3.6-bo'lim: Logarifm tenglamalarini yechish
Logarifm tenglamalarini yechish ko‘rsatkichli tenglamalarga o‘xshaydi. Birinchidan, biz logarifmni bir tomondan o'z-o'zidan bir koeffitsient bilan ajratamiz. Keyin biz 4-sonli mulkdan foydalanamiz Logarifm xossalari tegishli \(b\) tanloviga ega bo'lim. Tegishli \(b\) ni tanlashda biz \(b\) logarifm bazasiga mos kelishini unutmasligimiz kerak!
Quyidagi tenglamalarning har birini yeching.
- \(4\log \left( {1 - 5x} \right) = 2\)
Yechim
Birinchi qadam - 4 ga bo'lish, keyin biz eksponensial tenglamaga o'tamiz.
\[\begin{align*}\log \left( {1 - 5x} \right) & = \frac{1}{2}\\ {10^{\log \left( {1 - 5x} \right)}} & = {10^{\frac{1}{2}}}\\ 1 - 5x & = {10^{\frac{1}{2}}}\end{align*}\]E'tibor bering, bizda asl tenglamada umumiy jurnal bo'lganligi sababli, biz eksponensial tenglamada 10 ta asosdan foydalanishga majbur bo'ldik. Tenglamani soddalashtirish uchun 4-xususiyatidan foydalanganimizdan so'ng, biz yechish mumkin bo'lgan tenglamaga ega bo'lamiz.
\[\begin{align*}1 - 5x & = {10^{\frac{1}{2}}}\\ - 5x & = - 1 + {10^{\frac{1}{2}}}\\ x & = - \frac{1}{5}\left( { - 1 + {{10}^{\frac{1}{2}}}} \right)\\ x & = -0.4324555320\end{align*}\]Endi, eksponensial tenglamalar bilan biz shu nuqtada bajardik, ammo bu holda bizda biroz ko'proq ish bor. Logarifm sohasiga javobni eslang (9-masalaning javobi Logarifm xossalari bo'lim). Biz manfiy son yoki nolning logarifmini qabul qila olmaymiz.
Bu \(x = -0.4324555320\) manfiy raqam bo'lgani uchungina yechim bo'la olmaydi degani emas! Bizni so'rashimiz kerak bo'lgan savol: bu yechim biz uni asl tenglamadagi logarifmlarga ulaganimizda manfiy son (yoki nol) hosil qiladimi? Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, \(x = -0.4324555320\) ni unga ulab olsak, \(1 - 5x\) manfiymi yoki nolga tengmi? Shubhasiz, (umid qilamanki…) \(x = -0.4324555320\)-ni ulaganimizda \(1 - 5x\) ijobiy bo'ladi.
Shuning uchun, buning yechimi \(x = - 0.4324555320\).
E'tibor bering, logarifm tenglamalari uchun hech qanday yechim bo'lmasligi mumkin, shuning uchun agar bu sodir bo'lsa, hayajonlanmang!
- \(3 + 2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) = - 4\)
Yechim
Bu safar dastlab biroz ko'proq soddalashtirish ishlarini bajarish kerak, ammo bu juda yomon emas.
\[\begin{align*}2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = - 7\\ \ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = - \frac{7}{2}\\ {{\bf{e}}^{\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right)}} & = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\\ \frac{x}{7} + 3 & = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\end{align*}\]Endi buni hal qiling.
\[\begin{align*}\frac{x}{7} + 3 & = {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\\ \frac{x}{7} & = - 3 + {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}\\ x & = 7\left( { - 3 + {{\bf{e}}^{ - \frac{7}{2}}}} \right)\\ x & = {\rm{ - 20}}.78861832\end{align*}\]\(\frac{x}{7} + 3\) unga \(x = - 20.78861832\) ulanganda ijobiy bo'lishini tekshirishni sizga qoldiraman va shuning uchun biz tenglamaning yechimini topdik.
- \(2\ln \left( {\sqrt x } \right) - \ln \left( {1 - x} \right) = 2\)
Yechim
Bu avvalgi ikkitasidan bir oz farq qiladi. Muammoda ikkita logarifm mavjud. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - Xususiyatlar 5 - 7 dan foydalanish Logarifm xossalari narsalarni bitta logarifmga soddalashtirish uchun bo'lim, keyin biz avvalgi ikkita muammoda bo'lgani kabi davom etishimiz mumkin.
Birinchi qadam, ikkala jurnalning oldida bitta koeffitsientni olishdir.
\[\begin{align*}2\ln \left( {\sqrt x } \right) - \ln \left( {1 - x} \right) & = 2\\ \ln \left( x \right) - \ln \left( {1 - x} \right) & = 2\end{align*}\]Endi quyidagi jurnalga birlashtirish uchun Logarifm xususiyatlari bo'limidagi 6-xususiyatdan foydalaning.
\[\ln \left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right) = 2\]Nihoyat, ikkala tomonni eksponentatsiya qiling va hal qiling.
\[\begin{align*}\frac{x}{{1 - x}} & = {{\bf{e}}^2}\\ x & = {{\bf{e}}^2}\left( {1 - x} \right)\\ x & = {{\bf{e}}^2} - {{\bf{e}}^2}x\\ x\left( {1 + {{\bf{e}}^2}} \right) & = {{\bf{e}}^2}\\ x & = \frac{{{{\bf{e}}^2}}}{{1 + {{\bf{e}}^2}}}\\ x & = 0.8807970780\end{align*}\]Va nihoyat, biz \(x = 0.8807970780\) yechimi ikkala asl logarifmda ham manfiy sonlarni keltirmasligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bu yo'q, shuning uchun bu aslida bu muammoni hal qilishimizdir.
- \(\log x + \log \left( {x - 3} \right) = 1\)
Yechim
Bu oxirgisi bilan bir xil, bundan mustasno biz soddalashtirish uchun Property 5 dan foydalanamiz.
\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x - 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x - 3} \right)} \right) & = 1\\ {10^{\log \left( {{x^2} - 3x} \right)}} & = {10^1}\\ {x^2} - 3x & = 10\\ {x^2} - 3x - 10 & = 0\\ \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, potentsial echimlar \(x = 5\) va \(x = - 2\). E'tibor bering, agar biz \(x = - 2\)-ni ikkita asl logarifmdan biriga ulab olsak, biz salbiy sonlarni olamiz, shuning uchun bu yechim bo'lmaydi. Biroq, biz \(x = 5\) dan foydalanishimiz mumkin.
Shuning uchun bu tenglamaning yechimi \(x = 5\) hisoblanadi.
Sizning potentsial yechimlaringizni tekshirish muhim original tenglama. Agar siz ularni yuqoridagi ikkinchi logarifmda tekshirsangiz (ikkita jurnalni birlashtirgandan so'ng) ikkala yechim ham ishlaydi! Buning sababi shundaki, ikkita logarifmni birlashtirganda biz muammoni o'zgartirdik. Aslida, aynan shu o'zgarish biz foydalana olmaydigan qo'shimcha echimni taqdim etadi!
Shunday qilib, logarifmlarni o'z ichiga olgan tenglamalar yechimini topishda ehtiyot bo'ling. Bundan tashqari, ikkita potentsial echimga ega bo'lasiz va ulardan faqat bittasi ishlaydi, degan fikrga tushib qolmang. Muammolarning ikkalasi ham yechim bo'lgan va birortasi ham yechim bo'lmagan hollarda bo'lishi mumkin.