10.9-bo'lim: Mutlaq yaqinlashuv
Biz ketma-ket konvergentsiya haqida birinchi marta gaplashganimizda, biz konvergentsiyaning kuchliroq turini qisqacha aytib o'tdik, lekin u bilan hech narsa qilmadik, chunki bizning ixtiyorimizda u bilan bog'liq muammolarni hal qilishda foydalanishimiz mumkin bo'lgan vositalar yo'q edi. Endi bizda ushbu vositalarning ba'zilari bor, shuning uchun endi mutlaq konvergentsiya haqida batafsil gapirish vaqti keldi.
Birinchidan, mutlaq konvergentsiya ta'rifiga qaytaylik.
Ta'riflar
\(\displaystyle \sum {{a_n}} \) seriyasi deyiladi mutlaqo konvergent agar \(\displaystyle \sum {\left| {{a_n}} \right|} \) konvergent bo'lsa. Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) konvergent va \(\displaystyle \sum {\left| {{a_n}} \right|} \) divergent bo'lsa, biz ketma-ketlikni chaqiramiz. shartli konvergent.
Mutlaq konvergentsiya haqida bizda quyidagi fakt ham bor.
Mutlaq konvergentsiya yaqinlashuvni nazarda tutadi
Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) mutlaq yaqinlashuvchi bo'lsa, u ham konvergent hisoblanadi.
Mutlaq yaqinlashuv yaqinlashuvni anglatishini isbotlash
Birinchidan, \(\left| {{a_n}} \right|\) belgisiga qarab \({a_n}\) yoki \( - {a_n}\) ekanligiga e'tibor bering. Bu shuni anglatadiki, biz shunday deyishimiz mumkin:
\[0 \le {a_n} + \left| {{a_n}} \right| \le 2\left| {{a_n}} \right|\]Endi, biz \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) konvergent deb faraz qilganimiz uchun, \(\sum {2\left| {{a_n}} \right|} \) ham konvergent hisoblanadi, chunki biz ketma-ket 2 ni koeffitsient qilishimiz mumkin va 2 marta cheklangan qiymat hali ham chekli bo'ladi. Biroq, bu bizga \(\sum \left({{a_n} + \left| {{a_n}} \right|}\right) \) ham konvergent qator ekanligini aytish uchun Taqqoslash testidan foydalanishga imkon beradi.
Nihoyat, biz yozishimiz mumkin,
\[\sum {{a_n}} = \sum \left({{a_n} + \left| {{a_n}} \right|}\right) - \sum {\left| {{a_n}} \right|} \]va shuning uchun \(\sum {{a_n}} \) ikkita konvergent qatorning farqidir va shuning uchun ham konvergent.
Bu fakt mutlaq yaqinlashuvning "kuchli" konvergentsiya turi bo'lishining usullaridan biridir. Mutlaq yaqinlashuvchi qatorlar konvergent bo'lishi kafolatlanadi. Biroq, yaqinlashuvchi qatorlar mutlaqo yaqinlashishi yoki bo'lmasligi mumkin.
Keling, mutlaq konvergentsiyaning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \)
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{n^2}}}} \)
- \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin n}}{{{n^3}}}} \)
a \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \) Yechim
Bu o'zgaruvchan garmonik qator va biz oxirgi bo'limda bu konvergent qator ekanligini ko'rdik, shuning uchun biz buni bu erda tekshirishimiz shart emas. Shunday qilib, keling, bu mutlaqo konvergent qator ekanligini bilib olaylik. Buning uchun biz konvergentsiyani tekshirishimiz kerak.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} \]Bu garmonik qator va biz integral test bo'limidan uning farqli ekanligini bilamiz.
Shuning uchun bu qator mutlaqo konvergent emas. Biroq, u shartli ravishda yaqinlashadi, chunki seriyaning o'zi yaqinlashadi.
b \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{n^2}}}} \) Yechim
Bu holda keling, avval mutlaq konvergentsiyani tekshirib ko'raylik, chunki agar u mutlaqo konvergent bo'lsa, biz konvergentsiyani tekshirish bilan bezovta qilmasligimiz kerak, chunki biz buni bepul olamiz.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{n^2}}}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} \]Bu seriya \(p\)-seriyali test tomonidan konvergent hisoblanadi va shuning uchun qator mutlaq konvergent hisoblanadi. E'tibor bering, bu konvergent qator ekanligini ham bildiradi.
c \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin n}}{{{n^3}}}} \) Yechim
Bu qismda biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Birinchidan, bu muqobil seriya EMAS, shuning uchun biz ushbu bo'limdagi hech qanday vositalardan foydalana olmaymiz.
Bu erda biz birinchi navbatda mutlaq yaqinlashuvni tekshiramiz, chunki bu ham konvergentsiyani beradi. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagi qatorlarning yaqinlashuvini tekshirishimiz kerak.
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {\frac{{\sin n}}{{{n^3}}}} \right|} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{{{n^3}}}} \]Buning uchun biz buni qayd etishimiz kerak
\[ - 1 \le \sin n \le 1\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left| {\sin n} \right| \le 1\]va bizda shunday,
\[\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{{{n^3}}} \le \frac{1}{{{n^3}}}\]Endi biz buni bilamiz
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^3}}}} \]\(p\) seriyali testi bilan birlashadi va shuning uchun taqqoslash testi orqali biz buni ham bilamiz
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {\sin n} \right|}}{{{n^3}}}} \]birlashadi.
Shuning uchun, asl qator mutlaq yaqinlashuvchi (va shuning uchun konvergent).
Keling, mavzuni takrorlash orqali ushbu bo'limni yopamiz ko'rgan avvalroq. Biz ketma-ketliklarning yaqinlashuvini birinchi marta batafsil muhokama qilganimizda, biz ketma-ketlikni cheksiz yig'indi deb tasavvur qila olmasligimizni ta'kidladik, chunki ba'zi qatorlar, agar ularning shartlarini o'zgartirsak, har xil summalarga ega bo'lishi mumkin. Haqiqatan ham, biz ikki xil qiymatni beradigan Alternativ Garmonik seriyasining ikkita qayta tartiblanishini berdik. Biz bu qismni quyidagi fakt bilan yopdik:
Qayta tartibga solish va seriyaning qiymati
\(\displaystyle \sum {{a_n}} \) seriyasini hisobga olgan holda,
- Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) mutlaq konvergent bo'lsa va uning qiymati \(s\) bo'lsa, \(\sum {{a_n}} \) ning har qanday qayta tartiblanishi ham \(s\) qiymatiga ega bo'ladi.
- Agar \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) shartli konvergent bo'lsa va \(r\) istalgan haqiqiy son bo'lsa, \(\sum {{a_n}} \) qayta tartiblangan bo'lib, uning qiymati \(r\) bo'ladi.
Endi bizda mutlaq va shartli konvergentsiyani aniqlash uchun vositalar mavjud bo'lsa, biz bu haqda yana bir nechta sharhlarni berishimiz mumkin.
Birinchidan, yuqorida 1a-misolda ko'rsatganimizdek, o'zgaruvchan garmonik shartli ravishda konvergentdir va shuning uchun biz qaysi qiymatni tanlaganimizdan qat'iy nazar, bu qiymatni beradigan atamalarni qayta tartibga solish mavjud. Shuni ham yodda tutingki, bu fakt bizga bu qayta tashkil etish nima bo'lishi kerakligini aytmaydi, faqat uning mavjudligi.
Keyinchalik, biz 1b misolida ko'rsatdik,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{n^2}}}} \]mutlaqo konvergent va shuning uchun biz ushbu seriyaning shartlarini qanday o'zgartirsak ham, biz doimo bir xil qiymatga ega bo'lamiz. Aslida, ushbu seriyaning qiymatini ko'rsatish mumkin,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}}}{{{n^2}}}} = - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}\]