1.10-bo'lim: Tenglamalarni yechish, I qism
Quyidagi tenglamalarning har birini yeching.
- \({x^3} - 3{x^2} = {x^2} + 21x\)
Yechim
Ushbu tenglamani yechish uchun biz tenglama tomonidagi hamma narsani olamiz, keyin esa \(ab = 0\) bo'lsa, \(a = 0\) yoki \(b = 0\) ekanligini ko'rsatamiz.
\[\begin{align*}{x^3} - 3{x^2} & = {x^2} + 21x\\ {x^3} - 4{x^2} - 21x & = 0\\ x\left( {{x^2} - 4x - 21} \right) & = 0\\ x\left( {x - 7} \right)\left( {x + 3} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, echimlar \(x = 0\), \(x = 7\) va \(x = - 3\).
Esda tutingki, sizdan buni soddalashtirmang, hal qilish so'raladi! Shuning uchun, ikkala tomondan ham \(x\) ni bekor qilmasligingizga ishonch hosil qiling! Agar siz \(x\)-ni bekor qilsangiz, bu yechimlardan biri sifatida \(x = 0\)-ni o'tkazib yuborishingizga olib keladi! Bu odamlar tenglamalarni echishda eng ko'p uchraydigan xatolardan biridir.
- \(3{x^2} - 16x + 1 = 0\)
Yechim
Bunday holda, tenglama omil bo'lmaydi, shuning uchun biz kvadrat formulaga murojaat qilishimiz kerak. Eslatib o'tamiz, agar bizda standart shakldagi kvadratik bo'lsa,
\[a{x^2} + bx + c = 0\]yechim bu,
\[x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]Demak, bu tenglamaning yechimi
\[\begin{align*}x & = \frac{{ - \left( { - 16} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 16} \right)}^2} - 4\left( 3 \right)\left( 1 \right)} }}{{2\left( 3 \right)}}\\ & = \frac{{16 \pm \sqrt {244} }}{6}\\ & = \frac{{16 \pm 2\sqrt {61} }}{6}\\ & = \frac{{8 \pm \sqrt {61} }}{3}\end{align*}\]Kvadrat formula haqida unutmang! Calculus kursida ishlashingiz so'raladigan ko'pgina muammolar ishni biroz osonlashtirishni talab qilmaydi, lekin siz unga tez-tez duch kelasiz, shuning uchun kerak bo'lganda undan foydalanishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz kerak bo'ladi. Mening sinfimda men "yaxshi" javoblarga berilib qolmaslik uchun vaqti-vaqti bilan yuzaga keladigan muammo buni talab qilishiga ishonch hosil qilaman.
- \({x^2} - 8x + 21 = 0\)
Yechim
Shunga qaramay, buning uchun kvadrat formuladan foydalanishimiz kerak.
\[\begin{align*}x & = \frac{{8 \pm \sqrt {64 - 4\left( 1 \right)\left( {21} \right)} }}{2}\\ & = \frac{{8 \pm \sqrt { - 20} }}{2}\\ & = \frac{{8 \pm 2\sqrt 5 i}}{2}\\ & = 4 \pm \sqrt 5 i\end{align*}\]Kompleks sonlar tenglamalarni echishda haqiqatdir, garchi biz ularni umuman ko'rsak, Calculus kursida ko'pincha ko'rmaymiz.