3-bob: Ikkinchi tartibli differentsial tenglamalar
Oldingi bobda biz birinchi tartibli differensial tenglamalarni ko'rib chiqdik. Ushbu bobda biz ikkinchi tartibli differensial tenglamalarga o'tamiz. Xuddi oxirgi bobda qilganimizdek, biz hal qilishimiz mumkin bo'lgan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning ayrim maxsus holatlarini ko'rib chiqamiz. Biroq, oldingi bobdan farqli o'laroq, biz ko'rib chiqadigan differentsial tenglamalar turlarini yanada cheklashimiz kerak. Bu biz ularni haqiqatan ham hal qila olishimiz uchun talab qilinadi.
Mana, ushbu bobda ko'rib chiqiladigan mavzular ro'yxati.
Asosiy tushunchalar – Ushbu bo'limda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan jarayonni chuqur muhokama qiling, \(ay'' + by' + cy = 0\). Biz xarakterli polinomni olamiz va umumiy yechimni olish uchun Superpozitsiya printsipidan qanday foydalanishni muhokama qilamiz.
Haqiqiy va aniq ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir.
Murakkab ildizlar – Bu boʻlimda bir jinsli, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli koʻphadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) haqiqiy farqli ildizlardir. Shuningdek, biz murakkab ildizlardan bu holda odatda qo'llaniladigan, murakkab sonlarni o'z ichiga olmaydigan standart yechimni olamiz.
Takroriy ildizlar – Bu boʻlimda bir hil, chiziqli, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini muhokama qilamiz, \(ay'' + by' + cy = 0\), bunda xarakterli ko'phadning ildizlari, \(ar^{2} + br + c = 0\) takrorlanadi, ya'ni qo'sh, ildizlar. Bu holda umumiy yechimni olish uchun zarur bo'lgan ikkinchi yechimni olish uchun tartibni qisqartirishdan foydalanamiz.
Buyurtmani qisqartirish - Ushbu bo'limda biz tartibni qisqartirish, bir hil chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun takroriy ildiz holatlarining yechimini olish uchun ishlatiladigan jarayonni batafsilroq muhokama qilamiz. Ushbu bobda doimiy bo'lmagan koeffitsientli differentsial tenglama ko'rib chiqiladigan bir necha martadan biri bo'ladi.
Yechimlarning asosiy to'plami - Ushbu bo'limda biz ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni hal qilishning ba'zi nazariyalarini ko'rib chiqamiz. Biz asosiy yechimlar to'plamini aniqlaymiz va ulardan bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimini olish uchun qanday foydalanish mumkinligini muhokama qilamiz. Shuningdek, biz Wronskianni aniqlaymiz va uning yordamida bir juft yechim asosiy yechimlar to'plami ekanligini aniqlash uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatamiz.
Wronskian haqida ko'proq - Ushbu bo'limda biz oldingi bo'limda kiritilgan Wronskian ikki funktsiyaning chiziqli mustaqil yoki chiziqli bog'liqligini aniqlash uchun qanday ishlatilishini ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz Wronskianni topishning muqobil usulini beramiz.
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz bir hil bo'lmagan differentsial tenglamalarni yechish asoslarini muhokama qilamiz. Biz qo'shimcha va xususiy yechimni aniqlaymiz va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechim shaklini beramiz.
Aniqlanmagan koeffitsientlar – Ushbu bo'limda bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan tanishamiz. Biz usul uchun zarur bo'lgan muayyan yechim shaklini dastlabki taxmin qilish uchun ko'plab ko'rsatmalarni ko'rsatadigan turli xil misollar bilan ishlaymiz.
Parametrlarning o'zgarishi – Ushbu bo'limda biz bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun parametrlarni o'zgartirish usuli bilan tanishamiz. Biz usulni batafsil ko'rib chiqamiz, shuningdek, muayyan echimlarni topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan formulani olamiz.
Mexanik tebranishlar – Ushbu bo'limda biz mexanik tebranishlarni ko'rib chiqamiz. Xususan, biz bahorga ulangan va yuqoriga va pastga harakatlanadigan ob'ektni modellashtiramiz. Shuningdek, biz tizimga damperni kiritish va ob'ektga umumiy tashqi kuchlar ta'sir qilishiga ruxsat beramiz. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu bo'limda mexanik tebranishlarni misol qilib olsak, oddiy belgilarni o'zgartirish (va miqdorlar nimani anglatishini o'zgartirish) buni deyarli har qanday muhandislik sohasiga o'tkazishi mumkin.