka boradi. Shunday qilib, unchalik katta bo'lmagan son borgan sari kattaroq songa bo'linadi. Boshqacha qilib aytganda, bizda mavjud bo'lgan chegarada,
\[\frac{a}{\infty } = 0\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\frac{a}{{ - \infty }} = 0\]Shunday qilib, biz cheksizlikni o'z ichiga olgan deyarli barcha asosiy algebraik operatsiyalarni ko'rib chiqdik. Biz hali ko'rib chiqmagan ikkita holat mavjud. Bular
\[\infty - \infty = {\mbox{?}}\hspace{0.5in}\hspace{0.5in}\frac{{ \pm \,\infty }}{{ \pm \,\infty }} = ?\]Bu ikki holatda muammo shundaki, sezgi bu erda haqiqatan ham yordam bermaydi. Haqiqatan ham, juda katta son minus haqiqatdan ham katta son har qanday narsa bo'lishi mumkin (\( - \infty \), doimiy yoki \(\infty \)). Xuddi shunday, haqiqatan ham, haqiqatan ham katta songa bo'lingan, haqiqatan ham, juda katta raqam ham har qanday narsa bo'lishi mumkin (\( \pm \infty \) - bu belgi muammolariga, 0 yoki nolga teng bo'lmagan doimiyga bog'liq).
Bu erda biz eslashimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, u erda haqiqatan ham juda katta raqamlar bor va keyin haqiqatan ham, haqiqatan ham juda katta raqamlar mavjud. Boshqacha qilib aytganda, ba'zi cheksizliklar boshqa cheksizliklarga qaraganda kattaroqdir. Bundan tashqari, ko'paytirish va bo'linishning birinchi to'plamlari bilan biz ishladik, bu muammo emas edi. Cheksizlikning umumiy o'lchami bu holatlarda javobga ta'sir qilmaydi. Biroq, yuqorida sanab o'tilgan ayirish va bo'lish holatlarida, biz ko'rib turganimizdek, bu muhim ahamiyatga ega.
Mana, ba'zi cheksizliklar boshqalardan kattaroq degan fikrni o'ylashning bir usuli. Bu bu haqda o'ylashning juda quruq va texnik usuli va sizning hisob-kitob muammolaringiz bu narsalarni hech qachon ishlatmasligi mumkin, ammo bu qarashning yaxshi usuli. Shuni ham yodda tutingki, men bu erda biron bir narsani aniq isbotlamoqchi emasman. Men sizga cheksizlik bilan bog'liq muammolar va qanday qilib ba'zi cheksizliklarni boshqalardan kattaroq deb hisoblash mumkinligi haqida bir oz tushuncha berishga harakat qilaman. Yaxshiroq (va aniqroq) muhokama qilish uchun qarang:
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/infinity.pdf
Keling, nechta butun son borligini ko'rib chiqaylik. Shubhasiz, umid qilamanki, ularning cheksiz soni bor, lekin keling, bu cheksizlikning "o'lchamini" yaxshiroq tushunishga harakat qilaylik. Shunday qilib, tasodifiy ikkita butun sonni tanlang. Ikkisining kichigidan boshlang va undan keyin keladigan barcha sonlarni ortib boruvchi tartibda sanab chiqing. Oxir-oqibat biz siz tanlagan ikkita butun sondan kattasiga erishamiz.
Ikkita butun sonning nisbiy kattaligiga qarab, ular orasidagi barcha butun sonlarni sanab o'tish juda va juda uzoq vaqt talab qilishi mumkin va buni amalga oshirishning maqsadi yo'q. Ammo, agar biz xohlasak, buni qilish mumkin edi va bu muhim qism.
Biz barcha bu butun sonlarni tasodifiy tanlangan ikkita butun sonlar orasida sanab o'tishimiz mumkin bo'lganligi sababli, biz butun sonlar deb aytamiz. hisoblash mumkin bo'lgan cheksiz. Shunga qaramay, buni amalga oshirish uchun haqiqiy sabab yo'q, agar biz buni tanlasak, buni qilish mumkin.
Umuman olganda, raqamlar to'plami, agar biz ularning barchasini sanab o'tish yo'lini topsak, cheksiz deb ataladi. Aniqroq matematik sharoitda bu, odatda, to'plamdagi har bir raqamni musbat butun sonlardan biri bilan bog'laydigan bijeksiya deb ataladigan maxsus funktsiya bilan amalga oshiriladi. Bu haqda qo'shimcha ma'lumot olish uchun yuqorida keltirilgan pdf-ga qarang.
Shuni ham ko'rsatish mumkinki, barcha kasrlar to'plami ham sanab bo'ladigan cheksizdir, garchi buni ko'rsatish biroz qiyinroq va bu muhokamaning maqsadi emas. Buning isbotini ko'rish uchun yuqorida keltirilgan pdf ga qarang. Bu haqiqatning juda yaxshi isboti bor.
Keling, \( \left(0,1\right) \) oralig'ida nechta raqam borligini aniqlashga harakat qilib, buni taqqoslaylik. Raqamlar deganda men noldan birgacha boʻlgan barcha mumkin boʻlgan kasrlarni, shuningdek, noldan birgacha boʻlgan barcha mumkin boʻlgan oʻnli kasrlarni (bu kasrlar emas) nazarda tutyapman. Quyidagilar yuqoridagi pdf-da keltirilgan dalilga o'xshaydi, lekin etarlicha yaxshi va oson edi (umid qilamanki), men uni bu erga qo'shmoqchi edim.
Boshlash uchun, \( \left(0,1\right) \) oralig'idagi barcha raqamlarni hisoblash mumkin bo'lgan cheksiz deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, ularning barchasini ro'yxatga olishning bir usuli bo'lishi kerak. Bizda quyidagilar bo'lishi mumkin,
\[\begin{align*}{x_1} & = 0.692096 \cdots \\ {x_2} & = 0.171034 \cdots \\ {x_3} & = 0.993671 \cdots \\ {x_4} & = 0.045908 \cdots \\ \vdots \,\, & \hspace{0.6in} \vdots \end{align*}\]Endi \(i\) ni tanlangth quyida ko'rsatilgandek \({x_i}\) dan kasrli
\[\begin{align*}{x_1} & = 0.\underline 6 92096 \cdots \\ {x_2} & = 0.1\underline 7 1034 \cdots \\ {x_3} & = 0.99\underline 3 671 \cdots \\ {x_4} & = 0.045\underline 9 08 \cdots \\ \vdots \,\, & \hspace{0.6in} \vdots \end{align*}\]va bu raqamlar bilan yangi raqam hosil qiling. Shunday qilib, bizning misolimiz uchun biz raqamga ega bo'lamiz
\[x = 0.6739 \cdots \]Ushbu yangi kasrda barcha 3 ni 1 bilan almashtiring va qolgan barcha raqamlarni 3 bilan almashtiring. Bizning misolimizda bu yangi raqamni beradi.
\[\overline x = 0.3313 \cdots \]E'tibor bering, bu raqam \( \left(0,1\right) \) oralig'ida joylashgan va biz raqamning raqamlarini qanday tanlaganimizni hisobga olsak, bu raqam bizning ro'yxatimizdagi birinchi raqam \({x_1}\) bilan teng bo'lmaydi, chunki har birining birinchi raqami bir xil bo'lmasligi kafolatlanadi. Xuddi shunday, bu yangi raqam bizning ro'yxatimizdagi ikkinchi raqamga, \({x_2}\) bilan bir xil raqamga ega bo'lmaydi, chunki har birining ikkinchi raqami bir xil bo'lmasligi kafolatlanadi. Shu tarzda davom ettirsak, biz yaratgan yangi raqam \(\overline x \) bizning ro'yxatimizda bo'lmasligi kafolatlanganligini ko'rishimiz mumkin. Ammo bu biz \( \left(0,1\right) \) oralig'idagi barcha raqamlarni sanab o'tishimiz mumkin degan dastlabki taxminga zid keladi. Shuning uchun hammasini sanab o'tishning iloji bo'lmasligi kerak \( \left(0,1\right) \) oralig'idagi raqamlar.
Biz ro'yxatga yozib bo'lmaydigan \( \left(0,1\right) \) dagi barcha raqamlar kabi raqamlar to'plami deyiladi. behisob cheksiz.
Bu haqda o'tishning sababi quyidagicha. Hisoblab bo'lmaydigan cheksiz cheksiz cheksiz cheksizlikdan sezilarli darajada kattaroqdir. Shunday qilib, agar biz ikkita cheksizlikning farqini olsak, bizda bir nechta imkoniyatlar mavjud.
\[\begin{align*}\infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right) - \infty \left( {{\mbox{countable}}} \right) & = \infty \\ & \\ \infty \left( {{\mbox{countable}}} \right) - \infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right) & = - \infty \end{align*}\]E'tibor bering, biz bir xil turdagi ikkita cheksizlik farqini qo'ymadik. Kontekstga qarab, bu holatda javob qanday bo'lishi haqida hali ham noaniqlik bo'lishi mumkin, ammo bu butunlay boshqa mavzu.
Cheksizlik koeffitsientlari uchun ham shunga o'xshash narsani qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\frac{{\infty \left( {{\mbox{countable}}} \right)}}{{\infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right)}} & = 0\\ & \\ \frac{{\infty \left( {{\mbox{uncountable}}} \right)}}{{\infty \left( {{\mbox{countable}}} \right)}} & = \infty \end{align*}\]Shunga qaramay, biz bir xil turdagi ikkita cheksizlikdan qochdik, chunki yana kontekstga qarab, uning qiymatida noaniqliklar bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, bu va umid qilamanki, siz ushbu muhokamadan nimanidir o'rgandingiz. Cheksizlik shunchaki raqam emas va cheksizlikning har xil turlari mavjud bo'lgani uchun u odatda raqam kabi harakat qilmaydi. Cheksizlik bilan muomala qilishda ehtiyot bo'ling.