Asosiy tarkibga o'tish

10.12-bo'lim: Seriyalar uchun strategiya

Endi biz barcha testlarimizni yo'lga qo'yganimizdan so'ng, seriyaning yaqinlashuvini aniqlashga yordam beradigan umumiy ko'rsatmalar to'plamiga ajratish haqida o'ylash vaqti keldi.

E'tibor bering, bular umumiy ko'rsatmalar to'plamidir va ba'zi seriyalarda ularga bir nechta test qo'llanilishi mumkinligi sababli, biz ushbu ko'rsatmalar to'plamidan o'tgan yo'limizga qarab boshqa natijaga erishamiz. Aslida, bir nechta test qo'llanilishi mumkinligi sababli, siz har doim ko'rsatmalardan to'liq o'tishingiz va ma'lum bir seriyada ishlatilishi mumkin bo'lgan barcha testlarni aniqlashingiz kerak. Bu amalga oshirilgandan so'ng, siz o'zingiz uchun eng qulay deb hisoblagan testni aniqlashingiz mumkin.

Shu bilan birga, ketma-ketlikning yaqinlashuvini aniqlash bo'yicha ko'rsatmalar to'plami keltirilgan.

Seriyalarning konvergentsiyasini aniqlash strategiyasi

  1. Bir qarashda, ketma-ket atamalar chegarada nolga yaqinlashmaganga o'xshaydi, i.e. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\) qiladimi? Agar shunday bo'lsa, Divergentsiya testidan foydalaning. Esda tutingki, agar siz ketma-ketlik shartlari chegarada nolga yaqinlashmasligi mumkin degan xulosaga kelsangizgina, Divergensiya testini bajarishingiz kerak.

  2. Seriya \(p\) seriyami (\(\sum {\frac{1}{{{n^p}}}} \)) yoki geometrik qatormi (\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a{r^n}} \) yoki \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {a{r^{n - 1}}} \))? Agar shunday bo'lsa, \(p\) seriyasi faqat \(p > 1\) va geometrik qator faqat \(\left| r \right| < 1\) bo'lganda birlashadi. Shuni ham yodda tutingki, geometrik qatorni to'g'ri shaklga keltirish uchun ko'pincha algebraik manipulyatsiyalar talab qilinadi.
  3. Seriya \(p\) seriyasiga yoki geometrik qatorga o'xshaydimi? Agar shunday bo'lsa, taqqoslash testini sinab ko'ring.

  4. Seriya faqat polinomlarni yoki radikallar ostidagi ko'phadlarni o'z ichiga olgan ratsional ifodami (i.e. faqat polinomlar yoki radikallar ostidagi ko'phadlarni o'z ichiga olgan kasr)? Agar shunday bo'lsa, taqqoslash testini va/yoki chegara solishtirish testini sinab ko'ring. Shuni yodda tutingki, taqqoslash testi va chegaraviy taqqoslash testidan foydalanish uchun ketma-ket atamalarning barchasi ijobiy bo'lishi kerak.

  5. Seriyada \(n\) ishtirokidagi quvvatlarga ko'tarilgan faktoriallar yoki doimiylar mavjudmi? Agar shunday bo'lsa, nisbat testi ishlashi mumkin. E'tibor bering, agar seriya atamasi faktorialni o'z ichiga olsa, bizda ishlaydigan yagona test bu nisbat testidir.

  6. Seriya shartlarini \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{b_n}\) yoki \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}{b_n}\) shaklida yozish mumkinmi? Agar shunday bo'lsa, u holda muqobil seriyali test ishlashi mumkin.

  7. Seriya shartlarini \({a_n} = {\left( {{b_n}} \right)^n}\) shaklida yozish mumkinmi? Agar shunday bo'lsa, u holda Ildiz testi ishlashi mumkin.

  8. Agar \({a_{n}} = f\left( n \right)\) ba'zi ijobiy, kamayuvchi funktsiya uchun va \(\int_{{\,a}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) ni baholash oson bo'lsa, Integral test ishlashi mumkin.

Yana shuni esda tutingki, bular ketma-ketlikda foydalanish uchun eng yaxshi testni aniqlashga urinayotganda foydalanish uchun qattiq va tezkor qoidalar to'plami emas, balki faqat ko'rsatmalar to'plamidir. Agar bir nechta testlardan foydalanish mumkin bo'lsa, siz uchun eng oson bo'lgan testdan foydalanishga harakat qiling va boshqalar uchun oson bo'lgan narsa siz uchun oson bo'lmasligi mumkinligini unutmang!

Bundan tashqari, biz barcha testlarni bir joyga qo'yishimiz uchun bu erda bizda mavjud bo'lgan barcha testlarning tezkor ro'yxati keltirilgan.

Divergentsiya testi

Agar \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\), \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) ajralib chiqadi


Integral test

Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) \(\left[ {k,\infty } \right)\) oraliqda musbat, kamayuvchi funktsiya va \(f\left( n \right) = {a_n}\) keyin,

  1. Agar \(\displaystyle \int_{{\,k}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) konvergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum\limits_{\,n = k}^\infty {{a_n}} \) ham shunday.
  2. Agar \(\displaystyle \int_{{\,k}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) divergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum\limits_{\,n = k}^\infty {{a_n}} \) ham farqlanadi.

Taqqoslash testi

Aytaylik, bizda barcha \(n\) va \(n\) uchun \({a_n} \le {b_n}\) uchun \({a_n},{b_n} \ge 0\) bilan ikkita \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) va \(\displaystyle \sum {{b_n}} \) bor. Keyin,

  1. Agar \(\displaystyle \sum {{b_n}} \) konvergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) ham shunday.
  2. Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) divergent bo'lsa, \(\displaystyle \sum {{b_n}} \) ham farqlanadi.

Limit taqqoslash testi

Aytaylik, bizda barcha \(n\) uchun \({a_n},{b_n} \ge 0\) bilan ikkita \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) va \(\displaystyle \sum {{b_n}} \) seriyasi bor. Aniqlash,

\[c = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\]

Agar \(c\) ijobiy bo'lsa (i.e. \(c > 0\)) va cheklangan (i.e. \(c < \infty \)) keyin ikkala qator yaqinlashadi yoki ikkala qator ajraladi.


Muqobil seriyali test

Faraz qilaylik, bizda \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) seriyasi va \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{b_n}\) yoki \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}{b_n}\) bor, bu erda barcha \(n\) uchun \({b_n} \ge 0\). Keyin agar,

  1. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = 0\) va,
  2. \(\left\{ {{b_n}} \right\}\) oxir-oqibat kamayib boruvchi ketma-ketlikdir

\(\displaystyle \sum {{a_n}} \) is konvergent seriyasi


Nisbat sinovi

Aytaylik, bizda \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) seriyasi bor. Aniqlash,

\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]

Keyin,

  1. agar \(L < 1\) seriyasi mutlaqo yaqinlashuvchi (va shuning uchun konvergent).
  2. agar \(L > 1\) seriyasi bir-biridan farq qiladi.
  3. agar \(L = 1\) bo'lsa, qator divergent, shartli yaqinlashishi yoki mutlaqo yaqinlashishi mumkin.

Ildiz testi

Aytaylik, bizda \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) seriyasi bor. Aniqlash,

\[L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left| {{a_n}} \right|^{\frac{1}{n}}}\]

Keyin,

  1. agar \(L < 1\) seriyasi mutlaqo yaqinlashuvchi (va shuning uchun konvergent).
  2. agar \(L > 1\) bo'lsa, seriya farqlanadi.
  3. agar \(L = 1\) qator divergent, shartli konvergent yoki mutlaq yaqinlashuvchi bo'lishi mumkin.