2.3-bo'lim: Chiziqli tenglamalarni qo'llash
Endi biz ko'pchilik o'quvchilar yomon ko'radigan qismni muhokama qilishimiz kerak. Biz chiziqli tenglamalarga qo'llanilishi haqida gapirishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz endi hikoya muammolari yoki so'z muammolarini ko'rib chiqamiz. Tarix davomida talabalar bundan nafratlanishgan. Biroq, mening fikrimcha, buning asosiy sababi, talabalar ularni qanday ishlashni bilishmaydi. Ularni qanday ishlashni tushunganingizdan so'ng, ehtimol ular vaqti-vaqti bilan ko'rinadigan darajada yomon emasligini bilib olasiz. Shunday qilib, biz ushbu bo'limni ishlaydigan ilovalar uchun jarayon bilan boshlaymiz.
Hikoya/so'z muammolarini ishlash jarayoni
- MUAMMONI O'QING.
- MUAMMONI QAYTA O'QING. Mayli, bu erda biroz ortiqcha bo'lishi mumkin. Biroq, ushbu dastlabki ikki qadamning mohiyati shundaki, siz muammoni o'qib chiqishingiz kerak. Bu qadam ENG muhim qadamdir, lekin bu ham ko'pchilik to'g'ri bajarmaydigan qadamdir.
Muammoni juda diqqat bilan va qancha vaqt kerak bo'lsa, o'qib chiqishingiz kerak. Muammo sizdan nimani talab qilayotganini to'liq tushunganingizdan keyingina, bu bosqichni tugatasiz. Bunga barcha berilgan ma'lumotlarni aniqlash va sizdan nimani qidirayotganingizni aniqlash kiradi.
Shunga qaramay, muammoni diqqat bilan o'qib chiqishingiz kerakligini ta'kidlab bo'lmaydi. Ba'zida bitta so'z muammoning qanday ishlashini butunlay o'zgartirishi mumkin. Agar siz shunchaki muammoni ko'rib chiqsangiz, bu juda muhim so'zni o'tkazib yuborishingiz mumkin. - Noma'lum miqdorlardan birini o'zgaruvchi bilan ifodalang va boshqa barcha noma'lum miqdorlarni (agar mavjud bo'lsa) ushbu o'zgaruvchiga bog'lashga harakat qiling.
- Iloji bo'lsa, vaziyatni ko'rsatadigan rasmni chizing. Bu ahmoqona qadam bo'lib tuyulishi mumkin, lekin ba'zida keyingi qadamda juda foydali bo'lishi mumkin.
- Ma'lum miqdorlarni noma'lum miqdorlarga bog'laydigan tenglama tuzing. Buning uchun ma'lum formulalardan foydalaning va ko'pincha oldingi bosqichda chizilgan rasm tenglamani aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
- Oldingi bosqichda tuzilgan tenglamani yeching va barcha savollarga javobni yozing. Sizga berilgan barcha savollarga javob berish muhimdir. Ko'pincha javobda sizdan bir nechta miqdorlar so'raladi va tenglama ulardan faqat bittasini beradi.
- Javobingizni tekshiring. Buni tenglamaga ulash orqali bajaring, lekin javob mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qilish uchun sezgidan ham foydalaning. Xatolarni ko'pincha javobning mantiqiy emasligini tan olish orqali aniqlash mumkin.
Keling, jarayonni tasvirlash uchun bir nechta oddiy misollar bilan boshlaylik. Shuni ham yodda tutingki, bu nuqtada siz juda oddiy chiziqli tenglamalarni echishga qodirsiz deb taxmin qilinadi va shuning uchun haqiqiy yechim bosqichi uchun ko'p tafsilotlar berilmaydi. Ushbu bo'limning maqsadi tenglamani yechishdan ko'ra ko'proq tenglamani o'rnatishdir.
Yechim
Mayli, keling, \(p\) ni uchinchi imtihonda minimal talab qilinadigan ball deb belgilashdan boshlaylik.
Keling, baholar qanday o'rnatilganligini eslaylik. Baholarda og'irlik yoki boshqa narsa yo'qligi sababli, baho avval quyidagi foizni hisoblash orqali belgilanadi.
\[\frac{{{\mbox{actual points}}}}{{{\mbox{total possible points}}}} = {\mbox{ grade percentage}}\]Biz standart shkaladan foydalanayotganimiz sababli, agar baho foizi 0,9 yoki undan yuqori bo'lsa, talaba A oladi. Xuddi shunday, agar baho ulushi 0,8 dan 0,9 gacha bo'lsa, talaba B ball oladi.
Biz bilamizki, jami mumkin bo'lgan ball 350 ballni tashkil etadi va talabaning umumiy balli (uchinchi imtihonni ham qo'shganda),
\[4 + 8 + 7 + 7 + 9 + 78 + 83 + p = 196 + p\]A uchun mumkin bo'lgan eng kichik foiz 0,9 ni tashkil qiladi va shuning uchun agar \(p\) A uchun uchinchi imtihonda minimal talab qilinadigan ball bo'lsa, biz quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz.
\[\frac{{196 + p}}{{350}} = 0.9\]Bu \(p\) uchun echishimiz kerak bo'lgan chiziqli tenglama.
\[196 + p = 0.9\left( {350} \right) = 315\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,p = 315 - 196 = 119\]Shunday qilib, uchinchi imtihonda minimal talab qilinadigan ball - 119. Bu muammo, chunki imtihon atigi 100 ballga teng. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, talaba Algebra kursida A ni olmaydi.
Endi talabaning B ball olishini tekshirib ko'ramiz. Bu holda minimal foiz 0,8 ni tashkil qiladi. Shunday qilib, B uchun uchinchi imtihonda minimal talab qilinadigan ballni topish uchun biz hal qilishimiz kerak,
\[\frac{{196 + p}}{{350}} = 0.8\]Buni \(p\) uchun hal qilish,
\[196 + p = 0.8\left( {350} \right) = 280\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,p = 280 - 196 = 84\]Shunday qilib, talaba sinfda B ball olishi mumkin. Talaba qilish kerak bo'lgan narsa - uchinchi imtihonda kamida 84 ball olish.
Yechim
Biz birinchi navbatda \(x\) ni javonlar to'plamining balandligi sifatida aniqlaymiz. Bu shuni anglatadiki, 4\(x\) - javonlar to'plamining kengligi. Bunday holda, biz tenglamani to'g'ri o'rnatishimiz uchun, albatta, rasmni chizishimiz kerak. Mana,
Endi biz 72 fut yog'ochdan foydalanish kerakligini bilamiz va biz uning hammasi ishlatiladi deb taxmin qilamiz. Shunday qilib, biz quyidagi so'z tenglamasini o'rnatishimiz mumkin.
\[\left( \begin{array}{c}{\mbox{length of }}\\ {\mbox{vertical pieces}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{length of }}\\ {\mbox{horizontal pieces}}\end{array} \right) = 72\]Ko'pincha, biz bu erda qilganimizdek, tenglamani yozishdan oldin, birinchi navbatda tenglamani so'z bilan qo'yish yaxshi fikrdir. Ushbu nuqtada biz rasmdan ikkita vertikal bo'lak borligini ko'rishimiz mumkin; Har birining uzunligi \(x\). Bundan tashqari, har birining uzunligi 4\(x\) bo'lgan 4 ta gorizontal qism mavjud. Demak, tenglama shunday bo‘ladi:
\[\begin{align*}4\left( {4x} \right) + 2\left( x \right) & = 72\\ 16x + 2x & = 72\\ 18x & = 72\\ x & = 4\end{align*}\]Shunday qilib, javonlar to'plamining balandligi 4 fut bo'lishi kerak kabi ko'rinadi. E'tibor bering, biz bu savolga javob bermadik. Muammo bizdan o'lchamlarni topishni so'radi. Bu shuni anglatadiki, bizga javonlar to'plamining kengligi ham kerak. Kengligi 4(4)=16 fut. Shunday qilib, o'lchamlar 4x16 fut bo'lishi kerak.
Narxlar bilan bog'liq muammolar
Keyingi ikkita muammo narxlashning ba'zi asosiy tamoyillari bilan bog'liq.
Yechim
Birinchidan, \(p\) ni do'kon kalkulyator uchun to'lagan xarajat deb belgilaylik. Kalkulyatordagi do'konlarning bahosi 15% ni tashkil qiladi. Bu kalkulyator sotilayotgan summani olish uchun dastlabki narxga (\(p\)) 0,15\(p\) qo‘shilganligini anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, bizda quyidagi tenglama mavjud
\[p + 0.15p = 78.50\]biz \(p\) uchun hal qilishimiz kerak. Buni qilish,
\[1.15p = 78.50\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}p = \frac{{78.50}}{{1.15}} = 68.26087\]Kalkulyator uchun do‘kon 68,26 dollar to‘lagan. E'tibor bering, biz pul bilan shug'ullanayotganimiz uchun javobni ikkita kasrgacha yaxlitladik.
Yechim
Bu muammo oldingi misolga deyarli qarama-qarshidir. Keling, \(p\) ni sotishdan oldin ko'ylakning narxini belgilashdan boshlaylik. Bu 35% ga kamaydi. Bu 0.35\(p\) asl narxdan chegirib tashlanganligini anglatadi. Shunday qilib, tenglama (va yechim)
\[\begin{align*}p - 0.35p & = 15.00\\ 0.65p & = 15.00\\ p & = \frac{{15.00}}{{0.65}} = 23.0769\end{align*}\]Shunday qilib, yaxlitlash bilan ko'ylak dastlab 23,08 dollarga sotilganga o'xshaydi.
Masofa/tarif muammolari
Bular Algebra so'z muammolari haqida o'ylashganda ko'pchilik o'ylaydigan standart muammolardan biridir. Bu erda biz foydalanadigan standart formula
\[{\mbox{Distance}} = {\mbox{Rate }} \times {\mbox{ Time}}\]Ushbu misollar to'plamida biz bajaradigan barcha muammolar buni u yoki bu darajada va ko'pincha biz ko'rib turganimizdek bir necha marta ishlatadi.
Yechim
Keling, \(t\) mashinalar uchrashgunga qadar qancha vaqt harakatlanayotganini ifodalaylik. Endi biz buning uchun rasm chizishimiz kerak. Bu raqam bizga yechishimiz kerak bo'lgan tenglamani yozishga yordam beradi.
Ushbu rasmdan biz A masofali avtomobil va B masofasi bosib o'tgan ikki avtomobilni ajratib turadigan umumiy masofaga, 500 milya teng bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.
Mana bu muammo uchun so'z tenglamasi ikkita alohida shaklda.
\[\begin{array}{c} \left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{of Car A}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{of Car B}}\end{array} \right) = 500\\ \\ \left( \begin{array}{c}{\mbox{Rate of}}\\ {\mbox{ Car A}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time of}}\\ {\mbox{ Car A}}\end{array}\right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Rate of}}\\ {\mbox{ Car B}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time of}}\\ {\mbox{ Car B}}\end{array} \right) = 500 \end{array}\]Biz bu erda standart formulani ikki marta, har bir mashina uchun bir marta ishlatdik. Bizga ma'lumki, avtomobil bosib o'tgan masofa avtomobil tezligini avtomobil bosib o'tgan vaqtga ko'paytiradi. Bu holda biz A avtomobili \(t\) soat davomida 100 mil / soat tezlikda harakat qilishini va B avtomobili \(t\) soatlarida 70 mil / soat tezlikda harakat qilishini bilamiz. Bularni so'z tenglamasiga kiritish va yechish bizga,
\[\begin{align*}100t + 70t & = 500\\ 170t & = 500\\ t & = \frac{{500}}{{170}} = 2.941176{\mbox{ hrs}}\end{align*}\]Shunday qilib, ular uchrashishdan oldin taxminan 2,94 soat sayohat qilishadi.
Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz har bir mashina bosib o'tgan vaqtga ehtiyot bo'lishimiz kerak. Keling, \(t\) sekinroq sayohat qiladigan avtomobilning sayohat qilgan vaqt miqdori bo'lsin. Endi, tezroq mashina sekinroq mashinadan 1 soat keyin harakatlana boshlagani uchun u faqat \(t - 1\) soat yuradi.
Endi biz masalani yuqoridan takrorlayotganimiz sababli, rasm va so'z tenglamasi bir xil bo'lib qoladi va shuning uchun ularni bu erda takrorlash bilan bezovtalanmaymiz. Yagona farq shundaki, biz tezroq mashinani bosib o'tgan vaqtni almashtiramiz. Oldingi misolda ishlatganimizdek \(t\) o'rniga biz \(t - 1\) dan foydalanamiz, chunki u sekinroq mashinadan bir soat kamroq harakat qiladi.
Mana bu misol uchun tenglama va yechim.
\[\begin{align*}100\left( {t - 1} \right) + 70t & = 500\\ 100t - 100 + 70t & = 500\\ 170t & = 600\\ t & = \frac{{600}}{{170}} = 3.529412{\mbox{ hrs}}\end{align*}\]Bunday holda, sekinroq mashina uchrashishdan oldin 3,53 soat yuradi, tezroq mashina esa 2,53 soat (sekinroq mashinadan 1 soat kamroq ...).
Yechim
Keling, \(r\) ni o'ngdagi qayiqning tezligi bo'lishiga ruxsat berishdan boshlaylik (sekinroq qayiq). Bu chapdagi qayiq (tezroq qayiq) 2\(r\) tezlikda harakatlanayotganini bildiradi. Mana bu holat uchun raqam.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, biz quyidagi so'z tenglamasini oldik.
\[100 + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{of Boat B}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Distance}}\\ {\mbox{of Boat A}}\end{array} \right)\]Masofa uchun standart formulani ulagandan so'ng,
\[100 + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Rate of}}\\ {\mbox{ Boat B}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time of}}\\ {\mbox{ Boat B}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Rate of}}\\ {\mbox{ Boat A}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time of}}\\ {\mbox{ Boat A}}\end{array} \right)\]Bu muammo uchun biz har bir vaqt 5 soat ekanligini bilamiz va biz bilamizki, A qayiq tezligi 2\(r\) va B qayiq tezligi \(r\). Bularni ish tenglamasiga kiritish va yechish,
\[\begin{align*}100 + \left( r \right)\left( 5 \right) & = \left( {2r} \right)\left( 5 \right)\\ 100 + 5r & = 10r\\ 100 & = 5r\\ 20 & = r\end{align*}\]Shunday qilib, sekinroq qayiq soatiga 20 milya tezlikda harakatlanmoqda va tezroq qayiq 40 milya (ikki baravar tez) harakat qilmoqda.
Ish/stavka muammolari
Bu muammolar aslida biz ishlagan masofa/tarif muammolarining variantlari. Ushbu muammolar uchun kerak bo'ladigan standart tenglama:
\[\left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done in given time}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work}}\\ {\mbox{Rate}}\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right)\]Ko'rib turganingizdek, bu formula biz yuqorida ishlatgan formulaga juda o'xshaydi.
Yechim
\(t\) konvertlar to'plamini to'ldirish uchun ikkala mashina birgalikda ishlaydigan vaqt bo'lsin. Ushbu muammo uchun so'z tenglamasi:
\[\begin{array}{c}\left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by Machine A}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by Machine B}}\end{array} \right) = 1{\mbox{ Job}}\\ \\ \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of Machine A}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of Machine B}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) = 1\end{array}\]Ishga sarflangan vaqt \(t\) ekanligini bilamiz, ammo biz har bir mashinaning ish tezligini bilmaymiz. Bularni olish uchun har bir mashinaning ishni alohida bajarishi uchun qancha vaqt ketishi haqida berilgan dastlabki ma'lumotlardan foydalanishimiz kerak bo'ladi. Ushbu stavkalarni olish uchun quyidagi tenglamadan foydalanishimiz mumkin.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work}}\\ {\mbox{Rate}}\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right)\]A mashinasidan boshlaylik.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of A}}} \right) \times \left( 5 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Work Rate of A}} = \frac{1}{5}\]Endi, Mashina B.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of B}}} \right) \times \left( 3 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Work Rate of B}} = \frac{1}{3}\]Bu miqdorlarni yuqoridagi asosiy tenglamaga qo‘shish, yechishimiz kerak bo‘lgan quyidagi tenglamani beradi.
\[\begin{align*}\frac{1}{5}t + \frac{1}{3}t & = 1\hspace{0.5in}{\mbox{Multiplying both sides by 15}}\\ 3t + 5t & = 15\\ 8t & = 15\\ t & = \frac{{15}}{8} = 1.875{\mbox{ hours}}\end{align*}\]Shunday qilib, konvertlar to'plamini to'ldirish uchun ikkita mashina birgalikda 1,875 soat vaqt oladi.
Yechim
\(t\) Jonga ofis majmuasini o'zi tozalash uchun ketadigan vaqt miqdori bo'lsin. Ushbu muammo uchun asosiy so'z tenglamasi:
\[\begin{array}{c}\left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by Mary}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by John}}\end{array} \right) = 1{\mbox{ Job}}\\ \\ \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of Mary}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of John}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) = 1\end{array}\]Bu safar birgalikda ishlash uchun sarflangan vaqt 3,5 soat ekanligini bilamiz. Endi biz har bir kishi uchun ish stavkalarini topishimiz kerak. Biz Meri bilan boshlaymiz.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of Mary}}} \right) \times \left( 5 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Work Rate of Mary}} = \frac{1}{5}\]Endi biz Jonning ish tezligini topamiz. E'tibor bering, biz uning ishni o'zi bajarishi uchun qancha vaqt ketishini bilmasak, buning uchun bitta raqam ololmaydi. Bu muammo emas, chunki biz bir soniyada ko'ramiz.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of John}}} \right) \times \left( t \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Work Rate of John}} = \frac{1}{t}\]E'tibor bering, biz Jonning ish stavkasini uning ishni o'zi bajarishi uchun zarur bo'lgan vaqtni olishga muvaffaq bo'ldik. Bu shuni anglatadiki, biz yuqoridagi tenglamani yechsak, biz xohlagan javobga ega bo'lamiz. Shunday qilib, keling, ish tenglamasini kiritamiz va Jonning ishni o'zi bajarishi uchun qancha vaqt kerakligini hal qilamiz.
\[\begin{align*}\frac{1}{5}\left( {3.5} \right) + \frac{1}{t}\left( {3.5} \right) & = 1\hspace{0.5in}{\mbox{Multiplying both sides by }}5t\\ 3.5t + \left( {3.5} \right)\left( 5 \right) & = 5t\\ 17.5 & = 1.5t\\ \frac{{17.5}}{{1.5}} & = t\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}t = 11.67{\mbox{ hrs}}\end{align*}\]Shunday qilib, Jonga kompleksni o'zi tozalash uchun 11,67 soat kerak bo'ladi.
Aralashtirish muammolari
Bu biz ushbu bo'limda ko'rib chiqiladigan muammolarning yakuniy turi. Biz yangi foizni olish uchun turli foizli eritmalarni aralashtirishni ko'rib chiqamiz. Eritma suv bilan aralashtirilgan ikkilamchi suyuqlikdan iborat bo'ladi. Ikkilamchi suyuqlik, masalan, alkogol yoki kislota bo'lishi mumkin.
Bu erda biz foydalanadigan standart tenglama quyidagicha bo'ladi.
\[\left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of secondary}}\\ {\mbox{liquid in the water}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Percentage of}}\\ {\mbox{yechim}}\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of}}\\ {\mbox{yechim}}\end{array} \right)\]Shuni ham yodda tutingki, foiz o'nli kasr bo'lishi kerak. Shunday qilib, agar bizda 80% yechim bo'lsa, biz 0,80 dan foydalanishimiz kerak bo'ladi.
Yechim
Mayli, \(x\) bizga kerak bo'lgan 50% eritma miqdori bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, biz ikkalasini aralashtirib bo'lganimizdan keyin 40% eritmaning \(x + 10\) gallonlari bo'ladi.
Mana bu muammo uchun asosiy ish tenglamasi.
\[\begin{array}{c}\left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of alcohol}}\\ {\mbox{in 50% yechim}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of alcohol}}\\ {\mbox{in 35% yechim}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of alcohol}}\\ {\mbox{in 40% yechim}}\end{array} \right)\\ \\ \left( {0.5} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of }}\\ {\mbox{50% yechim}}\end{array} \right) + \left( {0.35} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of }}\\ {\mbox{35% yechim}}\end{array} \right) = \left( {0.4} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of }}\\ {\mbox{40% yechim}}\end{array} \right)\end{array}\]Endi jildlarni ulang va \(x\) ni hal qiling.
\[\begin{align*}0.5x + 0.35\left( {10} \right) & = 0.4\left( {x + 10} \right)\\ 0.5x + 3.5 & = 0.4x + 4\\ 0.1x & = 0.5\\ x & = \frac{{0.5}}{{0.1}} = 5\,{\mbox{gallons}}\end{align*}\]Shunday qilib, 40% eritma olish uchun bizga 5 gallon 50% eritma kerak.
Yechim
\(x\) 40% eritmaga qo'shishimiz kerak bo'lgan suv miqdori bo'lsin. Endi biz 40% eritmaning qanchasi kerakligini bilmaymiz. Biroq, biz yakuniy hajmni (75 litr) bilganimiz sababli, bizga \(75 - x\) litr 40% eritma kerak bo'lishini bilib olamiz.
Mana bu muammo uchun so'z tenglamasi.
\[\left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of acid}}\\ {\mbox{in the water}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of acid}}\\ {\mbox{in 40% yechim}}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}{\mbox{Amount of acid}}\\ {\mbox{in 15% yechim}}\end{array} \right)\]E'tibor bering, birinchi muddatda biz "Suvdagi kislota miqdori" dan foydalanganmiz. Bu siz uchun biroz g'alati tuyulishi mumkin, chunki suvda kislota bo'lmasligi kerak. Biroq, bu biz xohlagan narsadir. Asosiy tenglama bizga suvda ikkilamchi suyuqlikning qancha miqdorini ko'rishni aytadi. Demak, bu to'g'ri so'z. Foizlar va hajmlarni kiritganimizda, biz suvni 0% foizli eritma deb o'ylaymiz, chunki bu aslida shunday. Shunday qilib, yangi so'z tenglamasi,
\[\left( 0 \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume }}\\ {\mbox{of Water}}\end{array} \right) + \left( {0.4} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of }}\\ {\mbox{40% yechim}}\end{array} \right) = \left( {0.15} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Volume of }}\\ {\mbox{15% yechim}}\end{array} \right)\]Birinchi muddatda noldan hayajonlanmang. Bu yaxshi va muammo bo'lmaydi. Endi jildlarni ulaymiz va \(x\) ni hal qilamiz.
\[\begin{align*}\left( 0 \right)\left( x \right) + \left( {0.4} \right)\left( {75 - x} \right) & = \left( {0.15} \right)\left( {75} \right)\\ 30 - 0.4x & = 11.25\\ 18.75 & = 0.4x\\ x & = \frac{{18.75}}{{0.4}} = 46.875{\mbox{ liters}}\end{align*}\]Shunday qilib, 75 litr 15% eritma olish uchun 28,125 litr 40% eritmaga 46,875 litr suv qo'shishimiz kerak.