Birinchidan, keling, "yaxshi aralashgan eritma" bitiga murojaat qilaylik. Bu avval aytib o'tilgan taxmin. Biz taxmin qilamizki, suv idishga kirganda, u qandaydir tarzda bir zumda tank bo'ylab bir tekis tarqaladi va har bir nuqtada bir xil tuz konsentratsiyasini beradi. Shunga qaramay, bu haqiqatda bunday bo'lmasligi aniq, lekin bu muammoni hal qilishimizga imkon beradi.

Endi, \(Q(t)\) ni olish uchun hal qilishimiz kerak bo'lgan IVP ni o'rnatish uchun bizga kiruvchi suvning oqim tezligi (bizda bu bor), kirayotgan suvdagi tuz konsentratsiyasi (bizda bor), chiqayotgan suvning oqim tezligi (bizda bor) va chiqayotgan suvdagi tuz konsentratsiyasi (bizda bu hali yo'q).

Shunday qilib, biz birinchi navbatda tankdan chiqadigan suvdagi tuz konsentratsiyasini aniqlashimiz kerak. Biz idishdagi tuzning bir xil kontsentratsiyasini nazarda tutganimiz sababli, idishning istalgan nuqtasida va shuning uchun suvning chiqishida kontsentratsiya quyidagicha ifodalanadi:

\[{\mbox{Concentration}} = \frac{{{\mbox{Amount of salt in the tank at any time, }}t}}{{{\mbox{Volume of water in the tank at any time, }}t}}\]

Istalgan vaqtda \(t\) miqdori oson, bu shunchaki \(Q(t)\). Ovoz balandligi ham juda oson. Biz 600 gallondan boshlaymiz va har soatda 9 gallon kiradi va 6 gallon chiqadi. Shunday qilib, agar biz \(t\) dan soatlab foydalansak, har soatda tankga 3 gallon kiradi yoki istalgan vaqtda \(t\) idishida 600 + 3\(t\) gallon suv bor.

Shunday qilib, bu vaziyat uchun IVP,

\[\begin{align*}Q'\left( t \right) & = \left( 9 \right)\left( {\frac{1}{5}\left( {1 + \cos \left( t \right)} \right)} \right) - \left( 6 \right)\left( {\frac{{Q\left( t \right)}}{{600 + 3t}}} \right)\hspace{0.25in}Q\left( 0 \right) = 5\\ Q'\left( t \right) & = \frac{9}{5}\left( {1 + \cos \left( t \right)} \right) - \frac{{2Q\left( t \right)}}{{200 + t}}\hspace{0.25in}Q\left( 0 \right) = 5\end{align*}\]

Bu chiziqli differentsial tenglama va uni hal qilish unchalik qiyin emas (umid qilamanki). Biz tafsilotlarning ko'pini ko'rsatamiz, ammo yechim jarayonining tavsifini qoldiramiz. Agar sizga birinchi darajali chiziqli differensial tenglamalarni echish bo'yicha yangi bilim kerak bo'lsa, orqaga qayting va buni ko'rib chiqing bo'limi.

\[Q'\left( t \right) + \frac{{2Q\left( t \right)}}{{200 + t}} = \frac{9}{5}\left( {1 + \cos \left( t \right)} \right)\] \[\mu \left( t \right) = {{\bf{e}}^{\int{{\frac{2}{{200 + t}}dt}}}} = {{\bf{e}}^{2\ln \left( {200 + t} \right)}} = {\left( {200 + t} \right)^2}\] \[\int{{{{\left( {{{\left( {200 + t} \right)}^2}Q\left( t \right)} \right)}^\prime }\,dt}}\, = \int{{\frac{9}{5}{{\left( {200 + t} \right)}^2}\left( {1 + \cos \left( t \right)} \right)dt}}\]

\[\begin{align*}{\left( {200 + t} \right)^2}Q\left( t \right) & = \frac{9}{5}\left( {\frac{1}{3}{{\left( {200 + t} \right)}^3} + {{\left( {200 + t} \right)}^2}\sin \left( t \right) + 2\left( {200 + t} \right)\cos \left( t \right) - 2\sin \left( t \right)} \right) + c\\ Q\left( t \right) & = \frac{9}{5}\left( {\frac{1}{3}\left( {200 + t} \right) + \sin \left( t \right) + \frac{{2\cos \left( t \right)}}{{200 + t}} - \frac{{2\sin \left( t \right)}}{{{{\left( {200 + t} \right)}^2}}}} \right) + \frac{c}{{{{\left( {200 + t} \right)}^2}}}\end{align*}\]

Shunday qilib, bu erda umumiy yechim. Endi, \(c\) konstantasining qiymatini olish uchun boshlang'ich shartni qo'llang.

\[5 = Q\left( 0 \right) = \frac{9}{5}\left( {\frac{1}{3}\left( {200} \right) + \frac{2}{{200}}} \right) + \frac{c}{{{{\left( {200} \right)}^2}}}\hspace{0.25in}c = - 4600720\]

Shunday qilib, \(t\) istalgan vaqtda tankdagi tuz miqdori.

\[Q\left( t \right) = \frac{9}{5}\left( {\frac{1}{3}\left( {200 + t} \right) + \sin \left( t \right) + \frac{{2\cos \left( t \right)}}{{200 + t}} - \frac{{2\sin \left( t \right)}}{{{{\left( {200 + t} \right)}^2}}}} \right) - \frac{{4600720}}{{{{\left( {200 + t} \right)}^2}}}\]

Endi tank \(t\) = 300 soatda toshib ketadi. O'sha paytda idishdagi tuz miqdori.

\[Q\left( {300} \right) = 279.797{\mbox{ lbs}}\]

Mana, to'lib ketishidan oldin idishdagi tuzning grafigi.

E'tibor bering, butun grafik unda kichik tebranishlar bo'lishi kerak, chunki siz 200 dan 250 gacha bo'lgan diapazonda ko'rishingiz mumkin. Biroq, tebranishlar miqyosi etarlicha kichik edi, shuning uchun tasvirni yaratishda foydalanilgan dastur ularning barchasini ko'rsatishda muammoga duch keldi.

Xo'sh, vaqt o'tishi bilan tankdagi ifloslanish ortib borishi aniq. Agar ifloslanish miqdori ruxsat etilgan maksimal darajaga yetsa, vaziyat o'zgaradi. Bu jarayonni tavsiflovchi differensial tenglamani ham o'zgartirishni talab qiladi. Boshqacha qilib aytganda, bu muammo uchun bizga ikkita IVP kerak bo'ladi. Ulardan biri ifloslangan suvning rezervuarga tushishi bilan bog'liq dastlabki vaziyatni, ikkinchisi esa ruxsat etilgan maksimal ifloslanish darajasiga erishgandan keyin va chuchuk suvning tankga kirganini tasvirlaydi.

Mana bu muammo uchun ikkita IVP.

\[\begin{align*}{Q_1}^\prime \left( t \right) & = \left( 3 \right)\left( 5 \right) - \left( 3 \right)\left( {\frac{{{Q_1}\left( t \right)}}{{800}}} \right)\hspace{0.25in}{Q_1}\left( 0 \right) = 2\hspace{0.25in}0 \le t \le {t_m}\\ {Q_2}^\prime \left( t \right) & = \left( 2 \right)\left( 0 \right) - \left( 4 \right)\left( {\frac{{{Q_2}\left( t \right)}}{{800 - 2\left( {t - {t_m}} \right)}}} \right)\hspace{0.25in}{Q_2}\left( {{t_m}} \right) = 500\hspace{0.25in}{t_m} \le t \le {t_e}\end{align*}\]

Birinchisi juda to'g'ri keladi va ifloslanishning maksimal miqdoriga erishilgunga qadar amal qiladi. Biz bu vaqtni \(t_{m}\) deb ataymiz. Bundan tashqari, bu vaqt davomida tankdagi hajm doimiy bo'lib qoladi, shuning uchun biz oldingi misolda bo'lgani kabi, bu safar ikkinchi muddatda bu bilan hech qanday ajoyib narsa qilishimiz shart emas.

Ikkinchisi uchun bizga ozgina tushuntirish kerak bo'ladi. Birinchidan, biz \(t = 0\) da "qayta boshlamaymiz". Biz buni \(t_{m}\) da, yangi jarayon boshlangan vaqtda boshlaymiz. Keyinchalik, chuchuk suv idishga oqadi va shuning uchun kiruvchi suvda ifloslanish kontsentratsiyasi nolga teng. Bu birinchi muddatni tashlab yuboradi va bu yaxshi, shuning uchun tashvishlanmang.

Endi e'tibor bering, ovoz balandligi istalgan vaqtda biroz kulgili ko'rinadi. Ushbu vaqt oralig'ida biz jarayonning har soatida ikki gallon suv yo'qotamiz, shuning uchun buni hisobga olish uchun u erda "-2" kerak. Biroq, biz avvalgi misolda bo'lgani kabi, faqat \(t\) dan foydalana olmaymiz. Ushbu yangi jarayon boshlanganda, idishda 800 gallon suv bo'lishi kerak va agar biz faqat \(t\) dan foydalansak, u erda tenglamada zarur bo'lgan 800 gallonga ega bo'lmaymiz. Shunday qilib, biz kerakli hajmga ega ekanligimizga ishonch hosil qilish uchun vaqtlar farqini qo'yishimiz kerak. Shunday qilib, biz yangi jarayonga bir soat qolganimizda (i.e \(t - t_{m} = 1\)) kabi tankda 798 gallon bo'ladi talab qilinadi.

Nihoyat, ikkinchi jarayon abadiy davom eta olmaydi, chunki oxir-oqibat tank bo'shaydi. Bu vaqt cheklovlarida \(t_{e}\) sifatida belgilangan. Shuni ham ta'kidlashimiz mumkinki, \(t_{e} = t_{m} + 400\), chunki tank ushbu yangi jarayon boshlanganidan 400 soat o'tgach bo'shaydi. Xo'sh, agar biror narsa bo'lmasa va vaziyatni yana o'zgartira boshlasa, u tugaydi.

Xo'sh, endi biz barcha tushuntirishlarni oldik, bu erda biz hal qiladigan IVP ning soddalashtirilgan versiyasi.

\[\begin{align*}{Q_1}^\prime \left( t \right) & = 15 - \frac{{3{Q_1}\left( t \right)}}{{800}}\hspace{0.25in}{Q_1}\left( 0 \right) = 2\hspace{0.25in}0 \le t \le {t_m}\\ {Q_2}^\prime \left( t \right) & = - \frac{{2{Q_2}\left( t \right)}}{{400 - \left( {t - {t_m}} \right)}}\hspace{0.25in}{Q_2}\left( {{t_m}} \right) = 500\hspace{0.25in}{t_m} \le t \le {t_e}\end{align*}\]

Birinchi IVP juda oddiy chiziqli differentsial tenglamadir, shuning uchun biz yechimning tafsilotlarini tekshirish uchun sizga qoldiramiz. Yechish bilan siz olasiz.

\[{Q_1}\left( t \right) = 4000 - 3998{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{3\,t}}{{800}}}}\]

Endi biz \(t_{m}\) ni topishimiz kerak. Bu juda yomon emas, faqat ifloslanish miqdori 500 ga yetganini aniqlashimiz kerak.

\[{Q_1}\left( t \right) = 4000 - 3998{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{3\,t}}{{800}}}} = 500\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{t_m} = 35.4750\]

Shunday qilib, ikkinchi jarayon 35.475 soatda boshlanadi. To'liqlik uchun ushbu ma'lumot kiritilgan IVP.

\[{Q_2}^\prime \left( t \right) = - \frac{{2{Q_2}\left( t \right)}}{{435.475 - t}}\hspace{0.25in}{Q_2}\left( {35.475} \right) = 500\hspace{0.25in}35.475 \le t \le 435.475\]

Bu differensial tenglama ham chiziqli, ham ajraladigan bo‘lib, yechish unchalik qiyin emas, shuning uchun biz olishimiz kerakligini tekshirish uchun tafsilotlarni yana sizga qoldiraman.

\[{Q_2}\left( t \right) = \frac{{{{\left( {435.476 - t} \right)}^2}}}{{320}}\]

Shunday qilib, jarayonning to'liq ishlash vaqtini o'z ichiga olgan yechim

\[Q\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4000 - 3998{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{3\,t}}{{800}}}}}&{\hspace{0.25in}0 \le t \le 35.475}\\{\displaystyle \frac{{{{\left( {435.476 - t} \right)}^2}}}{{320}}}&{\hspace{0.25in}35.475 \le t \le 435.4758}\end{array}} \right.\]

Mana \(t\) istalgan vaqtda tankdagi ifloslanish miqdorining grafigi.

Keling, tug'ilishni ko'rib chiqishdan boshlaylik. Bizga aytilishicha, hasharotlar hozirgi populyatsiyaga mutanosib ravishda tug'iladi. Bu shuni anglatadiki, tug'ilish darajasi quyidagicha yozilishi mumkin

\[rP\]

bu erda \(r\) aniqlanishi kerak bo'lgan musbat doimiydir. Keling, hamma narsani hisobga olamiz va bu muammo uchun IVPni olamiz.

\[\begin{align*}P' & = \left( {rP + 15} \right) - \left( {16 + 7} \right)\hspace{0.25in}P\left( 0 \right) = 100\\ P' & = rP - 8\hspace{0.25in}P\left( 0 \right) = 100\end{align*}\]

E'tibor bering, birinchi qatorda biz qavs yordamida differensial tenglamaning qaysi qismiga qaysi atamalar kirganligini belgiladik. Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda tashqi omillar bo'lmasa, aholi ikki hafta ichida uch baravar ko'payishidan foydalanmaymiz. Tashqi omillar bo'lmasa, biz ko'rib chiqishimiz mumkin bo'lgan yagona narsa bu tug'ilish darajasi. Rasmga boshqa hech narsa kira olmaydi va biz differentsial tenglamada boshqa ta'sirlarga egamiz.

Xo'sh, bu uchlik qanday amalga oshadi? Shuni ham ta'kidlash kerakki, \(r\) ni bilmasdan, biz IVPni to'liq hal qilishda qiyin vaqtga duch kelamiz. Biz \(r\) ni topishga yordam berish uchun ikki hafta ichida aholi soni uch baravar ko'payishidan foydalanamiz. Tashqi omillar bo'lmasa, differentsial tenglama bo'ladi.

\[P' = rP\hspace{0.25in}P\left( 0 \right) = 100\hspace{0.25in}P\left( {14} \right) = 300\]

E'tibor bering, biz kunlarni haqiqiy IVPda vaqt oralig'i sifatida ishlatganimiz sababli, men ikki haftani 14 kunga aylantirishim kerak edi. Biz asl IVP ni vaqt oralig'idagi kabi osonlik bilan haftalarga o'zgartirishimiz mumkin edi, bu holda biz hozirda asl differensial tenglamada ishlatayotgan kuniga -8 o'rniga haftasiga -56 ga aniq o'zgarish bo'lar edi.

Xo'sh, barcha tashqi omillarni e'tiborsiz qoldiradigan differentsial tenglamaga qayting. Bu differensial tenglama ajratiladigan va chiziqli (ikkisi ham ishlatilishi mumkin) va yechish uchun oddiy differentsial tenglamadir. Umumiy yechimni olish uchun tafsilotni sizga qoldiramiz.

\[P\left( t \right) = c{{\bf{e}}^{rt}}\]

Dastlabki shartni qo'llash \(c\) = 100 ni beradi. Endi ikkinchi shartni qo'llang.

\[300 = P\left( {14} \right) = 100{{\bf{e}}^{14r}}\hspace{0.25in}300 = 100{{\bf{e}}^{14r}}\]

Buni \(r\) uchun hal qilishimiz kerak. Avval ikkala tomonni 100 ga bo'ling, keyin ikkala tomonning tabiiy jurnalini oling.

\[\begin{align*}3 & = {{\bf{e}}^{14r}}\\ \ln 3 & = \ln {{\bf{e}}^{14r}}\\ \ln 3 & = 14r\\ r & = \frac{{\ln 3}}{{14}}\end{align*}\]

Muammoni soddalashtirish uchun biz \(\ln {{\bf{e}}^{g\left( x \right)}} = g\left( x \right)\)-dan foydalandik. Endi bizda \(r\) bor, biz orqaga qaytib, asl differensial tenglamani echishimiz mumkin. Yechim jarayoni uchun uni biroz qayta yozamiz.

\[P' - \frac{{\ln 3}}{{14}}P = - 8\hspace{0.25in}P\left( 0 \right) = 100\]

Bu juda oddiy chiziqli differensial tenglama, lekin \(P\) koeffitsienti har doim odamlarni shakldan mahrum qiladi, shuning uchun biz bu erda hech bo'lmaganda ba'zi tafsilotlarni ko'rib chiqamiz.

\[\mu \left( t \right) = {{\bf{e}}^{\int{{ - \,\frac{{\ln 3}}{{14}}dt}}}} = {{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}\]

Endi bu erda birlashtiruvchi omil haqida hayajonlanmang. Bu xuddi \({{\bf{e}}^{2t}}\) kabi, faqat bu safar konstanta 2 dan biroz murakkabroq, lekin bu doimiy! Endi differentsial tenglamani yeching.

\[\begin{align*}\int{{{{\left( {P{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}} \right)}^\prime }\,dt}} & = \int{{ - 8{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}\,dt}}\\ P{{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}} & = - 8\left( { - \frac{{14}}{{\ln 3}}} \right){{\bf{e}}^{ - \,\,\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}} + c\\ P\left( t \right) & = \frac{{112}}{{\ln 3}} + c{{\bf{e}}^{\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}\end{align*}\]

Shunga qaramay, o'ng qo'l integralini bajarishdan hayajonlanmang, bu xuddi \({{\bf{e}}^{2t}}\) ni integratsiyalashganga o'xshaydi! Dastlabki shartni qo'llash quyidagilarni beradi.

\[P\left( t \right) = \frac{{112}}{{\ln 3}} + \left( {100 - \frac{{112}}{{\ln 3}}} \right){{\bf{e}}^{\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}} = \frac{{112}}{{\ln 3}} - 1.94679{{\bf{e}}^{\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}\]

Endi eksponensial musbat ko‘rsatkichga ega va \(t\) oshgani sayin ortiqcha cheksizlikka o‘tadi. Biroq, uning koeffitsienti salbiy va shuning uchun butun aholi oxir-oqibat salbiy bo'ladi. Shubhasiz, aholi manfiy bo'lishi mumkin emas, lekin aholi manfiy bo'lishi uchun u noldan o'tishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, oxir-oqibat barcha hasharotlar o'lishi kerak. Shunday qilib, ular omon qolmaydi va biz ularning qachon o'lishini aniqlash uchun quyidagilarni hal qilishimiz mumkin.

\[0 = \frac{{112}}{{\ln 3}} - 1.94679{{\bf{e}}^{\frac{{\ln 3}}{{14}}\,t}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = 50.4415\,{\mbox{days}}\]

Shunday qilib, hasharotlar taxminan 7,2 hafta davomida yashaydi. Bu erda aholining tirik qolgan davrdagi grafigi.

Birinchidan, e'tibor bering, biz to'g'ridan-to'g'ri yuqoriga deganda, biz haqiqatan ham to'g'ridan-to'g'ri yuqorini nazarda tutamiz, lekin u pastga qaytishda ko'prikni o'tkazib yuboradi. Mana vaziyatning eskizi.

Ushbu muammo uchun biz o'rnatgan konventsiyalarga e'tibor bering. Harakatning katta qismi pastga yo'nalishda bo'lgani uchun biz pastga yo'nalishda harakat qiladigan hamma narsa ijobiy bo'lishi kerak deb taxmin qilishga qaror qildik. E'tibor bering, biz "nol pozitsiyasini" ko'prik sifatida ham aniqladik, bu esa erni 100 "pozitsiya" ga ega qiladi.

Yaxshi, agar siz o'ylab ko'rsangiz, bizda ikkita vaziyat bor. Massa havoda ko'tarilgan boshlang'ich faza va massa pastga tushganda ikkinchi faza. Biz ikkala vaziyatni ham ko'rib chiqishimiz va har biri uchun IVP o'rnatishimiz kerak. Biz buni bir vaqtning o'zida qilamiz. Bu erda ob'ektga ko'tarilishda va tushishda ta'sir qiluvchi kuchlar mavjud.

E'tibor bering, havo qarshilik kuchiga to'g'ri "belgi" yoki kuch yo'nalishini olish uchun ikkala holatda ham salbiy kerak. Massa yuqoriga qarab harakatlanayotganda tezlik (va shuning uchun \(v\)) manfiy bo'ladi, lekin kuch pastga yo'nalishda harakat qilishi kerak. Shuning uchun, "-" kuchning bir qismi bo'lishi kerak, bu esa, umuman olganda, kuch ijobiy va shuning uchun pastga yo'nalishda harakat qiladi. Xuddi shunday, massa pastga qarab harakatlanayotganda tezlik (va shuning uchun \(v\)) ijobiy bo'ladi. Shuning uchun havo qarshiligining salbiy ekanligini va shuning uchun yuqoriga qarab harakat qilishiga ishonch hosil qilish uchun havo qarshiligi ham "-" belgisiga ega bo'lishi kerak.

Shunday qilib, ushbu holatlarning har biri uchun IVP.

\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}&\hspace{0.5in}{\mbox{Up}}\\ & mv' = mg - 5v\\ & v\left( 0 \right) = - 10\end{aligned}&\begin{aligned}&\hspace{0.35in}{\mbox{Down}}\\ & mv' = mg - 5v\\ & v\left( {{t_0}} \right) = 0\end{aligned}\end{array}\]

Ikkinchi IVPda \(t\)₀ ob'ekt eng yuqori nuqtada bo'lgan va pastga tushishda boshlashga tayyor bo'lgan vaqt. E'tibor bering, bu vaqtda tezlik nolga teng bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, birinchi differensial tenglamaning boshlang'ich sharti manfiy bo'lishi kerak, chunki boshlang'ich tezlik yuqoriga.

Bunday holda, har ikkala holat uchun differentsial tenglama bir xil bo'ladi. Bu har doim ham sodir bo'lmaydi, lekin bunday hollarda biz ikkinchi IVPni e'tiborsiz qoldirib, birinchisiga butun jarayonni boshqarishiga ruxsat berishimiz mumkin.

Shunday qilib, massa va tortishish uchun ulang (biz \(g\) = 9,8 m/s dan foydalanamiz)² bu yerda). Biz oldinga boramiz va biz tayyor bo'lganimizda massani ajratamiz, chunki baribir buni qilishimiz kerak bo'ladi.

\[v' = 9.8 - \frac{{5v}}{{50}} = 9.8 - \frac{v}{{10}}\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = - 10\]

Bu hal qilish uchun oddiy chiziqli differentsial tenglama, shuning uchun biz sizga tafsilotlarni qoldiramiz. Yechilgach, biz \(t\) istalgan vaqtda ob'ektning tezligi uchun quyidagi tenglamaga erishamiz.

\[v\left( t \right) = 98 - 108{{\bf{e}}^{ - \,\frac{{t\,}}{{10}}}}\]

Yaxshi, biz to'pning yerga tegishi tezligini xohlaymiz. Albatta bilishimiz kerak qachon Biz buni so'rashimizdan oldin u erga tushadi. Buni topish uchun biz pozitsiya funksiyasini topishimiz kerak. Buni qilish yetarlicha oson.

\[s\left( t \right) = \int{{v\left( t \right)\,dt}} = \int{{98 - 108{{\bf{e}}^{ - \,\frac{{t\,}}{{10}}}}\,dt}} = 98t + 1080{{\bf{e}}^{ - \,\frac{{t\,}}{{10}}}} + c\]

Endi biz \(s\)(0) = 0 konventsiyasini qabul qilganimdan \(c\) = -1080 ekanligini topishimiz mumkin. Har qanday vaqtda pozitsiyasi keyin.

\[s\left( t \right) = 98t + 1080{{\bf{e}}^{ - \,\frac{{t\,}}{{10}}}} - 1080\]

Massa erga qachon tushishini aniqlash uchun biz faqat hal qilishimiz kerak.

\[100 = 98t + 1080{{\bf{e}}^{ - \,\frac{{t\,}}{{10}}}} - 1080\hspace{0.25in}t = - 3.32203,\,\,5.98147\]

Bu yerda bizda ikkita yechim bor, lekin biz \(t\) = 0 dan boshlayotganimiz sababli, salbiy aniq noto'g'ri qiymatdir. Shunday qilib, massa \(t\) = 5,98147 da erga tushadi. Bunda jismning yerga urilgandagi tezligi.

\[v\left( {5.98147} \right) = 38.61841\]

Demak, bu, asosan, oldingi misoldagi kabi holat. Biz hozirgina havo qarshiligini \(5v\) dan \(5{v^2}\) ga o'zgartirdik. Bundan tashqari, biz bu muammoning istalgan vaqtda \(t\) tezligini topamiz, chunki biz yechim haqiqatan ham yoqimsiz ekanligini ko'ramiz va massa erga urilganda tezlikni topish, biz massaning yuqoriga va pastga harakatlanishi uchun alohida differentsial tenglama kerakligini ko'rsatish uchun mo'ljallangan masalaga qo'ymoqchi bo'lganimizdan ko'ra ko'proq ishdir.

Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz pastga qarab hamma narsa ijobiy degan konventsiyadan foydalanamiz. Bu erda jism yuqoriga va pastga yo'lda bo'lganda massaga ta'sir qiluvchi kuchlar.

Endi, bu holda, ob'ekt yuqoriga qarab harakatlanayotganda, tezlik manfiy bo'ladi. Biroq, havo qarshiligidagi \({v^2}\) tufayli havo qarshiligi ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilish uchun bu safar minus belgisini qo'shishimiz shart emas, chunki u pastga ta'sir qiluvchi kuch ekanligini hisobga olish kerak.

Biroq, pastga yo'naltirilgan bosqichda, biz havo qarshiligida minus belgisiga muhtojmiz, chunki u yuqoriga ko'tariladigan kuch va shuning uchun salbiy bo'lishi kerak, lekin \({v^2}\) ijobiydir.

Bu har bir holat uchun quyidagi IVP ga olib keladi.

\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}&\hspace{0.5in}{\mbox{Up}}\\ & mv' = mg + 5{v^2}\\ & v' = 9.8 + \frac{1}{{10}}{v^2}\\ & v\left( 0 \right) = - 10\end{aligned}&\begin{aligned}&\hspace{0.35in}{\mbox{Down}}\\ & mv' = mg - 5{v^2}\\ & v' = 9.8 - \frac{1}{{10}}{v^2}\\ & v\left( {{t_0}} \right) = 0\end{aligned}\end{array}\]

Bu aniq farqli differensial tenglamalar va shuning uchun oldingi misoldan farqli o'laroq, biz to'liq muammo uchun birinchisidan foydalana olmaymiz.

Bundan tashqari, ularni hal qilish jarayoni oldingi misolga qaraganda bir oz ko'proq ishtirok etadi, chunki differensial tenglamalarning hech biri chiziqli emas. Biroq, ularning ikkalasi ham ajratiladigan differentsial tenglamalardir.

Shunday qilib, keling, yechim jarayonini boshlaylik. Avval yuqoriga qarab harakatlanuvchi differensial tenglamani yechamiz. Mana bu differentsial tenglamani yechish ish.

\[\begin{align*}\int{{\frac{1}{{9.8 + \frac{1}{{10}}{v^2}}}\,dv}} & = \int{{dt}}\\ 10\int{{\frac{1}{{98 + {v^2}}}\,dv}} & = \int{{dt}}\\ \frac{{10}}{{\sqrt {98} }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{v}{{\sqrt {98} }}} \right) & = t + c\end{align*}\]

E'tibor bering, biz ikkinchi bosqichda jarayonni biroz osonlashtirish uchun integrandni biroz qayta yozdik.

Endi bu erdan davom etish uchun bizda ikkita tanlov bor. Yoki biz tezlikni hozir hal qilishimiz mumkin, buni oxir-oqibat qilishimiz kerak yoki biz ushbu bosqichda dastlabki shartni qo'llashimiz mumkin. Vaholanki, biz har doim boshlang'ich shartni qo'llashdan oldin funktsiyani hal qilganmiz, agar xohlasak, uni bu erda osongina qo'llashimiz mumkin va bu holda, ehtimol, biroz osonroq bo'ladi.

Shunday qilib, boshlang'ich shartni qo'llash uchun biz faqat \(v\) haqiqatan ham \(v\left( t \right)\) ekanligini eslashimiz va keyin \(t = 0\) ni ulashimiz kerak. Buni qilish,

\[\frac{{10}}{{\sqrt {98} }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{v\left( 0 \right)}}{{\sqrt {98} }}} \right) = 0 + c\]

Endi biz faqat \(v\left( 0 \right) = - 10\)-ni olishimiz kerakligini bilamiz.

\[c = \frac{{10}}{{\sqrt {98} }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 10}}{{\sqrt {98} }}} \right)\]

Tartibsiz, lekin u erda. Massaning yuqoriga qarab harakatlanish tezligi u holda,

\[\begin{align*}\frac{{10}}{{\sqrt {98} }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{v}{{\sqrt {98} }}} \right) & = t + \frac{{10}}{{\sqrt {98} }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 10}}{{\sqrt {98} }}} \right)\\ {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{v}{{\sqrt {98} }}} \right) & = \frac{{\sqrt {98} }}{{10}}t + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 10}}{{\sqrt {98} }}} \right)\\ v\left( t \right) & = \sqrt {98} \tan \left( {\frac{{\sqrt {98} }}{{10}}t + {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 10}}{{\sqrt {98} }}} \right)} \right)\end{align*}\]

Endi biz ob'ekt o'z traektoriyasining cho'qqisiga qachon etib borishini aniqlashimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, uni nolga tenglashtirish, chunki cho'qqidagi ob'ekt pastga harakatni boshlashdan oldin nol tezlikka ega bo'ladi. \(t\) ning quyidagi qiymatlarida tezlik nolga teng ekanligini tekshirishni sizga qoldiramiz.

\[t = \frac{{10}}{{\sqrt {98} }}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{{\sqrt {98} }}} \right) + \pi n} \right]\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \]

Biz bularning barchasini xohlamasligimiz aniq. Biz nol tezlikni beradigan birinchi ijobiy \(t\) ni xohlaymiz. Jarayonni \(t = 0\) da boshlayotganimizni va u eng yuqori nuqtaga yetganini hisobga olsak, \(t\) ni salbiy qabul qilish mantiqiy emas (i.e. tezligi nolga teng bo'lgan birinchi musbat \(t\)) yechim endi haqiqiy emas, chunki ob'ekt pastga qarab harakatlana boshlaydi va bu yechim faqat yuqoriga qarab harakatlanish uchundir.

\(n\) ning bir nechta qiymatlarini kiritish bizga tezda birinchi ijobiy \(t\) \(n = 0\) uchun paydo bo'lishini va \(t = 0.79847\) bo'lishini ko'rsatadi. Muammoning qolgan qismini hal qilishni biroz osonlashtirish uchun javobni o'nli kasrgacha qisqartirdik.

Ob'ektning pastga qarab harakatlanishi uchun IVP, keyin,

\[v' = 9.8 - \frac{1}{{10}}{v^2}\hspace{0.25in}v\left( {0.79847} \right) = 0\]

Endi bu ham ajratiladigan differensial tenglama, lekin uni yechish biroz murakkabroq. Birinchidan, differensial tenglamani (bir oz qayta yozish bilan) ajratamiz va hech bo'lmaganda integrallarni qo'yamiz.

\[\int{{\frac{1}{{9.8 - \frac{1}{{10}}{v^2}}}\,dv}} = 10\int{{\frac{1}{{98 - {v^2}}}\,dv}} = \int{{dt}}\]

Bu erda muammo maxrajdagi minus belgisidir. Shuning uchun bu birinchi integral kabi teskari tangens emas. Ushbu integralni baholash uchun biz triglarni almashtirishni (\(v = \sqrt {98} \sin \theta \)) bajarishimiz yoki foydalanishimiz mumkin. qisman kasrlar \(98 - {v^2} = \left( {\sqrt {98} - v} \right)\left( {\sqrt {98} + v} \right)\) faktidan foydalanib. Ehtimol, siz bunday narsalarni faktoringlashga odatlanmagansiz, lekin qisman kasr ishi trigni almashtirishdan qochishga imkon beradi va u hamma narsa butun son bo'lganda bo'lgani kabi ishlaydi va shuning uchun biz buni bu integral uchun qilamiz.

Qisman qismlarga ajratish tafsilotlarini sizga qoldiramiz. Qisman kasrlash amalga oshirilgandan so'ng, integral shunday bo'ladi:

\[\begin{align*}10\left( {\frac{1}{{2\sqrt {98} }}} \right)\int{{\frac{1}{{\sqrt {98} + v}} + \frac{1}{{\sqrt {98} - v}}\,dv}} & = \int{{dt}}\\ \frac{5}{{\sqrt {98} }}\left[ {\ln \left| {\sqrt {98} + v} \right| - \ln \left| {\sqrt {98} - v} \right|} \right] & = t + c\\ \frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {98} + v}}{{\sqrt {98} - v}}} \right| & = t + c\end{align*}\]

Shunga qaramay, biz hayotimizni biroz osonlashtirish uchun ushbu bosqichda dastlabki shartni qo'llaymiz. Buni qilish,

\[\begin{align*}\frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {98} + v\left( {0.79847} \right)}}{{\sqrt {98} - v(0.79847}}} \right| & = 0.79847 + c\\ \frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {98} + 0}}{{\sqrt {98} - 0}}} \right| & = 0.79847 + c\\ \frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left| 1 \right| & = 0.79847 + c\\ c & = - 0.79847\end{align*}\]

Yechimlar, biz yozganimizdek, keyin,

\[\frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt {98} + v}}{{\sqrt {98} - v}}} \right| = t - 0.79847\]

OK, endi biz \(v\) ni hal qilishimiz kerak va buning uchun bizga haqiqatan ham mutlaq qiymat chiziqlari yo'qolishi kerak va yo'q, hayotimizni osonlashtirish uchun ularni shunchaki tashlab keta olmaymiz. Biz ularni yakuniy yechimga hech qanday ta'sir qilmasdan tashlab yuborish mumkinligini bilishimiz kerak.

Buni amalga oshirish uchun keling, tezkor yo'nalish maydonini yoki to'g'rirog'i yo'nalish maydonidan echimlarning bir nechta eskizlarini qilaylik. Mana o'sha eskiz,

E'tibor bering, \(\sqrt {98} = 9.89949\) va shunga o'xshash eskizda ko'rsatilgan -10 va 10 uchun chiziqlardan biroz yuqori/pastda joylashgan. Bu erda muhim narsa o'rta mintaqaga e'tibor berishdir. Agar tezlik \(v\left( {0.79847} \right) = 0\) ni hisobga olsak, bizniki kabi bu mintaqaning istalgan joyidan boshlansa, tezlik har doim \(\sqrt {98} \) dan kam bo'lishi kerak.

Bu biz uchun shuni anglatadiki, \(\sqrt {98} + v\) ham, \(\sqrt {98} - v\) ham ijobiy bo'lishi kerak va shuning uchun mutlaq qiymatlar satridagi miqdor ham ijobiy bo'lishi kerak. Shuning uchun, bu holda, biz olish uchun mutlaq qiymat satrlarini tashlab qo'yishimiz mumkin,

\[\] \[\frac{5}{{\sqrt {98} }}\ln \left[ {\frac{{\sqrt {98} + v}}{{\sqrt {98} - v}}} \right] = t - 0.79847\]

Bu nuqtada bizda \(v\) uchun hal qilish uchun juda tartibsiz algebra bor. Algebra ishimizni tekshirishni sizga qoldiramiz. Jismning pastga qarab harakatlanishining yechimi:

\[v\left( t \right) = \sqrt {98} \frac{{{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\sqrt {98} \left( {t - 0.79847} \right)}} - 1}}{{{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\sqrt {98} \left( {t - 0.79847} \right)}} + 1}}\]

Bu erda hamma narsani bir joyga qo'yish bu muammoning to'liq (qat'iy noxush) yechimidir.

\[v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt {98} \tan \left( {\frac{{\sqrt {98} }}{{10}}t + {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{ - 10}}{{\sqrt {98} }}} \right)} \right)}&{0 \le t \le 0.79847\,\,\,\left( {{\mbox{upward motion}}} \right)}\\{\sqrt {98} \frac{{{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\sqrt {98} \left( {t - 0.79847} \right)}} - 1}}{{{{\bf{e}}^{\frac{1}{5}\sqrt {98} \left( {t - 0.79847} \right)}} + 1}}}&{0.79847 \le t \le {t_{{\mathop{\rm end}\nolimits} }}\,\,\left( {{\mbox{downward motion}}} \right)}\end{array}} \right.\]

bu erda \({t_{{\mbox{end}}}}\) - ob'ektning erga tegishi vaqti. Yechimning tabiatini hisobga olgan holda, agar xohlasangiz, bu vaqtni aniqlashni sizga qoldiramiz, lekin ish juda yoqimsiz bo'lishi mumkinligi haqida oldindan ogohlantiriladi.

Mana, osmon sho'ng'ichiga ta'sir qiluvchi kuchlar

Konventsiyalarga ko'ra, tortishish kuchi salbiy va havo qarshiligidan kelib chiqadigan kuch ijobiydir. O'rnatilganidek, bu kuchlar to'g'ri belgiga ega va shuning uchun IVP

\[mv' = - mg + 0.8\left| v \right|\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\]

Mutlaq qiymatlar satrini olib tashlash uchun borganingizda muammo paydo bo'ladi. Muammoni hal qilish uchun ularni olib tashlash kerak. Bu erda talabalarning aksariyati xato qilishgan. Ular konventsiyani va harakat yo'nalishini unutib qo'yganligi sababli, ular olish uchun mutlaq qiymat chiziqlarini tashladilar.

\[mv' = - mg + 0.8v\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\hspace{0.25in}\left( {{\mbox{incorrect IVP!!}}} \right)\]

Xo'sh, nima uchun bu noto'g'ri? Esda tutingki, konventsiya ijobiy tomon yuqoriga qaratilgan. Biroq, bu holda ob'ekt pastga siljiydi va shuning uchun \(v\) salbiy! Mutlaq qiymat barlari tushirilganda havo qarshiligi salbiy kuchga aylandi va shuning uchun pastga yo'nalishda harakat qildi!

To'g'ri IVPni olish uchun \(v\) salbiy bo'lgani uchun |\(v\)| = -\(v\). Bundan foydalanib, havo qarshiligi F ga aylanadi_A = -0.8\(v\) va ko'rinishga qaramay, bu ijobiy kuchdir, chunki "-" tezlikka qarshi (bu salbiy) ijobiy kuchni olish uchun bekor qilinadi.

To'g'ri IVP keyin

\[mv' = - mg - 0.8v\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\]

Massani ulash imkonini beradi

\[v' = - 9.8 - \frac{v}{{75}}\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\]

To'liqlik uchun osmon sho'ng'izining tezligi, hech bo'lmaganda parashyut ochilgunga qadar, biz bu muammoga kiritmaganmiz.

\[v\left( t \right) = - 735 + 735{{\bf{e}}^{ - \frac{t}{{75}}}}\]

Mana, osmon sho'ng'ichiga ta'sir qiluvchi kuchlar

Bunday holda, tortishish kuchi ijobiydir, chunki u pastga yo'naltirilgan kuchdir va havo qarshiligi yuqoriga qaratilgan kuchdir va shuning uchun salbiy bo'lishi kerak. Bu holatda harakat pastga qarab bo'lgani uchun tezlik musbat bo'ladi, shuning uchun |\(v\)| = \(v\). Havoning qarshiligi F ga teng_A = -0,8\(v\). Bu holat uchun IVP

\[mv' = mg - 0.8v\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\]

Massani ulash imkonini beradi

\[v' = 9.8 - \frac{v}{{75}}\hspace{0.25in}v\left( 0 \right) = 0\]

Buni hal qilish beradi

\[v\left( t \right) = 735 - 735{{\bf{e}}^{ - \frac{t}{{75}}}}\]

Bu oldingi misol bilan bir xil yechim, faqat qarama-qarshi belgiga ega. Buni kutish kerak, chunki konventsiyalar ikkita misol o'rtasida almashtirilgan.