4. umumiy xatolar
Bu boshqa mavzularga to'g'ri kelmaydigan xatolar to'plami, shuning uchun men ularning barchasini shu yerga kiritdim.
Ko'rsatmalarni o'qing!!!!!!
Bu, ehtimol, talabalarning eng katta xatolaridan biridir. Siz ko'rsatmalarni va muammo bayonini diqqat bilan o'qib chiqishingiz kerak. Muammoni hal qilishni boshlashdan oldin sizdan nima talab qilinayotganini tushunganingizga ishonch hosil qiling
Talabalar juda tez-tez shunday taxmin bilan yugurishadi: "Bu X bo'limda, shuning uchun ular mendan ____________ qilishimni xohlashlari kerak." Ko'p hollarda siz buni taxmin qila olmaysiz. Yo'riqnomani ko'zdan kechirmang yoki birinchi so'zlarni o'qib chiqing va qolganlarini bilasiz deb o'ylamang.
Ko'rsatmalarda ko'pincha o'qituvchingiz ko'rmoqchi bo'lgan bosqichlar va yakuniy javob qanday shaklda bo'lishi kerakligi haqidagi ma'lumotlar bo'ladi. Bundan tashqari, ko'plab matematik masalalar muammo bayonotidagi bir yoki ikkita so'zga qarab bir necha usulda davom etishi mumkin. Agar siz ushbu bir yoki ikkita so'zni o'tkazib yuborsangiz, siz noto'g'ri yo'lga tushib, muammoni butunlay noto'g'ri hal qilishingiz mumkin.
Ko'rsatmalarni o'qimaslik talabalarim uchun ball yo'qotishning eng katta manbaidir.
Formulalardagi cheklovlarga e'tibor bering
Bu ko'pincha formulalar bo'yicha cheklovlarni bermaydigan yoki unchalik ahamiyat bermaydigan o'qituvchilar tomonidan qo'shiladigan xatodir (ba'zida men ham tan olaman). Ba'zi hollarda o'qituvchilar cheklovlarni unutib qo'yishadi, boshqalarda ular cheklovlar shunchalik ravshanki, ularga berishning hojati yo'q degan fikrga ega bo'lib tuyuladi, va boshqa hollarda o'qituvchilar cheklovlarni tushuntirib berish bilan bezovta bo'lishni xohlamaydilar, shuning uchun ularni bermasliklari mumkin.
Misol uchun, algebra darsida siz quyidagi formuladan o'tishingiz kerak edi.
\[\sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b \]Muammo shundaki, bu formulada cheklovlar mavjud va ko'plab o'qituvchilar u bilan bezovta qilmaydilar va shuning uchun talabalar buni har doim ham bilishmaydi. O'qituvchilar ushbu formulaga cheklov qo'ygan bo'lsa ham, ko'pchilik talabalar buni unutishadi, chunki ular formula ishlamaydigan holatlarga kamdan-kam duch kelishadi.
Cheklov buzilganda nima bo'lishini bilish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing (misol oxirida cheklovni keltiraman.)
- \(\sqrt 1 = \sqrt 1 \)Bu, albatta, to'g'ri bayonot.
- \(\sqrt {\left( 1 \right)\left( 1 \right)} = \sqrt {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} \)Chunki \(1 = \left( 1 \right)\left( 1 \right)\) va \(1 = \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)\).
- \(\sqrt 1 \sqrt 1 = \sqrt { - 1} \sqrt { - 1} \)Ikkala ildizda ham yuqoridagi xususiyatdan foydalaning.
- \(\left( 1 \right)\left( 1 \right) = \left( i \right)\left( i \right)\)\(i = \sqrt { - 1} \)
- \(1 = {i^2}\)Bir oz soddalashtirish.
- \(1 = -1\)\({i^2} = - 1\)
Bu erda muammo borligi aniq, chunki biz \(1 \ne - 1\) ekanligini yaxshi bilamiz! Muammo 3-bosqichda paydo bo‘ldi. Men ishlatgan xususiyat \(a\) va \(b\) ikkalasi ham salbiy bo‘lishi mumkin bo‘lmagan cheklovga ega. Agar u yoki boshqasi salbiy bo'lsa, yaxshi, lekin ikkalasi ham salbiy bo'lishi mumkin emas!
Bunday cheklovga e'tibor bermaslik, yuqoridagi misolda ko'rsatilganidek, ba'zi haqiqiy muammolarni keltirib chiqarishi mumkin.
Bunday muammoning hisob-kitobidan misol ham mavjud. Agar sizda hisob-kitob bo'lmasa, buni o'tkazib yuborishingiz mumkin. Siz oladigan asosiy formulalardan biri
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}\]Bu erda ko'pchilik o'qituvchilar uni tark etishadi, garchi juda muhim cheklov ham berilishi kerak. O'ylaymanki, ko'pchilik o'qituvchilar formuladan foydalanishga shunchalik odatlanganki, ular bilvosita hamma cheklovni bilishini va shuning uchun uni berishga hojat yo'qligini his qilishadi. Men buni o'zim bu erda qilganimni bilaman!
Ushbu formulani qo'llash uchun n o'zgarmas doimiy bo'lishi kerak! Boshqacha qilib aytganda, siz \({x^x}\) hosilasini topish uchun formuladan foydalana olmaysiz, chunki ko'rsatkich doimiy doimiy emas. Agar siz \({x^x}\) lotinini topish uchun qoidadan foydalanmoqchi bo'lsangiz, siz erishasiz
\[x\, \cdot \,{x^{x - 1}} = {x^x}\]va to'g'ri hosila,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{x^x}} \right) = {x^x}\left( {1 + \ln x} \right)\]Shunday qilib, formuladan noto'g'ri foydalanish orqali olgan narsamiz to'g'ri javobga ham yaqin emasligini ko'rishingiz mumkin.
Javobingizni ma'lum javobga moslashtirish uchun o'zgartiring
Men o'zimning uy vazifalarimni yozishni boshlaganimdan beri, men bunga avvalgidek tez-tez duch kelmadim, lekin bu meni shunchalik g'azablantirdiki, men davom etaman va uni qo'shaman deb o'yladim.
Ilgari men vaqti-vaqti bilan matnning orqa tomonida berilgan javoblar bilan muammolarni topshirardim. Semestr boshida men noto'g'ri ishi bo'lgan uy vazifalari to'plamini olardim, lekin to'g'ri javob orqa tomondan ko'r-ko'rona ko'chirildi. Orqaga qaytib, xatolarini topish o'rniga, talabalar to'g'ri javobni ko'chirib olishadi va baho berish paytida uni o'tkazib yuboraman degan umidda. Vaqti-vaqti bilan men buni o'tkazib yuborganimga ishonchim komil bo'lsa-da, men uni qo'lga kiritganimda, bu o'quvchilarga dastlabki xatolikdan ko'ra ko'proq ballga tushdi.
Shunday ekan, agar javobingiz nima ekanligini oldindan bilib qolsangiz va javobingiz unga mos kelmasa, ORTAGA BORIB XATOINGIZNI TOPING!!!!! Faqat to'g'ri javobni yozmang va umid qilmang. Agar siz xatoingizni topa olmasangiz, ma'lum va (umid qilamanki) to'g'ri javobni emas, balki olgan javobingizni yozing.
Men boshqa o'qituvchilar uchun gapira olmayman, lekin agar men sizning ishingiz tomonidan qo'llab-quvvatlanmaydigan to'g'ri javobni ko'rsam, siz noto'g'ri javobni yozganingizda, asl xatolikdan ko'ra ko'proq ball yo'qotasiz.
Siz ishni to'g'ri bajarasiz deb o'ylamang va shunchaki javobni yozing
Bu xato avvalgisiga o'xshaydi, chunki u sizda ma'lum javobni muddatidan oldin olgan deb taxmin qiladi.
Vaqti-vaqti bilan ma'lum javobga qarab, oraliq bosqichga javob olishingiz mumkin bo'lgan muammolar mavjud. Bunday hollarda, sizning dastlabki ishingizni to'g'ri deb hisoblamang va o'sha oraliq bosqichlarga javob olish uchun ishni bajarmasdan, ma'lum javobdan oraliq javobni yozing.
Ishni bajaring va xato qilmaganligingizga ishonch hosil qilish uchun javoblaringizni ma'lum javob bilan tekshiring. Agar ishingiz ma'lum javobga mos kelmasa, siz xato qilganingizni bilasiz. Orqaga qayting va toping.
Differensial tenglamalar sinfida ma'lum muammolar mavjud bo'lib, ularda javobni oldindan bilsangiz, siz hal qilishingiz kerak bo'lgan kvadrat tenglamaning ildizlarini, shuningdek, siz hal qilishingiz kerak bo'lgan tenglamalar sistemasining echimini olishingiz mumkin. Men sizni bu turdagi muammolarning tafsilotlari bilan zeriktirmayman, lekin bir marta menda bunday xatolik bilan mashhur bo'lgan talaba bor edi.
Xususan, bitta muammo bor edi, unda u kvadrat tenglamani yozgan va juda oddiy ishora xatosiga yo'l qo'ygan, lekin u kvadrat tenglamani hech qanday muammosiz yecha oladi deb o'ylagan, shuning uchun ma'lum javobga qarab olingan tenglamaning ildizlarini yozgan. Keyin u muammoni hal qilishni davom ettirdi, bir nechta juda sodda va tushunarli xatolarni yaratdi va o'zi hal qilishi kerak bo'lgan tenglamalar sistemasiga keldi. Shunga qaramay, xatolari tufayli bu noto'g'ri tizim edi, lekin u ishni bajargan bo'lsa va yechimga qarab olgan javobini yozgan bo'lsa, uni to'g'ri hal qilaman deb o'yladi.
Bu talaba bu masala bo'yicha deyarli hech qanday ball olmadi, chunki u differensial tenglamalar sinfida kvadrat tenglama yoki oddiy tenglamalar sistemasini yechish uning ostida ekanligini va agar u ishni bajarsa, har safar buni to'g'ri bajarishga qaror qildi. Shuning uchun u ishni o'tkazib yuboradi va ma'lum javobga qarab, bu oraliq bosqichlarning javoblarini bilganini yozardi. Agar u shunchaki ishni bajargan bo'lsa, u xato qilganini tushungan bo'lardi va xatolarni topishi mumkin edi, chunki ular odatda xatolarni ushlash oson edi.
Xullas, hikoyaning axloqi - ISHNI QILING. Agar siz ishni qilsangiz, to'g'ri javob olasiz deb o'ylamang. Ishni bajaring va agar u ma'lum bo'lgan javob bilan bir xil bo'lsa, unda siz hamma narsani to'g'ri bajargansiz, agar xato qilmagan bo'lsangiz, orqaga qayting va uni toping.
Sizning javobingiz mantiqiymi?
Ishingiz tugagach, muammolar orqaga qayting va javobingiz mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qiling. Ko'pincha muammolar shunday bo'ladiki, ba'zi javoblar mantiqiy bo'lmaydi, shuning uchun javob olganingizdan so'ng, bu mantiqiymi deb o'zingizdan so'rang. Agar bu mantiqiy bo'lmasa, ehtimol siz xatoga yo'l qo'ygansiz, shuning uchun orqaga qayting va uni topishga harakat qiling.
Mana, yillar davomida talabalardan olgan bir nechta misollar.
Algebra darsida biz vaqti-vaqti bilan foizlar muammolari bilan shug'ullanardik, bunda biz muammoga qarab ma'lum miqdordagi yil/oy/kun uchun ma'lum stavkada foiz olgan hisob raqamiga ma'lum miqdordagi pulni investitsiya qilamiz. Birinchidan, agar siz foiz ishlayotgan bo'lsangiz, pul miqdori o'sishi kerak, shuning uchun siz boshlaganingizdan kamroq natijaga erishsangiz, xato qilgan bo'lasiz. Xuddi shunday, agar siz bir necha yil davomida kichik foiz stavkasida atigi 2000 dollar sarmoya kiritsangiz, ikki yildan keyin hisobingizda bir necha milliard dollar bo'lmasligi kerak!
Aspirantlik yillarimda men trig sinfidan dars berayotgan edim va biz soyaning uzunligi va osmondagi quyosh burchagini hisobga olgan holda kampusdagi juda mashhur binoning balandligini aniqlashga harakat qilmoqchi edik. Sinfdagi kimdir binoning haqiqiy balandligini bilishiga shubha qilaman, lekin ular balandligi ikki mildan oshmaganligini bilishlari kerak edi! Men aslida ikki mildan ortiq javob oldim. Bu to'g'ri javob emasligi aniq, lekin xatoni topish uchun ortga qaytish o'rniga (juda oddiy xatolikka yo'l qo'yilgan) talaba aniq noto'g'ri javobni aylana oldi va keyingi masalaga o'tdi.
Ko'pincha aniq noto'g'ri javob beradigan xatoni topish oson. Shunday qilib, javobingizni tekshiring va ular mantiqiy ekanligiga ishonch hosil qiling!
Ishingizni tekshiring
Bu qanchalik muhimligini ta'kidlay olmayman! ISHINGIZNI TEKSHIRING! Ishingizni qayta ko'rib chiqish orqali siz ko'pincha oddiy xatolarga duch kelasiz. Buni qilishning eng yaxshi yo'li, garchi ko'p vaqt talab qiladigan bo'lsa-da, ishingizdan voz kechib, keyin qaytib kelib, barcha muammolarni qayta ko'rib chiqish va ilgari olinganlarga yangi javoblaringizni tekshirishdir. Bu ko'p vaqt talab qiladi va shuning uchun har doim ham amalga oshirib bo'lmaydi, lekin bu sizning ishingizni tekshirishning eng yaxshi usuli.
Agar sizda bunday vaqt bo'lmasa, hech bo'lmaganda ishingizni o'qing. Shu tarzda siz barcha xatolarga yo'l qo'ymaysiz, lekin ba'zi yorqinroq xatolarga duch kelishingiz mumkin.
O'qituvchilaringizning ishchi guruhlarga bo'lgan e'tiqodiga qarab, javobingizni boshqa talabalarga nisbatan tekshirishingiz mumkin. Ba'zi o'qituvchilar bunga qovog'ini solib, barcha ishlaringizni individual bajarishingizni xohlashadi, lekin agar o'qituvchi bunga qarshi bo'lmasa, bu xatolarni aniqlashning yaxshi usuli.
Assotsiatsiya tomonidan aybdorlik
Sarlavha bu erdagi xatolar turlarini tasvirlash uchun yaxshi ish qilmaydi, lekin men aytayotgan xatolarni ko'rganingizdan so'ng, buni tushunasiz.
Ko'pincha talabalar quyidagi mantiqiy xatolarga yo'l qo'yishadi. Chunki quyidagi formula to'g'ri
\[\sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b \hspace{0.5in} {\mbox{where \(a\) and \(b\) can't both be negative}}\]\(\sqrt {a + b} \) uchun shunga o'xshash formula bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, agar formula bitta algebraik amal uchun (masalan, qo'shish, ayirish, bo'lish va/yoki ko'paytirish) ishlayotgan bo'lsa, u hamma uchun ishlashi kerak. Muammo shundaki, bu odatda to'g'ri emas! Bu holda
\[\sqrt {a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b \]Xuddi shunday, hisob-kitoblardan talabalar xato qilishadi, chunki
\[{\left( {f + g} \right)^\prime } = f' + g'\]funksiyalar mahsuloti uchun ham xuddi shunday bo'lishi kerak. Shunga qaramay, bu shunday ishlamaydi!
\[{\left( {f\,g} \right)^\prime } \ne \left( {f'} \right)\left( {g'} \right)\]Shunday qilib, ma'lum algebraik operatsiyalar uchun ishlaydigan formulalarni barcha algebraik operatsiyalarga kengaytirishga urinmang. Agar sizga ma'lum algebraik operatsiya uchun formula berilgan bo'lsa, lekin boshqalar emas, buning sababi bor edi. Ehtimol, u faqat sizga formula berilgan operatsiyalar uchun ishlaydi!
Yaxlitlash xatolari
Negadir o'quvchilarda hamma narsa iloji boricha yaxlit bo'lishi kerak degan qarash paydo bo'ladi. Bu shunchalik uzoqqa ketdiki, menda o'nli kasrlar bilan ishlashdan bosh tortgan o'quvchilarim bor edi! Har bir javob, javob qanchalik noto'g'ri bo'lishidan qat'i nazar, eng yaqin butun songa yaxlitlandi.
Juda ko'p yaxlitlash sizni muammoga olib kelishi va javobni jiddiy o'zgartirishi mumkin bo'lgan ba'zi muammolar mavjud. Buning eng yaxshi namunasi - qiziqish muammolari. Mana tez misol.
Eslatib o'tamiz (agar siz ushbu formulani ko'rgan bo'lsangiz), agar siz \(P\) dollarini yiliga \(n\) marta qo'shilgan \(r\) foiz stavkasida investitsiya qilsangiz, \(t\) yildan keyin sizda \(A\) dollar bo'ladi, bu erda,
\[A=P{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}^{n\,t}\]Shunday qilib, biz 15 yil davomida har oy 6,5% foiz stavkasida 10 000 dollar investitsiya qilamiz deb faraz qilaylik. Shunday qilib, bizda nima bor
\[\begin{array}{l}P = 10,000\\r = \frac{{6.5}}{{100}} = 0.065\\n = 12\\t = 15\end{array}\]Foiz stavkasi har doim 100 ga bo'linishini unutmang! Shunday qilib, biz 15 yildan keyin nimaga ega bo'lamiz.
\[\begin{eqnarray*}A & = & 10000{\left( {1 + \frac{{0.065}}{{12}}} \right)^{\left( {12} \right)\left( {15} \right)}}\\ & = & 10,000{\left( {{\rm{1}}{\rm{.005416667}}} \right)^{180}}\\ & = & 10,000\left( {{\rm{2}}{\rm{.644200977}}} \right)\\ & = & {\rm{26,442}}{\rm{.00977}}\\ & = & 26,442.01\end{eqnarray*}\]Shunday qilib, 15 yildan keyin bizda $26,442,01 bo'ladi. Oxirgi bosqichga qadar yaxlitlashmaganimni payqadingiz va bu faqat ikkita kasrdan iborat pul bilan ishlaganimiz uchun. Bu muammolarda bu talab qilinadi. Juda ko'p yaxlitlash qanchalik farq qilishi mumkinligini ko'rsatish uchun yaxlitlashning ba'zi misollari. Har bir qadamda men har bir javobni o'nlik kasrlar soniga yaxlitlayman.
Birinchidan, men o'nli kasrlar bo'lmagan ekstremal holatni bajaraman, ya'ni faqat butun sonlar. Bu ekstremal holat, lekin men buni vaqti-vaqti bilan uchratdim.
\[\begin{align*} A & = 10,000{\left( 1+\frac{0.065}{12} \right)}^{\left( 12 \right)\left( 15 \right)} &\\ & = 10,000{\left( 1 \right)}^{180} & 1.005416667=1 \text{ when rounded.} \\ & = 10,000\left( 1 \right) & \\ & = 10,000.00 & \end{align*}\]Bu haddan tashqari, lekin bu fikrni bildiradi.
Endi men uchta kasrgacha yaxlitlashaman.
\[\begin{align*} A & = 10,000{\left( 1+\frac{0.065}{12} \right)}^{\left( 12 \right)\left( 15 \right)} & \\ & = 10,000{\left( 1.005 \right)}^{180} & 1.005416667=1.005 \text{ when rounded.} \\ & = 10,000\left( 2.454 \right) & 2.454093562 = 2.454 \text{ when rounded.} \\ & = 24,540.00 & \end{align*}\]Endi beshta kasrgacha yaxlitlash.
\[\begin{align*} A & = 10,000{\left( 1+\frac{0.065}{12} \right)}^{\left( 12 \right)\left( 15 \right)} & \\ & = 10,000{\left( 1.00542 \right)}^{180} & 1.005416667=1.00542 \text{ when rounded.} \\ & = 10,000\left( 2.64578 \right) & 2.645779261=2.64578 \text{ when rounded.} \\ & = 26,457.80 & \end{align*}\]Nihoyat, etti kasrgacha yaxlitlash.
\[\begin{align*} A & = 10,000{\left( 1+\frac{0.065}{12} \right)}^{\left( 12 \right)\left( 15 \right)} & \\ & = 10,000{\left( 1.0054167 \right)}^{180} & 1.005416667=1.0054167 \text{ when rounded.} \\ & = 10,000\left( 2.6442166 \right) & 2.644216599=2.6442166 \text{ when rounded.} \\ & = 26,442.17 & \end{align*}\]Hisoblashda bir nechta imkoniyatlarni o'tkazib yubordim. Bu erda 0 kasrdan 8 gacha bo'lgan barcha imkoniyatlar jadvali.
| O'nlik joylari yaxlitlashdan |
Miqdori keyin 15 yil |
Javobdagi xato |
|---|---|---|
| 0 | $10,000.00 | $16 442,01 (past) |
| 1 | $10,000.00 | $16 442,01 (past) |
| 2 | $60,000.00 | 33 557,99$ (yuqori) |
| 3 | $24,540.00 | $1,902,01 (past) |
| 4 | $26,363.00 | $79,01 (past) |
| 5 | $26,457.80 | $15,79 (yuqori) |
| 6 | $26,443.59 | $1,58 (yuqori) |
| 7 | $26,442.17 | $0,16 (yuqori) |
| 8 | $26,442.02 | $0,01 (ortiq) |
E'tibor bering, haqiqiy javobga "yaqin" bo'lishni boshlash uchun kamida 4 ta yaxlitlash kerak. Shuni ham yodda tutingki, biznes olamida yaxlitlashning 4, 5, 6 va 7 kasrlari bilan olgan javoblarimiz ham qabul qilinishi mumkin emas. Ba'zi hollarda (masalan, banklar) har bir tiyin hisobga olinsa, hatto oxirgi javob ham qabul qilinishi mumkin emas!
Demak, bu erda gap shundaki, siz yaxlitlashda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Juda ko'p yaxlitlash javobni keskin o'zgartirishi mumkin bo'lgan ba'zi holatlar mavjud!
Yomon belgi
Bu haqiqatan ham xatolar emas, lekin men buni ko'rganimda meni doimo chetga surib qo'yadigan yomon belgi. Ba'zi instruktorlar, shu jumladan men bir muncha vaqt o'tgach, bu narsalar uchun ball olishadi. Bu shunchaki notational narsa, agar siz buni qilsangiz, yozish odatidan voz kechishingiz kerak. Bir muncha vaqt o'tgach, siz ma'lum bir matematik "etuklikka" erishasiz va bunday belgilarni ishlatmasligingiz kerak.
Birinchidan, men quyidagilarni tez-tez ko'raman,
\[2 + x - 6x = 2 + - 5x\]\( + - 5\) hech qanday ma'noga ega emas! U salbiyga birlashadi SHUNDAY YOZING! Mana to'g'ri yo'l,
\[2 + x - 6x = 2 - 5x\]Buni qilishning to'g'ri yo'li! Men shogirdlarim ham shunday qilishlarini kutaman.
Keyin, bir (raqam) marta narsa faqat bir narsa bo'lsa, uni yozishni davom ettirish uchun hech qanday sabab yo'q. Masalan,
\[2 + 7x - 6x = 2 + x\]Buni \(2 + 1x\) deb yozmang! Bu erda bir koeffitsienti kerak emas, chunki \(1x = x\)! 1 koeffitsientini yozmang!
Xuddi shu narsa bittaning ko'rsatkichi uchun birinchi darajali har qanday narsa har qanday narsadir, shuning uchun odatda bittasini yozishga hech qanday sabab yo'q!
\[{x^1} = x\]Darslarimda dastlab sharhlar bilan bu xatti-harakatni to'xtatishga harakat qilaman, lekin agar bu uni to'xtatish uchun etarli bo'lmasa, men ballarni olib qo'yaman.