Asosiy tarkibga o'tish

1.9-bo'lim : Eksponensial va logarifm tenglamalari

1-17-masalalar uchun berilgan tenglamaning barcha yechimlarini toping. Agar tenglamaning yechimi bo'lmasa, sababini aniq tushuntiring.

  1. \(15 = 12 + 5{{\bf{e}}^{10\,w - 7}}\)
  2. \(4{{\bf{e}}^{2\,x + {x^{\,2}}}} - 7 = 2\)
  3. \(8 + 3{{\bf{e}}^{4 - 9\,z}} = 1\)
  4. \(4{t^2} - 3{t^2}{{\bf{e}}^{2 - t}} = 0\)
  5. \(7x + 16x{{\bf{e}}^{{x^{\,3}} - 5x}} = 0\)
  6. \(3{{\bf{e}}^{7\,t}} - 12{{\bf{e}}^{8\,t + 5}} = 0\)
  7. \(2y{{\bf{e}}^{{y^{\,2}}}} - 7y{{\bf{e}}^{1 - 5\,y}} = 0\)
  8. \(16 + 4\ln \left( {x + 2} \right) = 7\)
  9. \(\displaystyle 3 - 11\ln \left( {\frac{z}{{3 - z}}} \right) = 1\)
  10. \(2\log \left( w \right) - \log \left( {3w + 7} \right) = 1\)
  11. \(\ln \left( {3x + 1} \right) - \ln \left( x \right) = - 2\)
  12. \(t\log \left( {6t + 1} \right) - 3{t^2}\log \left( {6t + 1} \right) = 0\)
  13. \(2\log \left( z \right) - \log \left( {{z^2} + 4z + 1} \right) = 0\)
  14. \(\ln \left( x \right) + \ln \left( {x - 2} \right) = 3\)
  15. \(11 - {5^{9w - 1}} = 3\)
  16. \(12 + {20^{7 - 2t}} = 50\)
  17. \(1 + {3^{{z^2} - 2}} = 5\)


Murakkab foiz. Agar biz \(P\) dollarini \(t\) yillar davomida \(r\) (standart foizdan farqli o'laroq o'nli kasr sifatida yozilgan) stavkasida foiz oladigan hisob raqamiga qo'ysak,

  1. Agar foiz yiliga \(m\) marta qo'shilsa, bizda, \[A = P{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{t\,m}}\]

    dollarga \(t\) yillardan keyin.

  2. agar foiz doimiy ravishda qo'shilsa, bizda shunday bo'ladi, \[A = P{{\bf{e}}^{r\,t}}\]

    dollarga \(t\) yildan keyin.

  1. Bizda 2500 dollar sarmoya va 80 oy bor. Yillik foiz stavkasi 9% bo'lgan va foizlar qo'shilgan hisob raqamiga pul qo'ysak, bizda qancha pul bo'ladi.
    1. har chorakda
    2. oylik
    3. doimiy ravishda
  2. Biz 60 000 dollardan boshlaymiz va uni yillik foiz stavkasi 7,5% bo'lgan hisobga qo'yamiz. Agar foizlar qo'shilgan bo'lsa, hisobdagi pul 100 000 dollarga yetguncha qancha vaqt kerak bo'ladi
    1. har chorakda
    2. oylik
    3. doimiy ravishda
  3. Aytaylik, yillik foiz stavkasi 10,25% bo'lgan hisob raqamiga pul qo'yamiz. Agar foiz qo'shilgan bo'lsa, bizning pulimizni uch marta oshirish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi
    1. yiliga ikki marta
    2. Yiliga 8 marta
    3. doimiy ravishda


Eksponensial o'sish/emirilish. Dunyodagi ko'plab miqdorlarni eksponensial o'sish/emirilish tenglamasi bilan modellashtirish mumkin (hech bo'lmaganda qisqa vaqt).

\[Q = {Q_0}{{\bf{e}}^{k\,t}}\]

Agar \(k\) ijobiy bo'lsa, biz eksponensial o'sishni olamiz va \(k\) manfiy bo'lsa, biz eksponensial yemirilishga ega bo'lamiz.

  1. Bakteriyalar populyatsiyasida dastlab 90 000 ta bakteriya mavjud bo'lsa, 2 hafta ichida 200 000 ta bakteriya mavjud bo'ladi.
    1. Ushbu populyatsiya uchun eksponensial o'sish tenglamasini aniqlang.
    2. Aholining dastlabki soni 90 000 dan 150 000 gacha ko'payishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
  2. Bizda dastlab 2 kg gramm radioaktiv element bor va 7250 yildan keyin 1,5 kg qoladi.
    1. Ushbu element uchun eksponensial yemirilish tenglamasini aniqlang.
    2. Elementning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
    3. 250 gramm element qolguncha qancha vaqt ketadi?
  3. Muayyan radioaktiv element uchun eksponensial yemirilish tenglamasidagi \(k\) qiymati \(k = 0.000825\) tomonidan berilgan.
    1. Elementning to'rtdan bir qismi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
    2. Elementning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?
    3. Elementning 90% parchalanishi uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?