8.5-bo'lim: Ehtimollik
Biz ko'rib chiqadigan integrallarning oxirgi qo'llanilishida biz ehtimollikni ko'rib chiqamiz. Ilovalarga kirishdan oldin biz bir nechta ta'riflarni olib tashlashimiz kerak.
Aytaylik, biz odamning yoshi, bo'yi, navbatda kutish vaqti yoki batareyaning ishlash muddatini ko'rib chiqmoqchi edik. Ushbu miqdorlarning har biri haqiqiy sonlar oralig'ida o'zgarib turadigan qiymatlarga ega. Shuning uchun bular deyiladi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar ko'pincha \(X\) bilan ifodalanadi.
Har bir uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi, \(X\), aga ega ehtimollik zichligi funksiyasi, \(f\left( x \right)\). Ehtimollik zichligi funksiyalari quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.
- Barcha \(x\) uchun \(f\left( x \right) \ge 0\).
- \(\displaystyle \int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} = 1\)
Ehtimollik zichligi funksiyalaridan uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchining ikkita qiymat oʻrtasida yotish ehtimolini aniqlash uchun foydalanish mumkin, masalan, \(a\) va \(b\). Bu ehtimollik \(P\left( {a \le X \le b} \right)\) bilan belgilanadi va quyidagicha ifodalanadi:
Zichlik funksiyasidan ehtimollik
Keling, buning bir misolini ko'rib chiqaylik.
- \(f\left( x \right)\) ehtimollik zichligi funksiyasi ekanligini ko'rsating.
- \(P\left( {1 \le X \le 4} \right)\) ni toping
- \(P\left( {x \ge 6} \right)\) ni toping
a \(f\left( x \right)\) ehtimollik zichligi funksiyasi ekanligini ko'rsating. Yechim
Birinchidan, \(0 \le x \le 10\) diapazonida aniq ijobiy va bu diapazondan tashqarida biz uni nolga teng deb belgilaganimizni unutmang.
Demak, bu ehtimollik zichligi funktsiyasi ekanligini ko'rsatish uchun biz \(\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} = 1\) ni ko'rsatishimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} & = \int_{{\,0}}^{{\,10}}{{\frac{{{x^3}}}{{5000}}\left( {10 - x} \right)\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{{2000}} - \frac{{{x^5}}}{{25000}}} \right)} \right|_0^{10}\\ & = 1\end{align*}\]Integral chegaralarining o'zgarishiga e'tibor bering. Ushbu diapazonlarda funktsiya nolga teng emas va shuning uchun integralni faqat funktsiya nolga teng bo'lmagan intervalgacha kamaytirish mumkin.
b \(P\left( {1 \le X \le 4} \right)\) ni toping Yechim
Bunday holda biz quyidagi integralni baholashimiz kerak.
\[\begin{align*}P\left( {1 \le X \le 4} \right) & = \int_{{\,1}}^{{\,4}}{{\frac{{{x^3}}}{{5000}}\left( {10 - x} \right)\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{{2000}} - \frac{{{x^5}}}{{25000}}} \right)} \right|_1^4\\ & = 0.08658\end{align*}\]Shunday qilib, \(X\) ning 1 va 4 orasida bo'lish ehtimoli 8,658% ni tashkil qiladi.
c \(P\left( {x \ge 6} \right)\)-ni toping Yechim
E'tibor bering, bu holda \(P\left( {x \ge 6} \right)\) \(P\left( {6 \le X \le 10} \right)\) ga ekvivalent bo'ladi, chunki 10 \(X\) bo'lishi mumkin bo'lgan eng katta qiymatdir. Shunday qilib, \(X\) 6 dan katta yoki teng bo'lish ehtimoli,
\[\begin{align*}P\left( {X \ge 6} \right) & = \int_{{\,6}}^{{\,10}}{{\frac{{{x^3}}}{{5000}}\left( {10 - x} \right)\,dx}}\\ & = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{{2000}} - \frac{{{x^5}}}{{25000}}} \right)} \right|_6^{10}\\ & = 0.66304\end{align*}\]Bu ehtimol 66,304% ni tashkil qiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatini aniqlash uchun ehtimollik zichligi funksiyalaridan ham foydalanish mumkin. O'rtacha, tomonidan beriladi,
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtachasi
Keling, yana bir misol bilan ishlaylik.
- Bu haqiqatan ham ehtimollik zichligi funksiyasi ekanligini tekshiring.
- Biror kishining navbatda kamida 6 daqiqa kutish ehtimolini aniqlang.
- Navbatda kutishning o'rtacha vaqtini aniqlang.
a Bu haqiqatan ham ehtimollik zichligi funksiyasi ekanligini tekshiring. Yechim
Bu funktsiya aniq musbat yoki nolga teng, shuning uchun bu erda integralni hisoblashdan boshqa qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[\begin{align*}\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{f\left( t \right)\,dt}} & = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{0.1{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \int_{{\,0}}^{{\,u}}{{0.1{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left. {\left( { - {{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}} \right)} \right|_0^u\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left( {1 - {{\bf{e}}^{ - \,\frac{u}{{10}}}}} \right) = 1\end{align*}\]Demak, bu ehtimollik zichligi funksiyasi.
b Biror kishining navbatda kamida 6 daqiqa kutish ehtimolini aniqlang. Yechim
Bu erda biz izlayotgan ehtimol \(P\left( {X \ge 6} \right)\).
\[\begin{align*}P\left( {X \ge 6} \right) & = \int_{{\,6}}^{{\,\infty }}{{0.1{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \int_{{\,6}}^{{\,u}}{{0.1{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left. {\left( { - {{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}} \right)} \right|_6^u\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{ - \,\frac{6}{{10}}}} - {{\bf{e}}^{ - \,\frac{u}{{10}}}}} \right) = {{\bf{e}}^{ - \,\frac{3}{5}}} = 0.548812\end{align*}\]Shunday qilib, odamning 6 daqiqadan ko'proq navbatda turishi ehtimoli 54,8811% ni tashkil qiladi.
c Navbatda kutishning o'rtacha vaqtini aniqlang. Yechim
Mana o'rtacha kutish vaqti.
\[\begin{align*}\mu & = \int_{{\, - \infty }}^{\infty }{{t\,f\left( t \right)\,dt}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{0.1t\,{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \int_{{\,0}}^{{\,u}}{{0.1t\,{{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}\,dt}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{integrating by parts}}....\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left. {\left( { - \left( {t + 10} \right){{\bf{e}}^{ - \,\frac{t}{{10}}}}} \right)} \right|_0^u\\ & = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \left( {10 - \left( {u + 10} \right){{\bf{e}}^{ - \,\frac{u}{{10}}}}} \right) = 10\end{align*}\]Shunday qilib, o'rtacha kutish vaqti 10 daqiqaga o'xshaydi.