4.2-bo'lim: Parabolalar
Ushbu bo'limda biz kvadrat funktsiyaning grafigini ko'rib chiqmoqchimiz. Kvadrat funktsiyaning eng umumiy shakli:
\[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\]Kvadrat funksiyalarning grafiklari deyiladi parabolalar. Quyida parabolalarga misollar keltiramiz.
Barcha parabolalar noaniq "U" shaklida bo'lib, ular eng yuqori yoki eng past nuqtaga ega bo'ladi cho'qqi. Parabolalar yuqoriga yoki pastga ochilishi va \(x\)-kesishmalariga ega bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin va ular doimo bitta \(y\)-kesishmasiga ega bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, pastga ochiladigan parabola har doim pastga ochiladi va ochiladigan parabola doimo ochiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, parabola to'satdan aylanmaydi va agar u allaqachon ochilib qolgan bo'lsa, ochilmaydi. Xuddi shunday, agar u allaqachon ochila boshlagan bo'lsa, u o'girilib ketmaydi va birdan ochila boshlaydi.
Ushbu parabolalarning har biri bilan kesilgan chiziq deyiladi simmetriya o'qi. Har bir parabola simmetriya o'qiga ega va grafikda ko'rsatilganidek, simmetriya o'qining har ikki tomonidagi grafik boshqa tomonning oyna tasviridir. Bu shuni anglatadiki, agar biz parabolaning bir tomonidagi nuqtani bilsak, simmetriya o'qiga asoslangan boshqa tomondagi nuqtani ham bilib olamiz. Bu nuqtani qanday topish mumkinligini biz ba'zi misollarga kirganimizdan keyin ko'rib chiqamiz.
Ehtimol, biz tezda ko'rib chiqishimiz kerak tutib oladi ancha uzoqqa borishdan oldin. Kesishmalar - bu grafik \(x\) yoki \(y\) o'qlarini kesib o'tadigan nuqtalar. Shuningdek, biz kesishmalarni kiritgan bo'limda grafikni ko'rdik, bu erda kesishma o'qni kesib o'tmasdan shunchaki tegdi.
Kesishlarni topish juda oddiy jarayon. \(y = f\left( x \right)\) funktsiyasining \(y\)-kesishini topish uchun biz faqat \(x = 0\) ni o'rnatishimiz va \(y\) koordinatasini topish uchun baholashimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, \(y\)-kesish nuqtasi \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\) nuqtasidir. Biz \(x\)-kesishmalarini deyarli xuddi shunday tarzda topamiz. Biz \(y = 0\) ni o'rnatamiz va olingan tenglamani \(x\) koordinatalari uchun yechamiz. Shunday qilib, biz tenglamani yechishimiz kerak,
\[f\left( x \right) = 0\]Endi parabolalarga qaytaylik. Parabolaning juda yaxshi eskizini olish uchun har doim foydalanishimiz mumkin bo'lgan asosiy jarayon mavjud. Mana.
Parabolalarni chizish
- Tepani toping. Buni qanday topish mumkinligini yaqinda muhokama qilamiz. Bu juda oddiy, lekin uni topishning bir necha usullari mavjud va shuning uchun alohida muhokama qilinadi.
- \(y\)-kesishmasini toping, \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\).
- \(x\) kesishmalarining \(x\) koordinatalarini topish uchun \(f\left( x \right) = 0\) ni yeching, agar ular mavjud bo'lsa. Bizning misollarimizda ko'rib turganimizdek, bizda 0, 1 yoki 2 \(x\)-kesishmalari bo'lishi mumkin.
- Cho'qqining har ikki tomonida kamida bitta nuqta borligiga ishonch hosil qiling. Bu biz biroz aniq eskizni olishimizga ishonch hosil qilish uchun. Agar parabolada ikkita \(x\)-kesishmasi bo'lsa, bizda bu nuqtalar allaqachon bo'ladi. Agar u 0 yoki 1 \(x\) kesishmasiga ega bo'lsa, biz boshqa \(x\) qiymatini ulashimiz yoki ikkinchi nuqtani olish uchun \(y\)-kesishmasi va simmetriya o'qidan foydalanishimiz mumkin.
- Grafikni chizing. Ayni paytda biz parabolaning qanday ko'rinishi haqida yaxshi tasavvurga ega bo'lish uchun etarli ball oldik.
Endi biz ko'rib chiqamiz parabolaning ikkita shakli mavjud. Ushbu birinchi shakl parabolalarni grafik qilishni juda osonlashtiradi. Afsuski, ko'pchilik parabolalar bu shaklda emas. Ikkinchi shakl keng tarqalgan shakl bo'lib, parabolaning grafigini chizish uchun biroz (va faqat bir oz) ko'proq ishlashni talab qiladi.
Keling, parabolaning birinchi shaklini ko'rib chiqaylik.
\[f\left( x \right) = a{\left( {x - h} \right)^2} + k\]Ushbu funktsiyadan biz darhol olishimiz mumkin bo'lgan parabola haqida ikkita ma'lumot mavjud. Birinchidan, agar \(a\) ijobiy bo'lsa, parabola ochiladi va \(a\) manfiy bo'lsa, parabola pastga ochiladi. Ikkinchidan, parabolaning tepasi \(\left( {h,k} \right)\) nuqtasidir. Bu yerga cho'qqini olishda belgilar bilan juda ehtiyot bo'ling.
Shunday qilib, biz parabolaning bu shakliga ega bo'lish baxtiga erishganimizda, bizga tepalik bepul beriladi.
Keling, bu erda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(f\left( x \right) = 2{\left( {x + 3} \right)^2} - 8\)
- \(g\left( x \right) = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\)
- \(h\left( x \right) = {x^2} + 4\)
Munozarani ko'rsatish
Xo'sh, bularning barchasida biz kerakli nuqtalar va grafikni topish uchun yuqorida keltirilgan jarayondan o'tamiz.
a \(f\left( x \right) = 2{\left( {x + 3} \right)^2} - 8\) Yechim
Birinchidan, biz tepalikni topishimiz kerak. Biroq, biz belgilar bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Comparing our equation to the form above we see that we must have \(h = - 3\) and \(k = - 8\) since that is the only way to get the correct signs in our function. Demak, bu parabolaning uchi,
\[\left( { - 3, - 8} \right)\]Endi \(y\) kesishuvini topamiz. Bu funksiyani tezkor baholashdan boshqa narsa emas.
\[f\left( 0 \right) = 2{\left( {0 + 3} \right)^2} - 8 = 2\left( 9 \right) - 8 = 10\hspace{0.25in}y - {\mbox{intercept : }}\left( {{\mbox{0,10}}} \right)\]Keyinchalik, biz \(x\)-kesishmalarini topishimiz kerak. Bu biz tenglamani echishimiz kerakligini anglatadi. Biroq, buni qilishdan oldin, biz tenglamani echishni boshlashdan oldin bizda mavjud yoki yo'qligini aniqlay olamiz.
Bu holda bizda \(a = 2\) bor, bu ijobiy va shuning uchun biz parabola ochilishini bilamiz. Shuningdek, cho'qqi \(x\) o'qi ostidagi nuqtadir. Shunday qilib, biz bilamizki, parabola \(x\) o'qi ostida kamida bir necha nuqtaga ega bo'ladi va u ochiladi. Shuning uchun, parabola bir marta ochila boshlagach, u ochilishda davom etadi, biz \(x\) o'qini kesib o'tishimiz kerak bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bu parabola uchun \(x\)-kesishmalar mavjud.
Ularni topish uchun quyidagi tenglamani yechishimiz kerak.
\[0 = 2{\left( {x + 3} \right)^2} - 8\]Biz yechayotganimizda shunga o'xshash tenglamalarni yechamiz kvadrat tenglamalar Umid qilamanki, ularni qanday qilishni eslaysiz.
\[\begin{align*}2{\left( {x + 3} \right)^2} & = 8\\ {\left( {x + 3} \right)^2} & = 4\\ x + 3 & = \pm \sqrt 4 = \pm 2\\ x & = - 3 \pm 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 1,\,\,x = - 5\end{align*}\]Ikki x-kesishmalar keyin,
\[\left( { - 5,0} \right)\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\left( { - 1,0} \right)\]Endi, bu nuqtada biz cho'qqining har ikki tomonida ochkolarni oldik, shuning uchun biz nuqtalarni topishni rasman tugatdik. Biroq, keling, \(y\)-kesishmasi va simmetriya o'qi yordamida ikkinchi nuqtani qanday topish haqida bir oz gaplashaylik, chunki oxir-oqibat buni qilishimiz kerak bo'ladi.
Birinchidan, \(y\)-kesishmasi \(x\) koordinatasi 0 ga, cho'qqi esa \(x\) koordinatasiga -3 ga ega ekanligiga e'tibor bering. Bu shuni anglatadiki, \(y\)-kesishmasi simmetriya o'qining o'ng tomonida 3 masofada joylashgan, chunki u tepadan to'g'ri yuqoriga siljiydi.
Endi grafikning chap qismi grafikning o'ng qismining oyna tasviri bo'ladi. Demak, \(y = 10\) da simmetriya o‘qidan 3 o‘ng tomonda bo‘lgan nuqta mavjud bo‘lgani uchun \(y = 10\) da simmetriya o‘qining chap tomonida 3 masofada joylashgan nuqta ham bo‘lishi kerak.
Demak, cho'qqining \(x\) koordinatasi -3 bo'lgani uchun va bu yangi nuqta chapdan 3 masofada bo'lgani uchun uning \(x\) koordinatasi -6 bo'lishi kerak. Ushbu yangi nuqtaning koordinatalari \(\left( { - 6,10} \right)\). Buni funksiyani \(x = - 6\) da baholash orqali tekshirishimiz mumkin. Agar biz to'g'ri bo'lsak, 10 qiymatini olishimiz kerak. Keling, buni tekshirib ko'raylik.
\[f\left( { - 6} \right) = 2{\left( { - 6 + 3} \right)^2} - 8 = 2{\left( { - 3} \right)^2} - 8 = 2\left( 9 \right) - 8 = 10\]Shunday qilib, biz to'g'ri edik. E'tibor bering, biz odatda bu nuqtani tekshirish bilan bezovtalanmaymiz.
OK, parabolaning grafigini chizish vaqti keldi. Mana.
E'tibor bering, biz ushbu grafaga simmetriya o'qini kiritdik va odatda qo'shmaymiz. Buni avvalroq muhokama qilganimiz uchun bu yerga kiritildi.
b \(g\left( x \right) = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\) Yechim
Xo'sh, bu bilan biz unchalik ko'p tafsilotlarni keltirmaymiz. Birinchidan, \(a = - 1\) manfiy ekanligini bilib olaylik va shuning uchun biz bu parabola pastga qarab ochilishini bilamiz.
Keyinchalik, bizning funktsiyamizni umumiy shakl bilan taqqoslab, biz ushbu parabolaning tepasi \(\left( {2, - 1} \right)\) ekanligini ko'ramiz. Shunga qaramay, bu erda to'g'ri belgilarni olish uchun ehtiyot bo'ling!
Endi \(y\)-kesishmasini olamiz.
\[g\left( 0 \right) = - {\left( {0 - 2} \right)^2} - 1 = - {\left( { - 2} \right)^2} - 1 = - 4 - 1 = - 5\]\(y\)-kesishma keyin \(\left( {0, - 5} \right)\) bo'ladi.
Endi bilamizki, cho'qqi \(x\) o'qi ostidan boshlanadi va parabola pastga ochiladi. Bu shuni anglatadiki, \(x\) kesishmalari bo'lishi mumkin emas, chunki \(x\) o'qi tepadan yuqorida va parabola har doim pastga ochiladi. Bu, umuman olganda, mavjud bo'lmagan narsani topish uchun hal qilish jarayonidan o'tish uchun hech qanday sabab yo'qligini anglatadi.
Biroq, baribir buni qilaylik. Bu parabola ochiladigan cho'qqi va yo'nalishdan ular mavjud emasligini darhol tushunmasak, nimaga e'tibor berishimiz kerakligini ko'rsatadi. Biz hal qilishimiz kerak,
\[\begin{align*}0 & = - {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\\ {\left( {x - 2} \right)^2} & = - 1\\ x - 2 & = \pm \,i\\ x & = 2 \pm \,i\end{align*}\]Shunday qilib, biz murakkab echimlarga ega bo'ldik. Murakkab yechimlar har doim \(x\)-kesishmalarni ko'rsatmaydi.
Endi biz cho'qqining har ikki tomonida nuqtalar bo'lishini xohlaymiz, shuning uchun biz ikkinchi nuqtani olish uchun \(y\)-kesishmasi va simmetriya o'qidan foydalanamiz. \(y\)-kesish simmetriya o'qining chap tomonida ikkiga teng masofa bo'lib, \(y = - 5\) da joylashgan va shuning uchun bir xil \(y\) qiymatida simmetriya o'qining o'ng tomonida faqat 2 masofada ikkinchi nuqta bo'lishi kerak. Bu nuqtaning koordinatalari \(\left( {4, - 5} \right)\) bo'lishi kerak.
Mana bu parabolaning eskizi.
c \(h\left( x \right) = {x^2} + 4\) Yechim
Bu aslida grafik qilish uchun juda oddiy. Biz birinchi navbatda yuqoriga qarab ochilishini sezamiz.
Endi, cho'qqi, ehtimol, ko'pchilik talabalar bu erda muammoga duch keladigan nuqtadir. Bizda bor ekan x2 o'z-o'zidan bu bizda \(h = 0\) bo'lishi kerakligini anglatadi va shuning uchun cho'qqi \(\left( {0,4} \right)\).
E'tibor bering, bu parabola bilan hech qanday \(x\)-kesishlari bo'lmaydi, chunki cho'qqi \(x\) o'qi ustida joylashgan va parabola yuqoriga ochiladi.
Keyinchalik, \(y\)-kesishmasi,
\[h\left( 0 \right) = {\left( 0 \right)^2} + 4 = 4\hspace{0.25in}y - {\mbox{intercept : }}\left( {0,4} \right)\]\(y\)-kesish nuqtasi cho'qqi bilan bir xil. Bu vaqti-vaqti bilan sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda, biz bu haqda tashvishlanmasligimiz kerak. Garchi bu biz bu safar cho'qqining narigi tomonida ikkinchi nuqtani topish uchun \(y\) kesishmasidan foydalana olmasligimizni anglatadi. Darhaqiqat, bizda cho'qqi bo'lmagan nuqta hali ham yo'q!
Shunday qilib, biz cho'qqining har ikki tomonida nuqta topishimiz kerak. Bunday holda, funktsiya unchalik yomon emasligi sababli, biz bir nechta nuqtalarni qo'shamiz.
\[\begin{align*}h\left( { - 2} \right) & = {\left( { - 2} \right)^2} + 4 = 8\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( { - 2,8} \right)\\ h\left( 2 \right) & = {\left( 2 \right)^2} + 4 = 8\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {2,8} \right)\end{align*}\]E'tibor bering, agar xohlasak, simmetriya o'qi yordamida ikkinchi nuqtani olishimiz mumkin edi.
Bu erda grafikning eskizi.
Xo'sh, biz parabolaning ushbu shakliga ba'zi misollarni ko'rdik. Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, ko'pchilik parabolalar bu shaklda berilmaydi. Shunday qilib, biz umumiy shakldagi parabolaning grafigini qanday ko'rib chiqishimiz kerak.
\[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\]Ushbu shaklda \(a\) belgisi parabola oldingi misollar to'plamida bo'lgani kabi yuqoriga yoki pastga ochilishini yoki ochilmasligini aniqlaydi. Oldingi shakldan farqli o'laroq, bu safar biz cho'qqini bepul olmaymiz. Biroq, uni topish oson bo'ladi. Bu yerda umumiy shakldagi parabolaning tepasi.
\[\left( { - \frac{b}{{2a}},f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right)\]Tepani olish uchun biz \(x\) koordinatasini \(a\) va \(b\) dan hisoblashimiz va keyin \(y\) koordinatasini olish uchun uni funktsiyaga ulashimiz kerak. Oldingi shakl kabi oddiy emas, lekin baribir unchalik qiyin emas.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(y\)-interceptni ushbu shakldan bepul olamiz. \(y\)-kesishmasi:
\[f\left( 0 \right) = a{\left( 0 \right)^2} + b\left( 0 \right) + c = c\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( {0,c} \right)\]shuning uchun biz bu uchun hech qanday hisob-kitob qilishimiz shart emas.
Keling, ba'zi parabolalar grafigini tuzamiz.
- \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 5\)
- \(f\left( x \right) = - {x^2} + 8x\)
- \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4\)
a \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 5\) Yechim
Ushbu parabola uchun bizda \(a = 3\), \(b = - 6\) va \(c = 5\) mavjud. Ushbu qiymatlarni aniqlashda belgilarga ehtiyot bo'lishingizga ishonch hosil qiling. Shunday qilib, biz \(a\) ijobiy bo'lgani uchun bu parabola ochilishini bilamiz.
Bu erda vertex uchun baholashlar mavjud.
\[\begin{align*}x & = - \frac{{ - 6}}{{2\left( 3 \right)}} = - \frac{{ - 6}}{6} = 1\\ y & = g\left( 1 \right) = 3{\left( 1 \right)^2} - 6\left( 1 \right) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2\end{align*}\]Keyinchalik cho'qqi \(\left( {1,2} \right)\) bo'ladi. Endi biz ushbu parabola uchun \(x\) kesishmalari bo'lmasligini ham bilamiz, chunki cho'qqisi \(x\) o'qi ustida joylashgan va u yuqoriga ochiladi.
\(y\)-kesishmasi \(\left( {0,5} \right)\) va simmetriya o'qidan foydalangan holda biz \(\left( {2,5} \right)\) ham parabolada bo'lishi kerakligini bilamiz.
Mana parabolaning eskizi.
b \(f\left( x \right) = - {x^2} + 8x\) Yechim
Bu holda \(a = - 1\), \(b = 8\) va \(c = 0\). Bulardan biz parabola pastga qarab ochilishini ko'ramiz, chunki \(a\) manfiydir. Bu erda vertex baholashlari.
\[\begin{align*}x & = - \frac{8}{{2\left( { - 1} \right)}} = - \frac{8}{{ - 2}} = 4\\ y & = f\left( 4 \right) = - {\left( 4 \right)^2} + 8\left( 4 \right) = 16\end{align*}\]Shunday qilib, cho'qqi \(\left( {4,16} \right)\) va biz bu safar \(x\)-kesishmalar bo'lishini ham ko'rishimiz mumkin. Darhaqiqat, keling, ularni hozir topamiz.
\[\begin{align*}0 & = - {x^2} + 8x\\ 0 & = x\left( { - x + 8} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 0,\,\,x = 8\end{align*}\]Shunday qilib, \(x\)-kesishmalar \(\left( {0,0} \right)\) va \(\left( {8,0} \right)\). E'tibor bering, \(\left( {0,0} \right)\) ham \(y\) kesishuvidir. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.
Ushbu nuqtada biz grafikni chizish uchun kerak bo'lgan barcha ma'lumotlarni oldik, mana bu,
c \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4\) Yechim
Ushbu yakuniy qismda bizda \(a = 1\), \(b = 4\) va \(c = 4\) mavjud. Shunday qilib, bu parabola ochiladi.
Bu erda vertex baholashlari.
\[\begin{align*}x = - \frac{4}{{2\left( 1 \right)}} = - \frac{4}{2} = - 2\\ & y = f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 4\left( { - 2} \right) + 4 = 0\end{align*}\]Shunday qilib, cho'qqi \(\left( { - 2,0} \right)\). E'tibor bering, bu nuqtaning \(y\) koordinatasi nolga teng bo'lgani uchun u ham \(x\)-kesishmasidir. Aslida, bu grafik uchun yagona \(x\)-kesishma bo'ladi. Agar cho'qqi, bu holda, grafikdagi eng past nuqta ekanligini va shuning uchun grafik boshqa joyda \(x\) o'qiga tegishi mumkin emasligini hisobga olsak, bu mantiqiy bo'ladi.
Ushbu parabolada faqat bitta \(x\)-kesishma borligini, shu nuqtaga qadar boshqa misollarda qilganimizdek, hal qilish orqali tekshirish mumkin.
\[\begin{align*}0 = {x^2} + 4x + 4\\ & 0 = {\left( {x + 2} \right)^2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = - 2\end{align*}\]Albatta, faqat bitta \(x\) kesishuvi mavjud. E'tibor bering, bu biz \(y\) kesishmasidan ikkinchi nuqtani olish uchun simmetriya o'qidan foydalanishimiz kerakligini anglatadi.
Bu haqda gapiradigan bo'lsak, bu holda \(y\)-kesishmasi \(\left( {0,4} \right)\) hisoblanadi. Bu ikkinchi nuqta \(\left( { - 4,4} \right)\) ekanligini anglatadi.
Bu erda grafikning eskizi.
Ushbu bo'limda yakuniy mavzu sifatida biz parabolani umumiy shaklda olish va uni shaklga aylantirish haqida qisqacha gapirishimiz kerak.
\[f\left( x \right) = a{\left( {x - h} \right)^2} + k\]Bu o'zgartirilgandan foydalanadi kvadratni to'ldirish jarayon. Buni misol bilan qilish yaxshidir.
- \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 12x + 3\)
- \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x - 1\)
Munozarani ko'rsatish
Xo'sh, yuqorida ta'kidlaganimizdek, biz bu erda maydonni tugatmoqchimiz. Biroq, bu jarayon biz hozirgacha ko'rgan boshqa vaqtlardan biroz farq qiladi.
a \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 12x + 3\) Yechim
Bu erda eslashimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, bizda 1 koeffitsienti bo'lishi kerak x2 kvadratni bajarish uchun muddat. Shunday qilib, buni olish uchun biz birinchi navbatda koeffitsientni hisobga olamiz x2 butun o'ng tomondan atama quyidagicha.
\[f\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 6x + \frac{3}{2}} \right)\]E'tibor bering, bu ko'pincha biz hal qilishimiz kerak bo'lgan muammoga kasrlarni qo'yadi. Shuni ham yodda tutingki, agar bizda 1 koeffitsientiga ega bo'lish omadli bo'lsa x2 keyin biz bu qadamni bajarishimiz shart emas.
Endi bu jarayon biz ko'rganimizdan shu paytgacha farq qila boshlaydi. Biz hali ham \(x\) koeffitsientining yarmini olamiz va uni kvadratga aylantiramiz. Biroq, buni ikkala tomonga qo'shish o'rniga biz u bilan quyidagilarni qilamiz.
\[{\left( { - \frac{6}{2}} \right)^2} = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\] \[f\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 6x + 9 - 9 + \frac{3}{2}} \right)\]Bu miqdorni ko'rsatilganidek qavs ichiga qo'shamiz va ayiramiz. E'tibor bering, biz bu erda qilayotgan barcha narsa 9-9 = 0 dan boshlab nolga qo'shishdir! Bu erda keltirilgan tartib muhim. Biz avval qo'shib, keyin ayirishimiz KERAK.
Keyingi qadam dastlabki uchta shartni faktorlarga ajratish va oxirgi ikkitasini quyidagicha birlashtirishdir.
\[f\left( x \right) = 2\left( {{{\left( {x - 3} \right)}^2} - \frac{{15}}{2}} \right)\]Yakuniy qadam sifatida biz 2 ni orqaga ko'paytiramiz.
\[f\left( x \right) = 2{\left( {x - 3} \right)^2} - 15\]Va biz boramiz.
b \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x - 1\) Yechim
Bu erda ehtiyot bo'ling. Bizda 1 koeffitsienti yo'q x2 muddatli, bizda -1 koeffitsienti bor. Shunday qilib, jarayon bundan tashqari bir xil, shuning uchun biz bu safar batafsil ma'lumot bermaymiz.
\[\begin{align*}f\left( x \right) & = - \left( {{x^2} - 10x + 1} \right)\hspace{0.25in}{\left( { - \frac{{10}}{2}} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25\\ & = - \left( {{x^2} - 10x + 25 - 25 + 1} \right)\\ & = - \left( {{{\left( {x - 5} \right)}^2} - 24} \right)\\ & = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 24\end{align*}\]