1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari
4. \(4x + 1 = \left( {12x + 3} \right){{\bf{e}}^{{x^2} - 2}}\) ning barcha yechimlarini toping. Agar yechimlar bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.
Yechim
Bu birinchi qarashda ko'rinmasligi mumkin, ammo ba'zi ish bilan biz ushbu tenglamada ozgina ko'paytuvchilarga ajratish qilishimiz mumkin. Buning uchun avval hamma narsani bir tomonga siljiting, so'ngra ko'paytuvchilarga ajratish biroz aniqroq bo'lishi mumkin.
\[\begin{align*}4x + 1 - \left( {12x + 3} \right){{\bf{e}}^{{x^2} - 2}} & = 0\\ \left( {4x + 1} \right) - 3\left( {4x + 1} \right){{\bf{e}}^{{x^2} - 2}} & = 0\\ \left( {4x + 1} \right)\left( {1 - 3{{\bf{e}}^{{x^2} - 2}}} \right) & = 0\end{align*}\]E'tibor bering, ikkinchi bosqichda biz keyingi bosqichda ko'paytuvchilarga ajratishni biroz ravshanroq qilish uchun birinchi ikkita atama atrofida qavs qo'yamiz. Amalda buni qilish shart emas.
\(4x + 1\) ni ikkala shartdan ham bekor qilmaslik uchun ehtiyot bo'ling. Tenglamalarni echishda siz faqat nolga teng bo'lmasligini bilsangizgina biror narsani bekor qilishingiz mumkin. Agar atama nolga teng bo'lsa va uni bekor qilsangiz, siz echimlarni o'tkazib yuborasiz va bu erda ham shunday bo'ladi.
2-qadam
Endi bizda nolga teng atamalar mahsuloti bor, shuning uchun biz bilamiz,
\[4x + 1 = 0\hspace{0.5in}{\rm{OR}}\hspace{0.5in}1 - 3{{\bf{e}}^{{x^2} - 2}} = 0\]Birinchi tenglamadan biz tezda bitta yechimga, \(x = - \frac{1}{4}\) ga erishishimiz mumkin va yana shuni ta'kidlaymizki, agar biz \(4x + 1\) ni boshida bekor qilganimizda, biz bu yechimni o'tkazib yuborgan bo'lardik. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa eksponensialni o'z ichiga olgan tenglamani yechishdir.
3-qadam
Endi biz ko'rsatkichli tenglamani ushbu bo'limdagi birinchi ikkita masalani hal qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{{x^2} - 2}} & = \frac{1}{3}\\ \ln \left( {{{\bf{e}}^{{x^2} - 2}}} \right) & = \ln \left( {\frac{1}{3}} \right)\\ {x^2} - 2 & = \ln \left( {\frac{1}{3}} \right)\\ {x^2} & = 2 + \ln \left( {\frac{1}{3}} \right)\\ x & = { \pm \sqrt {2 + \ln \left( {\frac{1}{3}} \right)} = \pm 0.9494}\end{align*}\]Sizning afzalliklaringizga qarab, aniq yoki o'nlik echimdan foydalanish mumkin.
4-qadam
Demak, bu tenglamaning quyidagi yechimlari mavjud.
\[ \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{x = -\frac{1}{4} \hspace{0.25in} {\rm{OR }} \hspace{0.25in} x = \pm \sqrt {2 + \ln \left( {\frac{1}{3}} \right)} = \pm 0.9494} \]