5.2-bo'lim: Ko'phadning nollari va ildizlari (zeroes/roots of polynomials)
Ushbu bo'limni ko'phadning ildizi yoki noli nima ekanligiga aniq ta'rif berishdan boshlaymiz. Agar \(P(r) = 0\) bo'lsa, u holda \(x = r\) soni \(P(x)\) ko'phadning ildizi (yoki noli) deb ataladi. Boshqacha aytganda, \(x = r\) — bu \(P(x) = 0\) algebraik tenglamasining yechimidir.
Keyingilarda biz berilgan ko'phadlarning barcha ildizlarini topishimiz kerak bo'ladi. Shu sababli, bunga kirishishdan oldin ko'phad ildizlariga oid muhim fundamental qonuniyatlarni o'rganib olishimiz zarur.
\(P(x)\) ning nollarini topish — amalda \(P(x) = 0\) tenglamani yechishdan boshqa narsa emas. Kvadrat ko'phadlar uchun buni qanday bajarishni allaqachon bilamiz. Keling, tushunchalarni eslash uchun ikkita kvadrat ko'phadni qaraylik:
Birinchidan, \(P(x) = x^2 + 2x - 15\) ning nollarini topaylik. Buning uchun ko'paytuvchilarga ajratamiz:
\[{x^2} + 2x - 15 = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \implies x = -5,\,\, x = 3\]Demak, ushbu ikkinchi darajali ko'phad ikkita turli ildizga ega.
Endi \(P(x) = x^2 - 14x + 49\) ko'phadni qaraylik:
\[{x^2} - 14x + 49 = {\left( {x - 7} \right)^2} = 0 \implies x = 7\]Ko'rib turganingizdek, bu yerda bitta ildiz hosil bo'ldi. Bunday ildiz karrali (ikki karrali) ildiz (double root) deb ataladi.
Biz bularning har birini ko'paytuvchilarga ajratish va ko'paytuvchilardan kamida biri nolga teng bo'lishi qoidasiga (zero factor property) tayanib yechdik. Ushbu qoidani istalgan \(n\) ta ko'paytuvchi uchun umumlashtirish mumkin: agar \(n\) ta ko'paytuvchi ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, ularning kamida bittasi albatta nolga teng bo'lishi shart.
- \(P\left( x \right) = 5{x^5} - 20{x^4} + 5{x^3} + 50{x^2} - 20x - 40 = 5{\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\)
- \(Q\left( x \right) = {x^8} - 4{x^7} - 18{x^6} + 108{x^5} - 135{x^4} = {x^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {x + 5} \right)\)
- \(R\left( x \right) = {x^7} + 10{x^6} + 27{x^5} - 57{x^3} - 30{x^2} + 29x + 20 = {\left( {x + 1} \right)^3}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 5} \right)\left( {x + 4} \right)\)
a \(P(x) = 5(x+1)^2(x-2)^3\) Yechim
Oldindagi 5 o'zgarmas son bo'lib, nolga aylanmaydi. Qolgan ikkita ko'paytuvchidan ko'phad \(x = -1\) va \(x = 2\) da nolga aylanadi. Demak, ildizlar:
\[x = -1\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = 2\]b \(Q(x) = x^4(x-3)^3(x+5)\) Yechim
Oldindagi \(x^4\) ko'paytuvchi uchinchi ildizni (\(x=0\)) beradi. Demak, ildizlar:
\[x = -5,\,\,\, x = 0,\,\,\, \text{va}\,\,\, x = 3\]c \(R(x) = (x+1)^3(x-1)^2(x+5)(x+4)\) Yechim
To'rtta chiziqli ko'paytuvchidan to'rtta ildiz hosil bo'ladi:
\[x = -5,\,\,\, x = -4,\,\,\, x = -1,\,\,\, \text{va}\,\,\, x = 1\]Ildizning karraliligi (Multiplicity)
Agar \(r\) soni ko'phadning ildizi bo'lsa va uni hosil qilgan chiziqli ko'paytuvchining darajasi \(k\) bo'lsa, u holda \(r\) ildiz \(k\)-karrali ildiz (multiplicity \(k\)) deyiladi. 1-karrali ildizlar odatda oddiy (sodda) ildizlar (simple zeroes) deb ataladi.
Masalan, \(P(x) = (x - 5)^2\) ko'phadda \(x = 5\) ildizi 2-karrali ildizdir, chunki \((x - 5)\) had ko'paytmada 2 marta qatnashadi.
Yechim
a) \(P(x) = (x+5)(x-3)\): ikkita oddiy (1-karrali) ildiz: \(x = -5, x = 3\).
b) \(P(x) = (x-7)^2\): \(x = 7\) — 2-karrali ildiz.
c) \(P(x) = 5(x+1)^2(x-2)^3\): \(x = -1\) — 2-karrali ildiz, \(x = 2\) — 3-karrali ildiz.
d) \(Q(x) = x^4(x-3)^3(x+5)\): \(x = -5\) — oddiy (1-karrali), \(x = 0\) — 4-karrali, \(x = 3\) — 3-karrali ildiz.
e) \(R(x) = (x+1)^3(x-1)^2(x+5)(x+4)\): \(x = -5\) va \(x = -4\) — oddiy (1-karrali), \(x = 1\) — 2-karrali, \(x = -1\) — 3-karrali ildiz.
Algebraning asosiy teoremasi (Fundamental Theorem of Algebra)
Agar \(P(x)\) — \(n\)-darajali ko'phad bo'lsa, u holda \(P(x)\) o'zining karraliliklarini qo'shib hisoblaganda aynan \(n\) ta ildizga ega bo'ladi (ular orasida kompleks ildizlar ham bo'lishi mumkin).
Ushbu teorema barcha ildizlarning karraliliklari yig'indisi ko'phadning darajasiga teng bo'lishini bildiradi. Bu fakt kelgusida ko'phadning barcha ildizlarini topishda qachon to'xtash kerakligini (ya'ni barcha ildizlar topib bo'linganligini) aniq bilish uchun nihoyatda qimmatlidir.
Bezu teoremasi (The Factor Theorem)
\(P(x)\) ko'phad uchun quyidagi ikki tasdiq o'zaro teng kuchlidir:
- Agar \(r\) soni \(P(x)\) ning ildizi bo'lsa, u holda \(x - r\) ifoda \(P(x)\) ning ko'paytuvchisi (bo'luvchisi) bo'ladi.
- Agar \(x - r\) ifoda \(P(x)\) ning ko'paytuvchisi bo'lsa, u holda \(r\) soni \(P(x)\) ning ildizi bo'ladi.
1-Xulosa
Agar \(P(x)\) — \(n\)-darajali ko'phad va \(r\) uning ildizi bo'lsa, \(P(x)\) ni quyidagicha yozish mumkin:
\[P\left( x \right) = \left( {x - r} \right)Q\left( x \right)\]bu yerda \(Q(x)\) — darajasi \(n-1\) bo'lgan ko'phaddir. \(Q(x)\) ko'phad \(P(x)\) ni \(x - r\) ga bo'lish orqali topiladi.
2-Xulosa
Agar \(P(x) = (x - r)Q(x)\) bo'lsa, \(Q(x)\) ning har qanday noli (ildizi) ayni paytda \(P(x)\) ning ham noli (ildizi) bo'ladi.
Yechim
Algebraning asosiy teoremasiga ko'ra, uchinchi darajali ko'phad jami 3 ta ildizga ega bo'lishi kerak. \(x = 2\) ildiz ekani ma'lum bo'lsa, 1-xulosaga binoan \(P(x) = (x - 2)Q(x)\) deb yozishimiz mumkin. \(Q(x)\) kvadrat ko'phadni Gorner sxemasi (synthetic division) yordamida topamiz:
\[\begin{align*}\left. {\underline {\,2 \,}}\! \right| & \,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}1&{\,\,2}&{ - 5}&{ - 6}\end{array}\\ & \,\,\,\,\,\,\underline {\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{}&2&{\,\,\,\,8}&{\,\,\,\,\,6}\end{array}} \\ & \,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{l}}{\,1}&{4}&{\,\,3}&{\,\,\,\,\,0}\end{array}\end{align*}\]Qoldiq nolga teng bo'ldi, demak bo'linma:
\[Q(x) = x^2 + 4x + 3\]Endi ushbu kvadrat ko'phadning nollarini topamiz:
\[{x^2} + 4x + 3 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \implies x = -3,\,\, x = -1\]Demak, \(P(x)\) ko'phadning barcha uchta ildizi: \(x = 2\), \(x = -1\) va \(x = -3\) dir.
Shuningdek, mazkur ko'phadni to'liq ko'paytuvchilarga ajratilgan ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:
\[P(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 1)\]