13.1-bo'lim: Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning limiti (limits)
Ushbu bo'limda biz birdan ortiq o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funksiyalarning limitlarini ko'rib chiqamiz. Asosan, diqqatimizni ikki o'zgaruvchili funksiyalarning limitlariga qaratamiz, ammo keltiriladigan barcha fundamental g'oya va usullarni uch yoki undan ortiq o'zgaruvchili funksiyalarga ham osongina umumlashtirish mumkin.
Mavzuni boshlashdan avval bir o'zgaruvchili funksiyalar uchun limit qanday ishlashini qisqacha yodga olaylik. Biz quyidagi tenglikni:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\]agar bir tomonlama limitlar o'zaro teng bo'lsa, ya'ni:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = L\]bo'lgandagina o'rinli deb aytgan edik.
Shuningdek eslang:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)\]ifoda o'ng tomonlama limit bo'lib, bizdan faqat \(x > a\) bo'lgan qiymatlarni qarashni talab qiladi. Xuddi shunday,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right)\]ifoda chap tomonlama limit bo'lib, unda faqat \(x < a\) bo'lgan qiymatlar qaraladi.
Boshqacha aytganda, agar \(x\) o'zgaruvchi har ikkala tomondan (lekin hech qachon \(x = a\) ga teng bo'lmagan holda) \(x = a\) ga intilganda \(f(x)\) qiymati \(L\) ga intilsa, u holda \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\) bo'ladi.
Endi e'tibor bering: bir o'lchamli holatda biz \(x = a\) nuqtaga faqatgina ikkita yo'l (trayektoriya) bo'yicha yaqinlasha olamiz. Biz yo chap tomondan kela olamiz, yoki o'ng tomondan kela olamiz. Demak, bir o'zgaruvchili funksiya limiti mavjud bo'lishi uchun, funksiya mana shu ikki yo'lning har biri bo'yicha \(x = a\) ga yaqinlashganda aynan bir xil songa intilishi zarur va yetarlidir.
Ikki o'zgaruvchili funksiyalar bilan ishlashda ham shunga o'xshash mantiqqa tayanamiz, biroq bu safar vaziyat ancha murakkabroq bo'ladi. Dastlab belgilashlarni aniqlashtirib olaylik va bu turdagi limitlarda bizdan aslida nima talab qilinishini his qilaylik.
Biz \(x\) o'zgaruvchi \(a\) ga va \(y\) o'zgaruvchi \(b\) ga intilganda \(f(x,y)\) funksiyaning limitini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Buni bir nechta usulda yozish mumkin. Quyida eng ko'p tarqalgan ikkita standart belgilash keltirilgan:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a\atop y \to b} f\left( {x,y} \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {a,b} \right)} f\left( {x,y} \right)\]Ushbu kursda biz ko'pincha ikkinchi belgilashdan foydalanamiz. Ikkinchi belgilash bu yerda biz aslida nima ish qilayotganimizni ko'rgazmaliroq tasvirlaydi. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning limitini olishda biz tekislikdagi \((x,y)\) nuqta \((a,b)\) nuqtaga tobora yaqinlashib borgani sari (lekin hech qachon aynan \((a,b)\) ga teng bo'lmagan holda), \(f(x,y)\) funksiya qanday qiymatga intilayotganini aniqlashni maqsad qilamiz.
Bir o'zgaruvchili funksiyalar limitlaridagi kabi, bu limit mavjud bo'lishi uchun funksiya \((a,b)\) nuqtaga qaysi yo'l (trayektoriya) bo'yicha yaqinlashishimizdan qat'i nazar, aynan bir xil bitta qiymatga intilishi shart. Va aynan shu joyda biz darhol jiddiy muammoga duch kelamiz: tekislikda \((a,b)\) nuqtaga intilishimiz mumkin bo'lgan yo'llar (egri chiziqlar) soni so'zning to'liq ma'nosida cheksiz ko'pdir! Quyidagi rasmda \((a,b)\) nuqtaga intiluvchi mumkin bo'lgan ayrim yo'llar tasvirlangan:
Rasmda bir nechta to'g'ri chiziqli yo'llar hamda to'g'ri chiziqli bo'lmagan "to'lqinsimon" egri chiziqlar keltirilgan. Bu yerda faqatgina 6 ta yo'l ko'rsatilgan xolos; to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsiyentini o'zgartirish orqali ularning soni cheksiz ko'p bo'lishini ko'rish mumkin, bundan tashqari to'g'ri chiziq bo'lmagan cheksiz xilma-xil egri chiziqli trayektoriyalarni ham hisobga olishimiz zarur bo'ladi.
Boshqacha aytganda, ikki o'zgaruvchili funksiya limitining mavjudligini bevosita ta'rif orqali isbotlash uchun, nazariy jihatdan cheksiz ko'p yo'llarni tekshirib chiqish va funksiya nuqtaga qaysi yo'l bilan yaqinlashmasin, barchasida bir xil qiymatga intilishini tasdiqlash talab etiladi.
Baxtimizga, ko'p hollarda bizga Calculus I kursidagi asosiy fundamental tushuncha — uzluksizlik yordamga keladi.
Ikki o'zgaruvchili funksiya uzluksizligining ta'rifi
\(f(x,y)\) funksiya \((a,b)\) nuqtada uzluksiz deyiladi, agar quyidagi shart bajarilsa:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {a,b} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\]Geometrik nuqtai nazardan, bu ta'rif bir o'zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi bilan bir xil ma'noni anglatadi. Agar funksiyaning grafigi (tekislik ustidagi sirt) \((a,b)\) nuqtada hech qanday yirtilish, teshik yoki uzilishga ega bo'lmasa, funksiya ushbu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Bu bizga limitlarni hisoblashda qanday yordam beradi? Xuddi bir o'zgaruvchili tahlildagi kabi: agar siz funksiyaning \((a,b)\) nuqtada uzluksiz ekanligini bilsangiz, u holda limitni topish uchun shunchaki \((a,b)\) nuqtani funksiyaga to'g'ridan-to'g'ri qo'yish kifoya:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {a,b} \right)} f\left( {x,y} \right) = f\left( {a,b} \right)\]Yaxshi yangilik shuki: ko'phadlar, trigonometrik funksiyalar, ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalar hamda ularning yig'indisi, ko'paytmasi va kompozitsiyalari o'zlarining aniqlanish sohalaridagi barcha nuqtalarda uzluksizdir. Shuning uchun, agar ko'p o'zgaruvchili ifodaga berilgan nuqtani qo'yganimizda maxraj nolga teng bo'lmasa yoki manfiy sondan juft darajali ildiz chiqmasa (ya'ni aniqlanmaganlik yuzaga kelmasa), limitni to'g'ridan-to'g'ri o'rniga qo'yish usuli bilan hisoblaymiz.
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y,z} \right) \to \left( {2,1, - 1} \right)} 3{x^2}z + yx\cos \left( {\pi x - \pi z} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {5,1} \right)} \frac{{xy}}{{x + y}}\)
a \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y,z} \right) \to \left( {2,1, - 1} \right)} 3{x^2}z + yx\cos \left( {\pi x - \pi z} \right)\) Yechim
Ushbu misolda berilgan uch o'zgaruvchili funksiya ko'rib chiqilayotgan \((2, 1, -1)\) nuqtada to'liq uzluksizdir (hech qanday bo'lish yoki ildiz ostida manfiy qiymat yo'q). Shuning uchun o'zgaruvchilar o'rniga berilgan sonlarni shunchaki qo'yish kifoya:
\[\begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y,z} \right) \to \left( {2,1, - 1} \right)} 3{x^2}z + yx\cos \left( {\pi x - \pi z} \right) & = 3{\left( 2 \right)^2}\left( { - 1} \right) + \left( 1 \right)\left( 2 \right)\cos \left( {2\pi - \pi(-1)} \right)\\ & = 3(4)(-1) + 2\cos(3\pi)\\ & = -12 + 2(-1)\\ & = -14 \end{align*}\]b \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {5,1} \right)} \frac{{xy}}{{x + y}}\) Yechim
Ushbu kasr funksiya \(x + y = 0\), ya'ni \(y = -x\) to'g'ri chizig'ida uzluksiz emas, chunki bu to'g'ri chiziq bo'ylab maxraj nolga aylanadi. Biroq biz ko'rayotgan \((5, 1)\) nuqta ushbu to'g'ri chiziqda yotmaydi (\(5 + 1 = 6 \ne 0\)).
Demak, funksiya \((5, 1)\) nuqtada uzluksizdir va biz nuqtani to'g'ridan-to'g'ri qo'yamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {5,1} \right)} \frac{{xy}}{{x + y}} = \frac{{(5)(1)}}{{5 + 1}} = \frac{5}{6}\]Oldingi misoldagi limitlar juda sodda edi, chunki funksiyalar berilgan nuqtalarda uzluksiz bo'lib chiqdi. Albatta, barcha masalalar ham bunday bo'lavermaydi. Keling, ko'p o'zgaruvchili analizga xos bo'lgan ancha xarakterliroq misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu holatda funksiya berilgan \((1,1)\) nuqtada uzluksiz emas, chunki nuqtani qo'yganimizda surat ham, maxraj ham nolga aylanadi: \(\frac{0}{0}\) ko'rinishidagi noaniqlik hosil bo'ladi.
Biroq bu limit mavjud emas degani emas! Calculus I da ko'rganimizdek, agar kasrning surati va maxrajini ko'paytuvchilarga ajratish mumkin bo'lsa, qisqartirish orqali uzilishni bartaraf etish mumkin:
Suratdagi \(2x^2 - xy - y^2\) kvadrat uchhadni guruhlash usuli bilan ajratamiz:
\[2x^2 - xy - y^2 = 2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 2x(x - y) + y(x - y) = (2x + y)(x - y)\]Maxraj esa kvadratlar ayirmasidir: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Shunday qilib:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {1,1} \right)} \frac{{2{x^2} - xy - {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {1,1} \right)} \frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {1,1} \right)} \frac{{2x + y}}{{x + y}}\]Umumiy \((x - y)\) ko'paytuvchini qisqartirgach, hosil bo'lgan yangi funksiya \((1,1)\) nuqtada uzluksizdir! Endi limitni hisoblash uchun nuqtani shunchaki qo'yamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {1,1} \right)} \frac{{2x + y}}{{x + y}} = \frac{{2(1) + 1}}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}\]Keyingi misollarga o'tishdan oldin shuni ta'kidlash kerakki: 2-misoldagi kabi kasrni shunchaki ko'paytuvchilarga ajratib qisqartirish usuli bir o'zgaruvchili tahlilda (Calculus I) juda keng tarqalgan bo'lsa-da, ko'p o'zgaruvchili analizda (Calculus III) bunday baxtli holat kamdan-kam uchraydigan istisno hisoblanadi. Aksariyat hollarda ko'p o'zgaruvchili limitlarda ko'paytuvchilarga ajratib bo'lmaydi va ularning aksariyati mavjud bo'lmaydi. Buni keyingi misolda ko'ramiz.
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^4} + 3{y^4}}}\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^3}y}}{{{x^6} + {y^2}}}\)
a \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{x^4} + 3{y^4}}}\) Yechim
Ushbu kasrda \((0,0)\) nuqtada \(\frac{0}{0}\) noaniqlik hosil bo'ladi. Oldingi misoldan farqli ravishda, bu yerda surati yoki maxrajini qisqaradigan qilib ko'paytuvchilarga ajratishning mutlaqo iloji yo'q.
Bunday vaziyatda limit mavjud bo'lmasligi ehtimoli juda yuqori. Agar biz koordinata boshiga intiluvchi ikkita turli yo'l topsak va bu ikki yo'l bo'yicha limitlar har xil chiqsa, u holda ko'p o'zgaruvchili limitning ta'rifiga ko'ra limit mavjud emas deb qat'iy xulosa qilamiz.
Yo'l bo'ylab intilish nima degani? Biz koordinata boshiga intilishni yo \(x\) yoki \(y\) ni nol deb qotirish orqali, yoki \(y = f(x)\) munosabat bilan bog'lash orqali bajaramiz. Shu tarzda ikki o'zgaruvchili limitni bizga yaxshi tanish bo'lgan bir o'zgaruvchili limitga keltiramiz.
1-yo'l: \(Ox\) o'qi bo'ylab yaqinlashish.
\(Ox\) o'qi bo'ylab harakatlanganda doimo \(y = 0\) bo'ladi. Shuning uchun funksiyaga \(y = 0\) qo'yamiz va \(x \to 0\) limitni olamiz:
Demak, \(Ox\) o'qi bo'ylab koordinata boshiga yaqinlashganda funksiya \(0\) ga intiladi.
2-yo'l: \(Oy\) o'qi bo'ylab yaqinlashish.
\(Oy\) o'qi bo'ylab doimo \(x = 0\) bo'ladi. Funksiyaga \(x = 0\) qo'yamiz:
Ikkala koordinata o'qi bo'yicha ham limit \(0\) chiqdi. Bu limit mavjud va 0 ga teng degani EMAS! Bu shunchaki limit ikki yo'l bo'ylab tasodifan bir xil chiqqanini bildiradi xolos.
3-yo'l: \(y = x\) to'g'ri chizig'i bo'ylab yaqinlashish.
Endi koordinata boshiga \(y = x\) to'g'ri chizig'i bo'ylab intilaylik. Funksiyadagi barcha \(y\) larni \(x\) bilan almashtiramiz:
E'tibor bering! \(y = x\) to'g'ri chizig'i bo'ylab limit \(\frac{1}{4}\) ga teng bo'ldi, o'qlar bo'yicha esa \(0\) chiqqan edi (\(0 \ne \frac{1}{4}\)). Turli yo'llar bo'yicha turli qiymatlar hosil bo'lganligi sababli, ushbu limit mavjud emas!
Umumiy holda, agar siz barcha to'g'ri chiziqlar to'dasini tekshirmoqchi bo'lsangiz, \(y = mx\) to'g'ri chiziqlar oilasini qo'yishingiz mumkin. Agar natija \(m\) burchak koeffitsiyentiga bog'liq bo'lib qolsa, bu limit turli burchak ostidagi to'g'ri chiziqlarda har xil qiymat olishini va demak, mavjud emasligini darhol isbotlaydi.
b \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^3}y}}{{{x^6} + {y^2}}}\) Yechim
Ushbu limitda ham \((0,0)\) nuqtada \(\frac{0}{0}\) noaniqlik mavjud va qisqartirish imkonsiz. Keling, turli yo'llarni sinab ko'raylik.
Dastlab \(y = x\) to'g'ri chizig'i bo'ylab yaqinlashamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,x} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^3}(x)}}{{{x^6} + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^4}}}{{{x^2}(x^4 + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^4} + 1}} = \frac{0}{1} = 0\]Aslida, agar siz ixtiyoriy \(y = mx\) to'g'ri chizig'ini olsangiz ham:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}(mx)}}{{{x^6} + {m^2}{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{m{x^2}}}{{{x^4} + {m^2}}} = 0\quad (m \ne 0)\]Ya'ni koordinata boshiga qaysi to'g'ri chiziq bo'yicha bormang, limit DOIMO 0 chiqadi! Shunda ko'pchilik talabalar shoshilib: "Barcha to'g'ri chiziqlar bo'yicha limit 0 bo'lsa, demak limit 0 ga teng ekan" deb xato xulosa chiqarishadi. Lekin bu xato! Chunki biz faqat to'g'ri chiziqlar bo'yicha emas, egri chiziqlar bo'yicha ham yaqinlasha olamiz.
Maxrajga e'tibor bering: \(x^6 + y^2\). Agar biz shunday yo'l tanlasakki, unda \(y^2\) hadi \(x^6\) ga proporsional bo'lsa, ya'ni \(y = x^3\) kubik parabola bo'ylab kelsak-chi?
Endi \(y = x^3\) trayektoriya bo'ylab koordinata boshiga intilaylik:
\[\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,{x^3}} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{{x^3}(x^3)}}{{{x^6} + {{\left( {{x^3}} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^6}}}{{{x^6} + {x^6}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^6}}}{{2{x^6}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]Ko'rib turganingizdek: barcha to'g'ri chiziqlar bo'yicha limit \(0\) ga teng chiqqan holda, \(y = x^3\) kubik parabola bo'ylab intilganda limit \(\frac{1}{2}\) ga teng bo'ldi! Qiymatlar bir-biriga teng emas (\(0 \ne \frac{1}{2}\)).
Demak, ushbu limit mavjud emas!
Ushbu misol bizga shuni qat'iy uqtiradiki: faqatgina to'g'ri chiziqli yo'llar bilan cheklanib qolmaslik kerak; surat va maxrajdagi darajalar muvozanatini hisobga olgan holda parabolalar yoki boshqa darajali egri chiziqli trayektoriyalarni ham tahlil qilish shartdir.
Xulosa qilib aytganda, ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning limitlari bir o'zgaruvchili analizdagidan ancha farq qiladi va sezilarli darajada murakkabroqdir. Agar limit mavjud bo'lsa, uni yo uzluksizlik, yoki qisqartirish, yoki Siqish teoremasi (Squeeze Theorem) hamda qutb koordinatalar sistemasiga o'tish orqali isbotlash zarur bo'ladi; agar limit mavjud bo'lmasa, turli natija beruvchi ikkita yo'lni topib ko'rsatish kifoyadir.