3.7-bo'lim: Wronskian haqida ko'proq
Avvalgisida bo'limi Biz ikkita yechim yechimlarning asosiy to‘plami ekanligini aniqlashga yordam berish uchun Wronskianni taqdim etdik. Ushbu bo'limda biz Wronskianning boshqa ilovasini, shuningdek, Wronskianni hisoblashning muqobil usulini ko'rib chiqamiz.
Ilovadan boshlaylik. Avval bir nechta yangi tushunchalarni kiritishimiz kerak.
Ikki nolga teng bo'lmagan \(f(x)\) va \(g(x)\) funksiyalari berilgan holda quyidagi tenglamani yozing.
\[\begin{equation}c\,f\left( x \right) + k\,g\left( x \right) = 0\label{eq:eq1}\end{equation}\]E'tibor bering, \(c = 0\) va \(k\) = 0 biz foydalanadigan funktsiyalardan qat'i nazar, \(\eqref{eq:eq1}\) ni barcha \(x\) uchun haqiqiy qiladi.
Endi, agar biz nolga teng bo'lmagan \(c\) va \(k\) konstantalarini topsak, ular uchun \(\eqref{eq:eq1}\) barcha \(x\) uchun ham to'g'ri bo'ladi, biz ikkita funktsiyani chaqiramiz. chiziqli bog'liq. Boshqa tomondan, agar \(\eqref{eq:eq1}\) to'g'ri bo'lgan yagona ikkita konstanta \(c\) = 0 va \(k\) = 0 bo'lsa, biz funktsiyalarni chaqiramiz. chiziqli mustaqil.
- \(f\left( x \right) = 9\cos \left( {2x} \right)\hspace{0.25in}g\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 2{\sin ^2}\left( x \right)\)
- \(f\left( t \right) = 2{t^2}\hspace{0.25in}g\left( t \right) = {t^4}\)
a \(f\left( x \right) = 9\cos \left( {2x} \right)\hspace{0.25in}g\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 2{\sin ^2}\left( x \right)\) Yechim
Biz ushbu ikkita funktsiya uchun \(\eqref{eq:eq1}\) ni yozishdan boshlaymiz.
\[c\left( {9\cos \left( {2x} \right)} \right) + k\left( {2{{\cos }^2}\left( x \right) - 2{{\sin }^2}\left( x \right)} \right) = 0\]Biz buni barcha \(x\) uchun to'g'ri qiladigan \(c\) va \(k\) nolga teng bo'lmagan konstantalarni topa olamizmi yoki \(c\) = 0 va \(k\) = 0 barcha \(x\) uchun to'g'ri bo'ladigan yagona doimiylar ekanligini aniqlashimiz kerak. Bu ko'pincha juda qiyin jarayon. Jarayonni bu kabi narsalar uchun yaxshi sezgi bilan soddalashtirish mumkin, ammo bunga erishish qiyin, ayniqsa siz bunday muammolarni ko'p qilmagan bo'lsangiz.
Bunday holda, muammoni eslab qolish orqali soddalashtirish mumkin
\[{\cos ^2}\left( x \right) - {\sin ^2}\left( x \right) = \cos \left( {2x} \right)\]Ushbu faktdan foydalanib, bizning tenglamamiz bo'ladi.
\[\begin{align*}9c\,\cos \left( {2x} \right) + 2k\,\cos \left( {2x} \right) & = 0\\ \left( {9c + 2k} \right)\cos \left( {2x} \right) & = 0\end{align*}\]Ushbu soddalashtirish yordamida biz \(c\) va \(k\) konstantalarining har qanday juftligi uchun bu nolga teng bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
\[9c + 2k = 0\]Biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan doimiylar bo'yicha mumkin bo'lgan juftliklar qatoriga quyidagi juftliklar kiradi.
\[\begin{align*}c & = 1, & \hspace{0.25in}k & = - \frac{9}{2}\\ c & = \frac{2}{9}, & \hspace{0.25in}k & = - 1\\ c & = - 2, & \hspace{0.25in}k & = 9\\ c & = - \frac{7}{6}, & \hspace{0.25in}k & = \frac{{21}}{4}\\ & etc.\end{align*}\]Ishonchimiz komilki, siz ko'rib turganingizdek, minglab mumkin bo'lgan juftliklar mavjud va ular siz xohlagancha "oddiy" yoki "murakkab" bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, biz tenglamani barcha \(x\) uchun haqiqiy qiladigan nolga teng bo'lmagan bir juft konstantani topishga muvaffaq bo'ldik va shuning uchun ikkala funktsiya chiziqli bog'liqdir.
b \(f\left( t \right) = 2{t^2}\hspace{0.25in}g\left( t \right) = {t^4}\) Yechim
Oxirgi qismda bo'lgani kabi, biz ushbu funktsiyalar uchun \(\eqref{eq:eq1}\) ni yozishdan boshlaymiz.
\[2c{t^2} + k{t^4} = 0\]Bu holda, biz birinchi qismda qilganimizdek, funktsiyalardan birini ikkinchisiga ko'ra yozish uchun tez va oddiy formulalar mavjud emas. Shunday qilib, biz doimiylarni topa olamizmi yoki yo'qligini ko'rishimiz kerak. Biz shuni payqashdan boshlaymizki, agar asl tenglama to'g'ri bo'lsa, hamma narsani farqlasak, biz ham to'g'ri bo'lishi kerak bo'lgan yangi tenglamani olamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita noma'lum ikkita tenglamadan iborat quyidagi tizimga ega bo'ldik.
\[\begin{align*}2c{t^2} + k{t^4} & = 0\\ 4ct + 4k{t^3} & = 0\end{align*}\]Biz \(c\) va \(k\) uchun ushbu tizimni hal qilishimiz va nima olishimizni ko'rishimiz mumkin. Biz \(c\) uchun ikkinchi tenglamani yechishdan boshlaymiz.
\[c = - k{t^2}\]Endi buni birinchi tenglamaga kiriting.
\[\begin{align*}2\left( { - k{t^2}} \right){t^2} + k{t^4} & = 0\\ - k{t^4} & = 0\end{align*}\]Eslatib o'tamiz, biz buni barcha \(t\) uchun to'g'ri bo'ladigan doimiylardan so'ng. Bu barcha \(t\) uchun nolga teng bo'lishining yagona yo'li, agar \(k\) = 0 bo'lsa! Shunday qilib, agar \(k\) = 0 bo'lsa, bizda \(c\) = 0 bo'lishi kerak.
Shuning uchun biz buning yagona yo'lini ko'rsatdik
\[2c{t^2} + k{t^4} = 0\]Barcha \(t\) uchun to'g'ri bo'ladi, bu \(c\) = 0 va \(k\) = 0 bo'lishini talab qiladi. Shuning uchun ikkala funktsiya chiziqli mustaqildir.
Oldingi misollarda ko'rganimizdek, ikkita funktsiyaning chiziqli mustaqil yoki chiziqli bog'liqligini aniqlash juda muhim jarayon bo'lishi mumkin. Bu erda Wronskian yordam berishi mumkin.
Vronskiy va chiziqli mustaqillik
Ma'lum bir I oralig'ida differentsiallanadigan ikkita \(f(x)\) va \(g(x)\) funksiyalari berilgan.
- Agar I dagi ba'zi \(x_{0}\) uchun \(W\left( {f,g} \right)\left( {{x_0}} \right) \ne 0\), u holda \(f(x)\) va \(g(x)\) I oraliqda chiziqli mustaqildir.
- Agar \(f(x)\) va \(g(x)\) I ga chiziqli bog'liq bo'lsa, I oraliqdagi barcha \(x\) uchun \(W(f,g)(x) = 0\).
Bu haqiqat bilan juda ehtiyot bo'ling. Agar \(W(f,g)(x) = 0\), \(f(x)\) va \(g(x)\) ning chiziqli bog'liqligini AYolmaydi! Darhaqiqat, ikkita chiziqli mustaqil funktsiyaning Wronskian nolga ega bo'lishi mumkin!
Bu fakt chiziqli mustaqil funktsiyalar va chiziqli bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan funktsiyalarni tezda aniqlash uchun ishlatiladi.
- \(f\left( x \right) = 9\cos \left( {2x} \right)\hspace{0.25in}g\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 2{\sin ^2}\left( x \right)\)
- \(f\left( t \right) = 2{t^2}\hspace{0.25in}g\left( t \right) = {t^4}\)
a \(f\left( x \right) = 9\cos \left( {2x} \right)\hspace{0.25in}g\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 2{\sin ^2}\left( x \right)\) Yechim
Bunday holda, agar biz ikkita funktsiyaning Wronskianini hisoblasak, biz nolga teng bo'lishimiz kerak, chunki biz bu funktsiyalarning chiziqli bog'liqligini aniqladik.
\[\begin{align*}W & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{9\cos \left( {2x} \right)}&{2{{\cos }^2}\left( x \right) - 2{{\sin }^2}\left( x \right)}\\{ - 18\sin \left( {2x} \right)}&{ - 4\cos \left( x \right)\sin \left( x \right) - 4\sin \left( x \right)\cos \left( x \right)}\end{array}} \right|\\ & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{9\cos \left( {2x} \right)}&{2\cos \left( {2x} \right)}\\{ - 18\sin \left( {2x} \right)}&{ - 2\sin \left( {2x} \right) - 2\sin \left( {2x} \right)}\end{array}} \right|\\ & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{9\cos \left( {2x} \right)}&{2\cos \left( {2x} \right)}\\{ - 18\sin \left( {2x} \right)}&{ - 4\sin \left( {2x} \right)}\end{array}} \right|\\ & = - 36\cos \left( {2x} \right)\sin \left( {2x} \right) - \left( { - 36\cos \left( {2x} \right)\sin \left( {2x} \right)} \right) = 0\end{align*}\]Shunday qilib, biz bo'lishi kerak bo'lgan nolga ega bo'lamiz. Ishni soddalashtirish uchun trig formulalaridan og'ir foydalanishga e'tibor bering!
b \(f\left( t \right) = 2{t^2}\hspace{0.25in}g\left( t \right) = {t^4}\) Yechim
Bu erda biz ikkala funktsiya chiziqli mustaqil ekanligini bilamiz va shuning uchun biz nolga teng bo'lmagan Wronskianni olishimiz kerak.
\[W = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2{t^2}}&{{t^4}}\\{4t}&{4{t^3}}\end{array}} \right| = 8{t^5} - 4{t^5} = 4{t^5}\]Wronskian nolga teng emas, chunki biz kutganimizdek \(t \ne 0\). Bu muammo emas. Vronskian barcha \(t\) uchun bir xil nolga teng bo'lmasa, biz yaxshimiz.
- \(f\left( t \right) = \cos t\hspace{0.25in}g\left( t \right) = \sin t\)
- \(f\left( x \right) = {6^x}\hspace{0.25in}g\left( x \right) = {6^{x + 2}}\)
a \(f\left( t \right) = \cos t\hspace{0.25in}g\left( t \right) = \sin t\) Yechim
Endi bizda Wronskian ishlatadigan bo'lsak, avval buni tekshirib ko'raylik. Agar u nol bo'lmasa, biz ikkala funktsiyaning chiziqli mustaqil ekanligini bilib olamiz va agar uning nolga teng bo'lsa, biz ularning chiziqli bog'liqligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
\[W = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos t}&{\sin t}\\{ - \sin t}&{\cos t}\end{array}} \right| = {\cos ^2}t + {\sin ^2}t = 1 \ne 0\]Demak, bu ikki funktsiya chiziqli mustaqildir. Bu safar ancha oson!
b \(f\left( x \right) = {6^x}\hspace{0.25in}g\left( x \right) = {6^{x + 2}}\) Yechim
Biz birinchi qismda bo'lgani kabi, bu erda ham xuddi shunday qilamiz. Shuni eslang
\[{\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\]Endi Wronskianni hisoblang.
\[W = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{6^x}}&{{6^{x + 2}}}\\{{6^x}\ln 6}&{{6^{x + 2}}\ln 6}\end{array}} \right| = {6^x}{6^{x + 2}}\ln 6 - {6^{x + 2}}{6^x}\ln 6 = 0\]Endi bu ikkala funktsiya chiziqli bog'liqligini bildirmaydi! Biroq, ular, ehtimol, chiziqli bog'liqligini taxmin qilishimiz mumkin. Ularning haqiqatan ham chiziqli bog'liqligini isbotlash uchun biz \(\eqref{eq:eq1}\) ni yozib olishimiz kerak va biz noldan farqli \(c\) va \(k\) ni topa olamizmi yoki yo'qmi, buni barcha \(x\) uchun to'g'ri qiladi.
\[\begin{align*}c\,{6^x} + k\,{6^{x + 2}} & = 0\\ c\,{6^x} + k\,{6^x}{6^2} & = 0\\ c\,{6^x} + 36k\,{6^x} & = 0\\ \left( {c\, + 36k} \right)\,{6^x} & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, biz qoniqtiradigan har qanday konstantalardan foydalanishimiz mumkin
\[c + 36k = 0\]barcha \(x\) uchun bu nolga aylantirish. Xususan, biz foydalanishimiz mumkin
\[\begin{align*}c & = 36 & \hspace{0.25in}k & = - 1\\ c & = - 36 & \hspace{0.25in}k & = 1\\ c & = 9 & \hspace{0.25in}k & = - \frac{1}{4}\\ & etc.\end{align*}\]Bizda barcha \(x\) uchun tenglamani to'g'ri qiladigan nolga teng bo'lmagan doimiylar mavjud. Shuning uchun funksiyalar chiziqli bog'liqdir.
Ushbu bo'limdagi keyingi mavzuga o'tishdan oldin chiziqli mustaqil va chiziqli bog'liq funktsiyalar haqida bir oz ko'proq gaplashamiz. Keling, \(f(x)\) va \(g(x)\) chiziqli bog'liq deb faraz qilishdan boshlaylik. Demak, bu \(c\) va \(k\) nolga teng bo'lmagan konstantalar mavjudligini anglatadi.
\[c\,f\left( x \right) + k\,g\left( x \right) = 0\]hamma \(x\) uchun to'g'ri.
Endi biz buni quyidagi ikkita usuldan birida hal qilishimiz mumkin.
\[f\left( x \right) = - \frac{k}{c}g\left( x \right)\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in}g\left( x \right) = - \frac{c}{k}f\left( x \right)\]Shuni yodda tutingki, buni amalga oshirish mumkin, chunki biz \(c\) va \(k\) noldan farqli ekanligini bilamiz va shuning uchun bo'linishlarni nolga bo'lish haqida tashvishlanmasdan amalga oshirish mumkin.
Demak, bu ikkita chiziqli bog'liq funktsiyani shunday yozish mumkinki, biri ikkinchisining doimiy vaqtidan boshqa narsa emas. Orqaga qayting va biz yozgan chiziqli bog'liq funktsiyalar to'plamini ko'rib chiqing va bu ikkalasi uchun ham to'g'ri ekanligini ko'rasiz.
Chiziqli mustaqil bo'lgan ikkita funktsiyani bu tarzda yozib bo'lmaydi va shuning uchun biz biridan ikkinchisiga o'ta olmaymiz, shunchaki doimiyga ko'paytiramiz.
Keyinchalik, chiziqli mustaqillik va chiziqli bog'liqlik faqat ikkita funktsiyaga tegishli degan taassurot qoldirmoqchi emasmiz. Biz g'oyani xohlagancha ko'p funktsiyalarga osongina kengaytirishimiz mumkin.
Faraz qilaylik, bizda \(n\) nolga teng bo'lmagan funksiyalar mavjud, \(f_{1}(x)\), \(f_{2}(x)\),…, \(f_{n}(x)\). Quyidagi tenglamani yozing.
\[\begin{equation}{c_1}{f_1}\left( x \right) + {c_2}{f_2}\left( x \right) + \cdots + {c_n}{f_n}\left( x \right) = 0 \label{eq:eq2}\end{equation}\]Agar biz \(c_{1}\), \(c_{2}\), …, \(c_{n}\) konstantalarini kamida ikkita noldan farqli ravishda topa olsak, \(\eqref{eq:eq2}\) barcha \(x\) uchun to‘g‘ri bo‘lsa, funksiyalarni chiziqli bog‘liq deb ataymiz. Boshqa tomondan, \(\eqref{eq:eq2}\) ni \(x\) uchun haqiqiy qiladigan yagona konstantalar \(c_{1}=0\), \(c_{2}=0\), …, \(c_{n}=0\) bo‘lsa, biz funksiyalarni chiziqli mustaqil deb ataymiz.
E'tibor bering, ikkita funktsiya holatidan farqli o'laroq, biz ba'zi konstantalar nolga teng bo'lishi mumkin va funktsiyalar chiziqli bog'liq bo'lishi mumkin.
Bunday holda, funktsiyalarning chiziqli bog'liqligi nimani anglatadi? Xo'sh, ular shunday deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, biz kamida ikkita nolga teng bo'lmagan doimiylarni topishimiz mumkin, shuning uchun \(\eqref{eq:eq2}\) barcha \(x\) uchun to'g'ri bo'ladi. Argument uchun \(c_{1}\) nolga teng bo'lmagan doimiylardan biri deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni qila olamiz.
\[\begin{align*}{c_1}{f_1}\left( x \right) + {c_2}{f_2}\left( x \right) + \cdots + {c_n}{f_n}\left( x \right) & = 0\\ {c_1}{f_1}\left( x \right) & = - \left( {{c_2}{f_2}\left( x \right) + \cdots + {c_n}{f_n}\left( x \right)} \right)\\ {f_1}\left( x \right) & = - \frac{1}{{{c_1}}}\left( {{c_2}{f_2}\left( x \right) + \cdots + {c_n}{f_n}\left( x \right)} \right)\end{align*}\]Boshqacha qilib aytganda, agar funktsiyalar chiziqli bog'liq bo'lsa, biz ulardan kamida bittasini boshqa funktsiyalar nuqtai nazaridan yozishimiz mumkin.
Xo'sh, keling, ushbu bo'limning boshqa mavzusiga o'tamiz. Wronskianni hisoblashning muqobil usuli mavjud. Quyidagi teorema bu muqobil usulni beradi.
Abel teoremasi
Agar \(y_{1}(t)\) va \(y_{2}(t)\) ikkita yechim bo'lsa
\[y'' + p\left( t \right)y' + q\left( t \right)y = 0\]u holda ikkita yechimning Vronskian
\[W\left( {{y_1},{y_2}} \right)\left( t \right) = W\left( {{y_1},{y_2}} \right)\left( {{t_0}} \right){{\bf{e}}^{ - \int_{{\,{t_0}}}^{{\,t}}{{p\left( x \right)\,dx}}}}\]ba'zi \(t_{0}\) uchun.
Chunki biz Wronskian-ni bilmaymiz va \(t_{0}\)-ni bilmaymiz, bu bizga ko'p foyda keltirmaydi. Biroq, biz buni qayta yozishimiz mumkin
\[\begin{equation}W\left( {{y_1},{y_2}} \right)\left( t \right) = c\,{{\bf{e}}^{ - \int{{p\left( t \right)\,dt}}}}\label{eq:eq3}\end{equation}\]Bu erda eksponensial oldida o'tirgan asl Wronskian \(c\) ga so'riladi va \(t_{0}\) da integralni baholash eksponensialga doimiyni qo'yadi, uni ham chiqarib olish va \(c\) doimiysiga yutish mumkin. Agar buni qanday qilishni eslamasangiz, orqaga qayting va chiziqli, birinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing. bo'limi chunki biz u erda shunga o'xshash narsani qildik.
Ushbu qayta yozish bilan biz Wronskianni multiplikativ doimiyga qadar hisoblashimiz mumkin, bu unchalik yomon emas. Shuni ham yodda tutingki, buni amalga oshirish uchun bizga ikkita echim kerak emas. Bizga faqat differentsial tenglamadan birinchi hosilaning koeffitsienti kerak bo'ladi (agar ikkinchi hosilaning koeffitsienti, albatta, bitta bo'lsa ...).
Keling, buning tezkor misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, differentsial tenglamani ikkinchi hosilaning koeffitsientiga bo'lishdir, chunki u bitta bo'lishi kerak. Bu bizga beradi
\[y'' - \frac{2}{t}y' - {t^4}y = 0\]Endi \(\eqref{eq:eq3}\) yordamida Wronskian
\[W = c{{\bf{e}}^{ - \int{{ - \frac{2}{t}dt}}}} = c{{\bf{e}}^{2\ln t}} = c{{\bf{e}}^{\ln {t^2}}} = c{t^2}\]