5.5-bo'lim: Tizimlarga yechimlar
Endi biz differensial tenglamalar sistemasi uchun asoslarning bir qismini oldik, endi differentsial tenglamalar sistemasini qanday echish haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi. Biz matritsa shaklida yozilgan bir hil tizimdan boshlaymiz,
\[\begin{equation}\vec x' = A\,\vec x \label{eq:eq1}\end{equation}\]Bu erda \(A\) \(n \times n\) matritsasi va \(\vec x\) vektor, uning komponentlari tizimdagi noma'lum funksiyalardir.
Endi, agar biz \(n = 1 \) bilan boshlasak, unda tizim juda oddiygacha kamayadi chiziqli (or ajraladigan) birinchi tartibli differentsial tenglama.
\[x' = ax\]va bu quyidagi yechimga ega,
\[x\left( t \right) = c{{\bf{e}}^{a\,t}}\]Shunday qilib, keling, buni qo'llanma sifatida ishlatamiz va umumiy \(n\) uchun buni bilib olaylik
\[\begin{equation}\vec x\left( t \right) = \vec \eta \,{{\bf{e}}^{r\,t}}\label{eq:eq2}\end{equation}\]yechim bo'ladi. E'tibor bering, bu erda yagona haqiqiy farq shundaki, biz eksponensialning oldidagi doimiyni vektor bo'lishiga ruxsat beramiz. Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa buni differentsial tenglamaga qo'shish va biz nimaga erishganimizni ko'rishdir. Birinchi navbatda hosilaga e'tibor bering,
\[\vec x'\left( t \right) = r\vec \eta \,{{\bf{e}}^{r\,t}}\]Shunday qilib, taxminni differentsial tenglamaga kiritgandan so'ng, biz olamiz
\[\begin{align*}r\vec \eta {{\bf{e}}^{r\,t}} & = A\vec \eta {{\bf{e}}^{r\,t}}\\ \left( {A\vec \eta - r\vec \eta } \right){{\bf{e}}^{r\,t}} & = \vec 0\\ \left( {A - rI} \right)\vec \eta {{\bf{e}}^{r\,t}} & = \vec 0\end{align*}\]Endi, biz eksponentlar nolga teng emasligini bilganimiz uchun, biz bu qismni tashlab qo'yishimiz mumkin va keyin biz \(\eqref{eq:eq2}\) \(\eqref{eq:eq1}\) ga yechim bo'lishi uchun bizda bo'lishi kerakligini ko'ramiz.
\[\left( {A - rI} \right)\vec \eta = \vec 0\]Yoki \(\eqref{eq:eq2}\) \(\eqref{eq:eq1}\) yechimi bo‘lishi uchun \(r\) va \(\vec \eta \) \(A\) matritsasi uchun xos qiymat va xos vektor bo‘lishi kerak.
Shuning uchun \(\eqref{eq:eq1}\) ni yechish uchun avval \(A\) matritsasining xos qiymatlari va xos vektorlarini topamiz va keyin \(\eqref{eq:eq2}\) yordamida yechimlar hosil qilamiz. Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan uchta holat bo'ladi. Holatlar haqiqiy, aniq xos qiymatlar, murakkab xos qiymatlar va takroriy xos qiymatlardir.
Bularning hech biri differensial tenglamalar sistemasini qanday qilib to'liq yechish kerakligini aytmaydi. Buning uchun bizga quyidagi ikkita fakt kerak bo'ladi.
Tizimlar uchun superpozitsiya printsipi
- Agar \({\vec x_1}\left( t \right)\) va \({\vec x_2}\left( t \right)\) bir hil tizimning ikkita yechimi bo'lsa, \(\eqref{eq:eq1}\), u holda
\[{c_1}{\vec x_1}\left( t \right) + {c_2}{\vec x_2}\left( t \right)\]
tizimga ham yechim hisoblanadi.
- Faraz qilaylik, \(A\) \(n\) x \(n\) matritsasi va \({\vec x_1}\left( t \right)\), \({\vec x_2}\left( t \right)\), …, \({\vec x_n}\left( t \right)\) bir hil sistema, \(\eqref{eq:eq1}\) yechimlari deb faraz qilaylik. Aniqlash,
\[X = \left( {{{\vec x}_1}\,\,{{\vec x}_2}\,\, \cdots \,\,{{\vec x}_n}} \right)\]
Boshqacha qilib aytganda, \(X\) \(i^{\text{th}}\) ustuni \(i^{\text{th}}\) yechimi bo‘lgan matritsadir. Endi aniqlang,
\[W = \det \left( X \right)\]Biz \(W\) deb ataymiz Vronskiy. Agar \(W \ne 0\) bo'lsa, u holda echimlar a hosil qiladi asosiy echimlar to'plami va tizimning umumiy yechimi,
\[\vec x\left( t \right) = {c_1}{\vec x_1}\left( t \right) + {c_2}{\vec x_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{\vec x_n}\left( t \right)\]
E'tibor bering, agar bizda asosiy echimlar to'plami bo'lsa, u holda echimlar ham chiziqli mustaqil bo'ladi. Xuddi shunday, agar bizda chiziqli mustaqil echimlar to'plami bo'lsa, ular ham asosiy echimlar to'plami bo'ladi, chunki Wronskian nolga teng bo'lmaydi.